1、1 哥德巴赫猜想成立哥德巴赫猜想成立 张 忠 ( 江苏省 南通市 崇川区 ) 摘要 本文依据同余理论和堆壘二次筛法, 用列表法和数学归纳法证明了: 当1n时,大偶数 ,2 2 1 2 nn pbp.0| nnnn bbBb 时，在联立不同余式 )( nn b.), 2 , 1,(modnipb in 关于 模 nn ppp 21 的 解 集)( m o d)( nnn b内 发 现 : 其 中 至 少 必 存 在 一 个 绝 对 最 小 特 解 )(2| )(|0 21 minnnnn ppb 使 min )(bb n 均为两个大于 n p的奇素数. 故由此证明了：大偶数b2至少可表 为一对大
2、于 n pb 2的两奇素数之和. 关键词 素数 模 联立不同余式 堆壘筛法. 中图分类号 015 文献标识码 A 正文 分析: 显然， 若要证明哥德巴赫猜想猜想成立， 只需要证明对于任一预先给定的充分大的偶数, 42 b都至少可 表为一对奇素数之和。现设42 b是预先给定的一个充分大的偶数; 因奇素数的个数是无限的, 故必存在 .2 2 1 2 nn pbp 则可令nn ppp 21 为模, 來寻求和为42 b的两奇素数. 解题思路一解题思路一: 若能证明当任一大整数2b时，至少存在一个公差 ),(b 使)(bb为一对小于b2的奇素数 dc pp ,，则哥德巴赫猜想成立. 而由素数判定法知:
3、关于b的这样的公差0)(b必须满足下列二个条件: 条件一条件一. 当 2 1 2 2 nn pbp时，)(bb必须是模 nn ppp 21 的简化剩余, 即)(bb必与 nn ppp 21 互素. 即: .0| 32nnnnn pppbbBb 且 , 1),(),( 21 nnnnnnnn pppbbbb )( nn bb.), 2 , 1,(mod0nipi )(b n .)., 2 , 1,(modniprb iii 条件二条件二. 必须能证明对于b至少存在一个绝对最小公差,)(2| )(|0 21 min bppb nnn 确保 min )(bb n 为两个大于 n p而小于b2的奇素数
4、. 解题思路二解题思路二. 对于任一预先给定的大偶数, 42 2 n pb 证明至少必存在一个奇素数 ,2bp 同时确保 pb2也同时为素数。 1 堆壘格点筛法简介 1.1堆壘格点筛法中采用的代(符)号. 1.1.1 若无特别声明, 本文中的小写外文字母均表整数, 大写外文字母均表集合. 1.1.2 为不同余符号. 如: a)(mod mb表关于模m, a与b不同余. 1.1.3 左下标带“”号的集合的意义: .b 表绝对值为0b的两个相反数的集合。如: ，.bb 2 .,., 21, 21kk aaaaaa 1.1.4 . 32nn ppp . 21nn ppp 1.1.5 )( k p表素
5、数 k p的欧拉函数. 1)( kk pp , .)()()()( 21kk ppp 1.1.6 )( k p表素数 k p的忠言函数忠言函数, 并约定: 当且仅当1k时: 1)()( 1 ppk; 当2k时: 2)( kk pp, 且: )()()()( kjikji pppppp. ( kji ppp,为两两不等的素数.） 1.1.7 A表集合的基数, 即集合A内不重复元素的个数. 1.1.8 集合符号: ),( nn b)( nn b均表与 )1 ( nnn bb相关的某种集合. 如: .1),( |. 1),(2)()(0)( nnnnnnnnnnnnnnn bbbbb .)(|)(0
6、)( nnnnnnnnn bbbb 1.1.9 整数与集合的加减乘运算法则 .,., 21, 21kk acacacaaac .,., 21, 21 cacacaaaac kk 1.2 名词, 定义及堆壘格点筛法的基本概念. 1.2.1 若, nnn bb 则定义 nn bb ,互为 n 的反向剩余, n b的顶标为 n 的反向剩余符号. 如: nnn bb 为 n b关于 n 的反向剩余; 同理集合 n B为集合 n B关于 n 的反向剩余集: nnn BB . 1.2.2 模 n 的剩余类 n b的n(多)维式. 若., 2 , 1),(modnipra iin , 则: 定义., 21n
7、 rrr为 n b的n (多)维式 , 记作: ., 21nn rrrb)(mod n , 并约定在不致引起误解时可直接简记为: ., 21nn rrrb. 由中国剩余定理和欧拉定理知: )(mod 1 )( n n i p i n in i p rb . （证明略!） 1.2.3 模 nn ppp 21 的剩余系 1.2.3.1 模 n 的完全剩余系. 模 n 的最小正完全剩余系表为 n A: ., 2 , 1 nn A 如: .30, 3 , 2 , 1 3 A 但在 n A中又分为奇偶两大类， 其中奇类., 12 nnnnJnJnJ BbbaaA不是本文研究对象; 而偶类.,2| nnn
8、nEnEnE BbbaaA是本文 的重点研究对象,其中 n B为模 nn ppp 32 的完全剩余系. 1.2.3.2 模 n 的简化剩余 n 和简化剩余系.1),( |1 nnnnn . 模 n 的简化剩余 n 可由解析法或一次堆壘格点筛法（详见 1.3.1.2 例一）获取. 模 n 的简化剩余系一般表为: 1) 模 n 的最小正简化剩余系 n : .1)(,2, 1 1 nnnnnn ， 3 2) 模 n 的绝对最小简化剩余系 n : .).(2,1,2,1 1 nnnnnnn jj 由素数判别法知: ,2 1 nn p 2 3 nn p; 且当 2 1 1 nn pj时: )1( jnn
9、 pj . 1.2.4 模 n 的剩余系 1.2.4.1 n B一般表模 n 的最小完全剩余系1 | nnnn bbB或表模 n 的最小非负完全剩余系。 而 .1-, 5 , 3 , 1.1, 12| nnnjnjnJ aabbB表 模 n 的 最 小 正 奇 完 全 剩 余 系 ， .1, 4 , 2 , 0.10,2| nnnenenE aabbB表模 n 的最小非负偶完全剩余系. 1.2.4.2 模 n 的简化剩余系 n 内有且仅有)( n 类模 n 的简化剩余, n 一般表模 n 的最小正简化剩余系: .1)(, 2) 1(2)(, 22, 1 1 . 1),(11 nnnnnnnnn
10、nnnn 因, nnn 故知模 n 的简化剩余 n 则关于軸)(mod0 nn S与)(mod2 nnn S对称分布, 且 因 n 则为奇数, 故 n 与 nnn 的奇偶性相反, 即 n 与 nnn 必一奇一偶. 故模 n 的最小正简化剩余 系 n 也可用模 n 的)(2 1 n 个最正小简化剩余及其反向剩余表为: . 1 , 2,)(2),(2,2, 1 1 11 nnnnnnnnn 如:.1, 7,11,13,13,11, 7 , 1 3 1.3 不同余式及求其解集的堆壘格点筛法. 格点法即用连续的单位格点来表示连续整数或模 k p) 1(k的连续的最小非负(或绝对最小)剩余, 来研究整数
11、 性质的一种(图解)方法. 如: 正整数数列可表为： 正整数数列格点图 模5的連续绝对最小剩余数列可表为： 模5的連续绝对最小剩余数列格点图 1.3.1 素数模 k p的一元一次不同余式与素数模 k p的一次筛. 1.3.1.1 定义一元一次不同余式)( kk rx k r)(mod k p为素数模 k p对 k r的(一次)筛, 记作 kk rs, 其筛图为: kk rs格点图筛图 其中: 含0的格点均称为模 k p的原(格)点; 含 k r的格点称为 kk rs筛之“的”, 表被 kk rs筛(删)去的模 k p的 k r类 剩余后, 而被保留的模 k p的)( k p类剩余中各取一数构成
12、 kk rs的解集, 记作:)( kk rX. 如:2 3 s表一元一次不同 余式 3 x2)5(mod, 其筛图为: 4 2 3 s格点图筛图 .4 , 3 , 1 , 0)2( 3 X表2 3 s关于模 3 p的最小非负解集. 1.3.1.2 若: nn b0, 则定义联立不同余式组: )( nn bx i r),(mod i p., 2 , 1ni 为（合数）模 n 之对 n b的筛, 记作: nn bS或., 21nn rrrS. 并称 n b为 nn bS筛之 “的” . 该联立式组的最小非负解集记作:)( nn bX. 解集)( nn bX可由堆壘的.), 2 , 1(nirs i
13、i 组合筛 nn bS获得. ., 2211 1 21nn n i iinnnn rsrsrsrsrrrSbS )(mod n . 作为特例: 当0 n b时, n i innn sSbS 1 00 )(mod n 的解集)0( n X, 即模 n 的简化剩余系 n . 例一: 用格点一次筛 0 3 S求模30 3 的最小正简化剩余系(集) 3 . 解 作图一 000.0 ,000 32132, 133 sssSS)(mod 4 筛图: 由图一知: .30mod.131171.29231917131171 3 ）（， 1.3.2 奇素数模 k p的一元二次不同余式与求其解集的图解法“二次素筛法
14、”. 若: 2k, k r k r )(mod k p, 则定义联立不同余式: k k rx rx 0)(mod k p为模 k p之 k r 与 k r 的一般一 元二次不同余式 . 并约定该二次不同余式可简记为x., kk rr ),(mod k p其解集X可由奇素数模 k p之对 kk r、r 的二次筛, kkk rrs 获取. 显然, 在模 k p的完全剩余系中筛除去 kk rr,两类剩余, 从余下的2)( kk pp类剩余中 分别各取一数, 则构成关于模 k p的该不同余式的一个解集X, 且集X的内的不同元素的个数（即基数） 2)( kk ppX. 如:不同余式x. 1 , 0)5(
15、mod的最小正解集X可通过模之1 , 0的二次筛图：.1, 0 3 s .1, 0 3 s的二次筛图 知:.4 , 3 , 2X, X的基数325)( 33 ppX. （注: 图.1, 0 3 s中, 红格内的数.1 , 0为被筛除 的模5的两类剩余, 其余3类数.4 , 3 , 2为所求不同余式组x.1 , 0)5(mod的解集.X 5 并特别地定义不同余式: kk rx 0),(mod k p即: x k r)(mod k p为奇素数模 k p之 k r的特殊一元二次 不同余式 , 称其为模 k p对 k r的二次筛: kk rs . 定义 k r为二次筛: kk rs 之“筛的”, 记作
16、记作.)( kk rr 因当2k,0 k r时: 尽管 k r k r)(mod k p, 但 22 kk rx 0)(mod k p与 22 )( kk rx0)(mod k p恒为 同解方程, 故将 kk rs与)( kk rs划归为模 k p的同类筛, 记作: kk rs)( kk rs. 显然, 同类筛的解集也 相同: ).()( kkkk rXrX 同时定义 . )(2|0,mod.,)( 1 kkkkkkkk prprrrbb 为模 k p的二次筛 kk bs 类之 的集.且约定)( k r的基数: 当0 k r时, ; 1)( k r 当0 k r时, . 2)( k r 1.4
17、 模 n 的二次联立不同余式组 n )(mod , 3 , 2),(mod1 , 0 )2(mod0 n i nip 的最小正解集 n （注:此处的 为希腊字母的大写）, 可由模 n 的二次筛.1 , 0.1 , 0.1 , 00 1 , 00 3211nn ssssSs)(mod n 获 得. 且由排列组合可知: ).2()2)(2()()()()()( 3232 nnnnn ppppppZ 例二: 用格点筛法求联立不同余式组: 4 ）. 4 , 3 , 2,(mod1 , 0 )2(mod0 ipi )(mod 4 的解集 4 及其基数 4 Z. 解解: 按题意作图二按题意作图二 1 ,
18、00 41 Ss二次筛图二次筛图: 1 , 00 41 Ss二二次筛图次筛图: 6 由图二知: 4 )(mod 4 , 3 , 2),(mod1 , 0 )2(mod0 4 ipi 的最小正解集: .2 0 9,1 7 9,1 7 3,1 6 7,1 4 9,1 4 3,1 3 7 ,1 0 7,89,83,59,53,47,23,17 4 )(mod4, （ 提示提示: 集合集合 n Z非常重要非常重要, 将在后面证明中用到将在后面证明中用到! ） 由排列组合知集合 4 的基数: 15)2)(2)(2()()()()( 43243244 ppppppZ. 1.5 模 n 的一元二次联立不同余
19、式 )( nn b in rb.), 2 , 1,(modnipi的解集及其规律. 若: , 2n.,0| nnnnn bbBb., 21nn rrrb 则定义一元二次不同余式组: )( nn b i r.), 2 , 1,(modnipi 为模 n 之 n b的特殊一元二次不同余式组, 其解集)( nn b可由模 n 之 n b的堆垒（组合）二次筛: 1 2211i n i innnn rsrsrsrsbS 的筛图获取. 由 1.3.2 知: 当1k时: 偶素模2 1 ppk之 1 r的一元二次筛系中有仅有两类二次筛: 0 1 s和;1 1 s 当 2k时: 因奇素模 k p之 k r的一元
20、二次筛系 kk rs 中有且仅有) 1(2 1 k p类二次筛: ,0 k s,1 k s ).(2 1 kk ps 且当: 0 k r时: 0 k s就只有一类筛; 而当: 0 k r时: kk rs 中就有两个同类筛: kk rs ),( kk rs该同类筛之的集为.,)( kkk rrr 故当0 k r时: ; 1)( k r 当0 k r时: . 2)( k r 现令: ,),(1 21nunnn gggGb ,1 21nvnnn ll lGL vu lllggg,( 2121 为两两不 7 同的奇素数,) 则由排列组合知: 模 n 之 n B的筛系 nn BS 内有且仅有1) 1(2
21、 2 2 n i i n p类两两不同的筛: .,0,0 ,0 21nn S.,1,0 ,0 21nn S.,2,0 ,0 21nn S.)(2,2 ,1 1 21nnn pS 且 nn bS 筛类中 有 且 仅 有12 v 种 同 类 筛 , 即 该 类 筛 之 的 集)( nn b的 基 数， v nn b2)( 且 其 解 集)( nn b的 基 数 ).()()( nnnn LGb 由此可见, 若: n G的素因数个数越多,素因数的值越小, 则: 其解集 )( nn b的基数 )( nn b越大, 而 nn bS 筛类内的同类筛个数即该类筛之的集)( nn b的基数.2)( v nn
22、b越小. 因)(),(modZtbtbb nnnn 及 nn bS ),( nn bS故关于模: n )( nn b有两个重要性质: 性质一 );()( nnnnn btb 性质二 ).()( nnnn bb 现将4n时的筛系)( 4444 BbbS及其解集系)()( 4444 Bbb列成表一（见下页）以供参考.以便查寻: ),( 44 b ),( 44 b ,)( 44 b )( 44 b等. 表一 )(| )( 44444 bbb）（ 4 b.), 2 , 1,(modnipi表 例三 由表一可查知: ),(mod.71,41,29, 1.209,181,169,139,71,41,29,
23、 1) 1 ( 44 .,102,72,60,42,30,18,12, 0)209()29() 1 ( 444 , 8222) 1 ( 141 4 nv 8 .15)7() 5() 3()()()() 1 ()( 44 nnnn LGb 且: ),1 () 1 ( 44 ).1 () 1 ( 44 则可知: （1） ) 1 () 1 ( 44 是和为) 1 (2 4 的两不等的模210 4 的简化剩余之和; 而当121) 1 () 1 (1 2 544 p时, ) 1 () 1 ( 44 即是和为) 1 (2 4 的两不等的奇素数. 如: ，P.41,171229 .47,111829P ，P
24、.53,291241 ，P.59,231841 .71,113041P ，P.83,591271 ，P.89,531871 ，P.101,413071.113,394271P （2）) 1 () 1 ( 44 同样是差为) 1 (2 4 的两不等的模210 4 的简化剩余，即,) 1 () 1 ( 444 且当 121) 1 () 1 (1 2 544 p时 , ) 1 () 1 ( 44 即 是 相 差 为) 1 (2 4 的 两 奇 素 数 . 特 别 当 取, 1) 1 ( 4 . ,102,72,60,42,30,18,12, 0) 1 () 1 ( 44 2 544 ) 1 (1p时
25、, 11) 1 (1 444 ）（）（为孪生素数: .;13,11112 .;19,17118 .;31,29130.199,1071108 （注注：由此现象提示，用堆垒筛法可进一步证明孪生素数无穷孪生素数无穷。） 2 引理部分引理部分: 引理一引理一 若: 2n, ,1),( |1 nnnnnn ,1),( |1 nnnnn ,.)(2,)()(1)( nnnnnnnnnnnnn , . 1)2,( , 1),1( n nnn nn 则: .),(mod)2()()()( nnnnnnnnnnnn Z 证: 令: 1),1(| nnnnnn xxxXx, 12 ,| nnnn yyYy, 1
26、)2,( 1),1( n nnn nnnn YX , ,)( nn 因由条件与定义知: , 1),( nn , 1), 2( n , 1),( nn x 故: , 1),2( nnn x 故: , 1),2( nnnn x 即: ,2 nnnn x 现再令: nnnn x2)(mod n -(1) 同理可证: nnnnn x) 1(2)(mod n -(2) 则由(1)(2)知: 2)( nnn ),(mod n 9 故知: n 即所求: ),( nn 现将(1)式中: n x换成 nnnn YX 则可得: nnnnn )2()(),(mod n 故: .),(mod)2()()()( nnn
27、nnnnnnnnn Z (引理一获证.) 引理二引理二 若: , 2n ,1 nn b nnnn bGp),( 2 , nnn GL, ,1 2 pGL nnnn ),(,2,1 1),( | nnnnnnnn GcccGccC 则: ninnnn icLb ),(mod n ),(,2,1 nnnnnn GcccCic 证: 因由条件知 nnn Gb ) ,(, 故令: nnn Gmb . 因 nnnnnnn GGLGmb),(),(, 故, 1),(),( nnnnn LGmLb 且由条件知: , 1),( nn Gc 故: , 1),(),(),( nnnnnnnnnnnn GLcGLc
28、GmGLcb-(1) , 1),(),(),( nnnnnnnnnnnn LGmLLcGmLLcb-(2) 故由(1) (2) 知: 1),(),( nnnnnnnnnn LcGmGLLcb 故由定义知: ninnnn icLb ),(mod n . nn Cic ( 引理二获证. ) 引理三引理三 )()()( nnnnnnnn bbb ),(mod n .1| nnnnn bbBb 证: 令: ).(2|0),(mod.,1 1 21iinnn prrrb 则: )()()( nnnnnn bbb., 2 , 1),(modniprb iin )(mod n . )()()( nnnnnn
29、 bbb ).(mod ),2(mod1 nn n b b , 故 ).(mod)()( ),2(mod0)( nnnnn nn bb b 由定义知: )()()( nnnnnn bbb., 2 , 1),(modniprb iin )(mod n . 因: )2(mod1 n b, 故01 nnn bb)2(mod, 故 )()()( nnnnnn bbb )(mod )2(mod0 nn n b b , 故: . )(mod)()( )2(mod1)( nnnnn nn bb b 因: )( 2222 nn n i iii n i ii n i in n i inn bSrsrsrsbsb
30、S )(mod n . 故: )()( nnnn bb )(mod n , 故知: . )(mod)()( )2(mod1)( nnnnn nn bb b 10 由孙子定理知: )(2)( )()2( nnnnn bb n )(mod n . 因 ).(mod1 ),2(mod0 2 )( n n 故知: 12 )( n n )(mod n . 故知: )(1)() 1)()(2)( )()2( nnnnnnnnnnnnnn bbbbb n )(mod n . 因:0)( nn b)2(mod, 故: )()()(1)()( nnnnnnnnnnnn bbbbb).(mod n 因: . )(
31、| )(| nnnn bb).(mod n 故: )()( nnnn bb)(mod n . (引理三获证.) 由引理三易知推理一,推理二. 推理一推理一 ).(mod)()( nnnnn 推理二推理二 ;)()()( m a xm a xm i nnnnnnnn bbb .)()()()( minminminmaxnnnnnnnnn bbbb 引理四引理四 )(mo d) 1 ()( nnnnn . 证: 当 i r0)(mod i p,., 2 , 1ni 时: ii rs 在模 i p的最小绝对值完全剩余系中筛去,1 ri rr 1 iiii srrs)(mod i p, 1),(),(
32、 21 nnnn ppp, in r)(mod i p, ni, 2 , 1. 1 1 iniiiini ssrrss)(mod i p, ni, 2 , 1. 1 1 1 nni n i nnn SsS )(mod n , )(mo d) 1 ()( nnnnn . (引理四获证. ) 由引理三及引理四可得： 引理五引理五 )(mod) 1 ()1()( nnnnnnn .（证明略！ ） 例四 已知: .,102,72,60,42,30,18,12, 0) 1 ( 4 试求:).94( 4 解: 因 , 2)210,94(),94( 4 故 ,94 4 因 ,1194 44 故知 ,1194
33、 故由引理五知: ).(mod.105,93,75,63,57,33,27,15.90,78,72,48, 4 ,30,12, 0) 1 (11)11()94( 4444 引理六引理六 若: ,),( 21unnn gggGb u ggg, 21 为 n G的u个素因数, , nnn GL , 21vn ll lL v lll，, 21 为 n L的v个素因数, .), 2 , 1|,|0,(mod)()()(nirprbbbb iiinnnnnnn 则: .2)( v nn b 证: 当）.1,(mod0Guigb inn 时, . 1)()()()( 21 un gggG 11 当0 jn
34、n rLb)(mod j l时, .2)()()()( 21 v vn lllL .2)()()( v nnnnnnnnn LGGLb）（ 引理七引理七 若己知: ),1 ( n 则: .mod) 1 ()(）（ nnnnn ）（ nnnnnnnnnnnnnn n mod.)(,)(,)() 1 ()( 2 2 1 2 证 令： n r为模 n p的绝对最小剩余， ,mod.(1),) 1 (,) 1 (1).(1),) 1 (,) 1 () 1 ( n 2 2 1 n 2 2 1 2-n1 -n ）（ nnnnnnnn 因) 1 ( n 中的元素两两互素, 故.)2 , 2 , 1() 1
35、( 1 n nnjn j 且也两两互素. 因.), 2 , 1,(mod1) 1 ( nipr iijn ， 故.), 2 , 1;2 , 2 , 1(0) 1 ( 1 nijr n innjn 故由同类筛的定义知: .mod) 1 ()(）（ nnnnn 例五: 若已知,.209,181,169,139,71,41,29, 1) 1 ( 4 试求: ),11( 4 ),13( 4 解: 因,13,11 4 故由引理七知: ).(mod.)199,179,151,109,101,59,31,11(.209,181,169,139,71,41,29, 111) 1 (11)11( 444 ).(
36、mod.)197,167,127,113,97,83,43,13(.209,181,169,139,71,41,29, 113) 1 (13)13( 444 3 定理部分定理部分 定理一定理一 若: , 2n ,1| nnnnn bbBb ,),( 2nnnn bGp , nnn Gmb , nnn GL 2 1pGL nnnn , ).(,2,1 1),( | nnnnnnnn GcccGccC, ninnnn icLb ),(mod n ）（. nn Cic（由引理二知） nnnnnnnn bbb)(|)(1)(且, .)(2 nnnn bb ninnninninn )(|)(1)(且,
37、.)(2 ninnn b 则: ),()( )( 1 inn G i nn n b 且: ).()()( nnnn LGb 证: 令: ).,(,2,1 1),1(| nnnnnnnnnn LxxxLxxxXx ,1)( nn LX ),(,2,1 12 ,| nnnnnnnnn GyyyGyyYy ,1)( nn GY 12 . 1)2,( 1),1( nn nnn nnnn Gw Lww wWYX ,. 1)2,( 1),1( n nnn nn Z 由令知: , 1),(),(), 2( nnnnnn LxLGmL , 1),2(),2( nnnnnnnnnn LxGmLyLxGm-（1）
38、 , 1),(),2( nnnnn yGmyG , 1),(),2( nnnnnnnnn GyLGyLxGm-（2） 由 （1） （2） 知: , 1),2(),2( nnnnnnnnnnn xGmGLyLxGm 即: nnnnnnn yLxGm2- （3） 同理,由令可证: nnnnnnn xGmyL) 1(2),(mod n -（4） 由（3）+（4）可知: nnn b2 ),(mod n 故由定义知: ).( nnnn b 故由（3）知: .,),(mod2)(| )()( nnnnnnnnnnnnnnnn YyXxyLxGmbbb-（5） 由条件知: 1),( nn Gic, 1),
39、2( n G, , 1),2(),2( nnnnn GicGGic 且 1)2,()2,2( nnn GGic, 1)2 ,2( nnn GGic, 且1)2 ,( nn Gy nnnn YyyGic)2()(mod n G. -（6） 而由（5）知: .,),(mod2)( nnnnnnnnnnnn YyXxyLxGmb-（7） 将（7）式中 nnG m置换成; n b n x, n y置换成 n w则可得: .),(mod)2()( nnnnnnnn WwwLbb 故知: . ),(mod)(2)(| )()( nnnnnnnnnnnnn WwwicLbbbb-（8） 将（6）中 nnn
40、yGicy)2()(mod n G置换（7）中 n y, 再将（7）式中 n x, n y置换成, n w则关于模 n : ,)(2)22()2(22)( nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn wicLbwGLicLbGicyLxbyLxbb 由条件知: nnnnnnnnn iicLGmicLb ),(mod n nn Cc . 故又知: nnnnnnnnnn wiwicLbb)2()(2)().(mod n -（9） 因由引理 知: .),(mod)2()()()( nnnnnininininn Z且因 , nn W 故由（9）式知: ),()( innnn b 即: ),()(
41、)( 1 inn G i nn n b （其中:).),(mod nnnnnnin CicGicLb 且由排列组合知: ).()()( nnnn LGb （定理一获证. ） 例六. 验证当, 4n18 4 b时, 定理一成立. 13 验证: 当, 4n18 4 b时: ,105 4 ,210 4 ,18 4 b, 3),18( 44 G ,35 444 GL .,22, 1 1 1),( |1 4444444 ccGcGcC ,533518 1 444414 Lcb ,8870182 444424 Lcb 由定义知: ),210.(mod3,2,0 ,018 4321 , 1)32,( 175
42、),1( 1)2,( 1),1( 4 44 4 44 444 44 w ww w Gw Lww wWWn 即: 4 w ).7.(mod1 , 0 ),5.(mod1 , 0 ),3.(mod0 ),2.(mod0 作二次堆壘筛图.1 , 0 1 , 000 4321 ssss : 图三 .1 , 0 1 , 000 4321 ssss二次堆壘筛图 由图三知: 44 .209,199,193,187,179,173,167,163,157,149,143,139,137 ,109,107,103,97,89,83,79,73,67,59,53,47,37,23,19,17,13 W),210(
43、mod 由定理一知: nnnnnnnn wLbwbfb)2(),()()(mod n , . nn Ww 故知: ,)18()3536(),18()18( 4444444 Wwwwf).(mod 4 -（1） 由表一知: .,96,90,84,54,36,30, 6 , 0)53( 4 .,105,99,75,69,51,21,15, 9)88( 4 故知: ). 53()53(),(mod)53(53)53(|)53(1)53( 44444444 , .149,143,137,107,89,83,59 ,167,173,179,209,17,23,47 ,53 -（2） ). .88()88
44、(),(mod)88(88)53(|)88(1)88( 44444444 14 . .193,187,163,157,139,109,103,97 ,193,199,13,19,37,67,73,79 -（3） 由（1） （2） （3）知: .883518 4444 W 且由排列组合知: .30)27)(25)(13()35() 3()()()18()( 44444 LGb 故由验证知定理一成立. （为便于对定理一的检验, 现将4n时的 )( 44 b.),1051 |( 44444 bbBb按 4 G值的大小顺序 分别列成由822 31 n 个表格构成的表格系列置于本文后, 以供参考.） 定
45、理二定理二 若: ,Nn,.,1| nnnnn bbBb 则: .2| )(|0 2 1 minnnnn ppb . 当2 , 1n时由验证知原命题成立，当3n时: , 5 32 123 ppn ,30532 3222 1112113213 ppppp n ,1553 3222 112132 pp n . ,1 | 33333 bbBb .298)(,134,11 3, 72, 1 1 .1),( |1 3333333333 nnn )()(0)()( 3333333 bbbbn n . . 3 , 2 , 1,)(mod 3 ipb i 且令: ,),( 333 Gb ,1 3333 GL
46、v ll lL 213 有 3 v个奇素因数. 依次作筛图),(mod 33221133323133n rsrsrsbsbsbsbS 经过整理可获 表二: )(| )( 333333 bbb）（ 3 b.)3 , 2 , 1,(modipi表 由 1.5 模 n 之 n B的筛系 nn BS 的规律知: (1) 模 3 之 3 B的筛系之 33 BS 内有且仅有 12) 1(2) 1(2 3 2 32 2 2 i i n i i n pp类筛: .,0 ,0 ,0 321 n S . ,1 ,0 ,0 321 n S. ,2 ,0 ,0 321 n S 15 .)(2 ,1 ,1 33 1 2
47、1 pSn 故知模 3 之 3 B的的解集系)( 33 B内有且仅有 12) 1(2) 1(2 3 2 32 2 2 i i n i i n pp类两两不同的解集; （2）|)(0)( 33333 bb)( 33 b. . 3 , 2 , 1,)(mod 3 iprb ii 即: .)3 , 2 , 1(),(mod)( 33 iprrb iii 故由中国剩余定理和欧拉定理知: ),(mod)()( 3 )( 3 3 1 33 i p i i i prb 且).()()( 3333 LGb （3）因 3 L有 3 v个奇素因数, 故: 33 bS 筛类中有且仅有12 3 v 种同类筛, 即 3
48、3 bS 筛类之的集 )()( 33 bbn n 的基数为. 12)( 3 33 v b （4）由引理七知, 当 333 bbn时: .mod) 1 ()( 33333 ）（ （5）由定理一知, 若: , 2n 则: ),()()( 33 )( 1 33 3 i G i nn bb 且由1.5模 n 的特殊一元二次不同余 式组)( nn b in rb.), 2 , 1,(modnipi的解集规律可知, 解集)- ()- ( 33 bbn n 与解集)()( 33 bbn n 相 同，者且它们的基数也相等: ).()()()( 333333 LGbb 故由（1） （2） （3） （4） （5）
49、知: )( 33 b与) 1 ( 3 间存在着一种必然的联系, 而非单独孤立地存在. 且由 表二知: 在)( 33 b中至少存在一个:)( min33 b ).(2)(1 3 2 3 1 min33 ppb 故知当3n时定理二成立. . 现归纳假设当现归纳假设当4kn时时, 原命题原命题“在在)( kk b中至少存在一个中至少存在一个:)( minkk b ).3 3(2)22(22| )(|0 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 min kkkkkkkk ppb”成”成立立. 即当4kn时: 4 32 321 kkkkn pp, .4 322222 33311121121 kkkkkkn
50、 ppppp ,4322222 333112132 kkkkkk ppp .1 | kkkkk bbBb )()(0)()( kkkkkkknn bbbb, ., 2 , 1,)(modkipb ik 且令: ,),( kkk Gb ,1 kkkk GL k L有 k v个奇素因数. 由 1.5 中模 n 之 n B的筛系 nn BS 的规律知: 16 (1) 模 k 之 k B的筛系之 kk BS 内有且仅有 k i i k n i i n pp 2 2 2 2 ) 1(2) 1(2类筛: .,0,0 ,0 21kk S .,1,0 ,0 21kk S.,2,0 ,0 21kk S.;)(2
