1、 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式 之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 锐角三角函数公式锐角三角函数公式 sin = 的对边 / 斜边 cos = 的邻边 / 斜边 tan = 的对边 / 的邻边 cot = 的邻边 / 的对边 倍角公式倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA2） （注：SinA2 是 sinA 的平方 sin2（A） ） 三倍角公式三倍角公式 sin3=4sins
2、in(/3+)sin(/3-) cos3=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a) 三倍角公式推导三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式辅助角公式 Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中 sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 降幂公式降幂公式 sin2()=(1-cos(2)/2=versin(2)/2
3、 cos2()=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2()=(1-cos(2)/(1+cos(2) 推导公式推导公式 tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=(sin/2+cos/2)2 =2sina(1-sina)+(1-2sina)sina =3sina-4sina cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa =4cosa-3cosa sin3a=3sina-4sina =4sina(3/4-sina
4、) =4sina(3/2)-sina =4sina(sin60 -sina) =4sina(sin60 +sina)(sin60 -sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60 -a)/2*2sin(60 -a)/2cos(60 -a)/2 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a) cos3a=4cosa-3cosa =4cosa(cosa-3/4) =4cosacosa-(3/2) =4cosa(cosa-cos30 ) =4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30 ) =4cosa*2cos(a+30 )/2cos(a-30 )/2*-2sin
5、(a+30 )/2sin(a-30 )/2 =-4cosasin(a+30 )sin(a-30 ) =-4cosasin90 -(60 -a)sin-90 +(60 +a) =-4cosacos(60 -a)-cos(60 +a) =4cosacos(60 -a)cos(60 +a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a) 半角公式半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=
6、(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 三角和三角和 sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin cos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan) 两角和差两角和差 cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin sin()=sincoscossin tan(+)=(tan+tan)/(
7、1-tantan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan) 和差化积和差化积 sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2 cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2 cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差积化和差 sinsin = cos(-)-cos(+) /2
8、 coscos = cos(+)+cos(-)/2 sincos = sin(+)+sin(-)/2 cossin = sin(+)-sin(-)/2 诱导公式诱导公式 sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (a)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos cos(/2+) = -sin sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA= sinA/cosA tan（/2）cot tan（/2）cot tan（）tan tan（）tan 诱导公
9、式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万 能 公 式 sin=2tan(/2）/1+tan (/2) cos=1-tan(/2)/1+tan(/2) tan=2tan(/2)/1-tan(/2) 其它公式 (1)(sin)2+(cos)2=1 (2)1+(tan)2=(sec)2 (3)1+(cot)2=(csc)2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)2,第二个除(cos)2 即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)
10、/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当 x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立 由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）2+(cosB） 2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC） 2=2+2cosAcosBcosC (9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
