1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （4 分）直线20 xy的倾斜角为( ) A45 B60 C120 D135 2 （4 分）若空间一点(1M a，0，1 1)在z轴上，则(a ) A1 B0 C1 D2 3 （4 分）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为( ) A 1 4 yx B
2、 1 2 yx C2yx D4yx 4 （4 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，E是 1 CC的中点，则直线AD与直线BE所成角的 余弦值为( ) A 1 2 B 2 2 C 5 5 D 2 5 5 5 （4 分）已知圆 22 1:( 2)(4)16Cxy，圆 22 2: 230Cxyx，则两圆的公切线的 条数为( ) A1 B2 C3 D4 6 （4 分） 已知，是两个不同的平面，l是一条直线， 且l， 则 “l” 是 “/ /” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7 （4 分）已知抛物线 2 4xy的焦点为F，准线为l，M是x
3、轴正半轴上的一点，线段FM 交抛物线于点A，过A作l的垂线，垂足为B若BFBM，则| (FM ) A 5 2 B3 C 7 2 D4 8 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积（单位： 3) cm是( ) 第 2 页（共 20 页） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 9（4分） 如图， 在侧棱垂直底面的三棱柱 111 ABCABC中，90BAC， 1 2 2 ABACAA， D，E分别是棱AB， 11 BC的中点，F是棱 1 CC上的一动点，记二面角DEFB的大小 为，则在F从 1 C运动到C的过程中，的变化情况为( ) A增大 B减小 C先增大再减小
4、 D先减小再增大 10 （4 分）如图， 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，点P是双曲 线与圆 2222 xyab在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且 12 1 3 FPF Q，则双曲 线的离心率为( ) A 10 2 B 17 3 C 39 4 D 37 5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 （6 分）已知空间向量(2, 1,2)a ，( 1,0,3)b ，则|a ，ab 第 3 页（共 20 页） 12 （6 分）
5、 已知直线 1: 230lmxy与 2:3 10lxy 若 12 / /ll， 则m ； 若 12 ll， 则m 13 （6 分）已知圆锥的底面积为 2 cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为 2 cm，圆 锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为 2 cm 14 （6 分）已知平面内两点( 1,0)A ，(3,0)B，动点P满足1PA PB，则点P的轨迹方程 为 ，点P到直线34120 xy的距离的最小值为 15 （4 分）在三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，1PA ，2PB ， 且ABC的面积为6，则PC的长为 16 （4 分）在平面直角坐标系xOy中，设点
6、 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，定义： 1212 | |PQxxyy若点(1,0)A，点B为椭圆 2 2 1 2 x y上的动点，则|AB的最大 值为 17 （4 分）如图，在ABC中，1AC ，3BC ， 2 C ，点D是边AB（端点除外）上 的一动点若将ACD沿直线CD翻折，能使点A在平面BCD内的射影 A 落在BCD的内 部（不包含边界） ，且 7 3 A C设ADt，则t的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （14 分）已
7、知圆C的圆心为(2,1)，且经过坐标原点 （）求圆C的标准方程； （）直线10 xy 与圆C相交于A，B两点，求|AB 19 （15 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2ABBCAA， 1 O是底面 1111 ABC D的 中心 （）求证： 1 / /O B平面 1 ACD； （）求二面角 1 DACD的平面角的余弦值 第 4 页（共 20 页） 20 （15 分）如图，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab O为坐标原点，(2,0)C为椭圆的右顶 点，A，B在椭圆上，且四边形OACB是正方形 （）求椭圆的方程； （）斜率为k的直线l与椭圆相交于P，Q两点，且
8、线段PQ的中点M恰在线段AB上， 求k的取值范围 21 （15 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ADBC，1ABADCD，2BC 平面 PBD 平面ABCD，PBC为等边三角形，点E是棱BC上的一动点 （）求证：CD 平面PBD； （）求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值 22（15 分） 如图， 过点(0, 1)P的直线 1 l与抛物线 2 yx相交于A，B两点(A在第一象限） ， 且交x轴于点M，过点A的直线 2 l交抛物线于另一点C，且交x轴于点N， 1 k， 2 k分别是 直线 1 l， 2 l的斜率，且满足 12 20kk记AMN，ABC的面积分别为 1 S， 2 S
9、（）若 1 2k，求 2 l的方程； 第 5 页（共 20 页） （）求 1 2 S S 的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，有分，在每小题给出的四个选项中，有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1 （4 分）直线20 xy的倾斜角为( ) A45 B60 C120 D135 【解答】解：直线20 xy的斜率1k， 直
10、线20 xy的倾斜角 4 故选：A 2 （4 分）若空间一点(1M a，0，1 1)在z轴上，则(a ) A1 B0 C1 D2 【解答】解：空间一点(1M a，0，1 1)在z轴上， 10a ，解得1a 故选：C 3 （4 分）双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为( ) A 1 4 yx B 1 2 yx C2yx D4yx 【解答】解：因为双曲线 2 2 1 4 y x ，所以双曲线 2 2 1 4 y x 的渐近线方程为 2 2 0 4 y x ， 即2yx 故选：C 4 （4 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，E是 1 CC的中点，则直线AD与直线BE所成角的 余
11、弦值为( ) A 1 2 B 2 2 C 5 5 D 2 5 5 【解答】解：由题意可知，几何体的图形如图， 直线AD与直线BE所成角就是直线BC与直线BE所成角， 设长方体的棱长为 2， 所以直线AD与直线BE所成角的余弦值为： 22 5 55 BC BE 第 7 页（共 20 页） 故选：D 5 （4 分）已知圆 22 1:( 2)(4)16Cxy，圆 22 2: 230Cxyx，则两圆的公切线的 条数为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：圆心是 1(2, 4) C，半径是 1 4r ； 圆 22 2: 230Cxyx化为标准形式是 22 (1)4xy， 圆心是 2( 1,0) C
12、 ，半径是 2 2r ； 则 1212 | 5C Crr， 两圆相交，公切线有 2 条 故选：B 6 （4 分） 已知，是两个不同的平面，l是一条直线， 且l， 则 “l” 是 “/ /” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由l，l，得：/ /，是充分条件， 由/ /，l，得：l，是必要条件， 故选：C 7 （4 分）已知抛物线 2 4xy的焦点为F，准线为l，M是x轴正半轴上的一点，线段FM 交抛物线于点A，过A作l的垂线，垂足为B若BFBM，则| (FM ) A 5 2 B3 C 7 2 D4 【解答】解：由抛物线 2 4xy
13、的方程可得：焦点为(0,1)F，准线方程为1y ， 设( ,0)M a，则直线MF的方程为： 1 1yx a ， 第 8 页（共 20 页） 设 1 (A x， 2 1 ) 4 x ，则 1 (B x，1)， 因为BFBM，所以0BF BM， 即 1 ( x， 1 2) (ax，1)0， 所以 2 11 20 xax， 2 4 1 1 xy yx a 整理可得： 2 4 40 xx a ， 所以 2 11 4 40 xx a ， 由 1 4 ()60ax a ， 1 2 6 4 a x a 将代入可得： 22 222 366 20 (4)4 aa aa ， 整理可得： 42 780aa，0a
14、，解得：2 2a ， 所以 22 |1(2 2)3FM ， 故选：B 8 （4 分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积（单位： 3) cm是( ) 第 9 页（共 20 页） A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体ABCD； 如图所示： 故 111 1 1 1 326 V 故选：A 9（4分） 如图， 在侧棱垂直底面的三棱柱 111 ABCABC中，90BAC， 1 2 2 ABACAA， D，E分别是棱AB， 11 BC的中点，F是棱 1 CC上的一动点，记二面角DEFB的大小 为，则在F从 1
15、C运动到C的过程中，的变化情况为( ) A增大 B减小 C先增大再减小 D先减小再增大 第 10 页（共 20 页） 【解答】解：如图，平面BEF固定， 由D向平面BEF作垂线，垂足在BC边的四等分点处， 只需考虑清楚垂足到直线EF的变化情况， 如下图所示，当垂直交于正方形外的时候，距离先变大， 再到垂直相交于正方形内的时候，距离变小， 记二面角DEFB的大小为， 则在F从 1 C运动到C的过程中，的变化情况为先减小再增大 故选：D 10 （4 分）如图， 1 F， 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，点P是双曲 线与圆 2222 xyab在第二象限的
16、一个交点，点Q在双曲线上，且 12 1 3 FPF Q，则双曲 线的离心率为( ) A 10 2 B 17 3 C 39 4 D 37 5 【解答】解： 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 第 11 页（共 20 页） 联立 22222 22 22 1 xyabc xy ab ，解得 222 2 2 4 2 2 (2)aba x c b y c ， P在第二象限， 2 22 (2,) ab Pab cc ， 设( , )Q m n，则 2 22 1 (2,) ab FPcab cc ， 2 (, )F Qmc n， 由 12 1 3 FPF Q，得 22 12 () 3 a ab mc
17、c c ， 2 1 3 b n c ， 22 32 4 a ab mc c ， 2 3b n c ， 又 22 22 1 mn ab ， 222222 222 16249()9 1 ccbcbb aacc ， 化简得： 42 42 4 14100 cc aa ，即 42 2750ee， 解得： 2 5 2 e 或 2 1e （舍) 可得 10 (1) 2 ee 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分。分。 11 （6 分）已知空间向量(2, 1,2)a ，( 1,0,3)b ，则|a
18、 3 ，ab 【解答】解：空间向量(2, 1,2)a ，( 1,0,3)b ， 222 |2( 1)23a ， (1ab，1，5) 故答案为：3，(1，1，5) 12（6 分） 已知直线 1: 230lmxy与 2:3 10lxy 若 12 / /ll， 则m 6 ； 若 12 ll， 则m 【解答】解：直线 1: 230lmxy与 2:3 10lxy 12 / /ll， 23 311 m ， 解得6m ； 第 12 页（共 20 页） 当 12 ll时，320m ， 解得 2 3 m 故答案为：6， 2 3 13 （6 分）已知圆锥的底面积为 2 cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为 2
19、2 cm， 圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积为 2 cm 【解答】解：圆锥的底面积为 2 cm， 圆锥的底面半径为 1， 画出圆锥和内切球的轴截面， 设内切球的球心为O， 如图所示：， 则2BC ， 2222 ( 3)12ABACADDC， 1 22 ， AOBBOCAOC SSS ， 1111 2222 AB rAC rBC rBC AD ， 11 (222)23 22 r ， 3 3 r ， 圆锥的内切球的表面积为 2 4 4 3 r ， 故答案为：2， 4 3 14 （6 分）已知平面内两点( 1,0)A ，(3,0)B，动点P满足1PA PB，则点P的轨迹方程 为
20、 22 240 xyx ，点P到直线34120 xy的距离的最小值为 【解答】解：设点( , )P x y， 第 13 页（共 20 页） 则( 1,),(3,)PAxy PBxy ， 所以 2 ( 1)(3)1PA PBxxy ， 整理可得 22 240 xyx， 故点P的轨迹方程为 22 240 xyx； 将 22 240 xyx变形为 22 (1)5xy， 所以圆心为(1,0)，半径5r ， 则圆心到直线34120 xy的距离为 22 |15| 3 34 d ， 由圆的性质可得，点P到直线34120 xy的距离的最小值为35dr 故答案为： 22 240 xyx；35 15 （4 分）在
21、三棱锥PABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，1PA ，2PB ， 且ABC的面积为6，则PC的长为 2 【解答】解：如图， 过P作PDAB，垂足为D，连接CD， PCPA，PCPB，且PBPBP，PA、PB 平面PAB， PC平面PAB，则PCAB， 又PCPDP，PC、PD 平面PCD，得AB 平面PCD， ABCD， 1PA，2PB ，5AB， 1 56 2 ABC SCD ，得 2 30 5 CD 由等面积法求得 2 5 5 PD ， 第 14 页（共 20 页） 在Rt CPD中，可得 22 2 302 5 ()()2 55 PC 故答案为：2 16 （4 分）在平面直角坐标系
22、xOy中，设点 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y，定义： 1212 | |PQxxyy若点(1,0)A，点B为椭圆 2 2 1 2 x y上的动点，则|AB的最大 值为 31 【解答】解：由椭圆的参数方程可设点( 2cos ,sin )B，0， 则| |2cos1|sin| sin|2cos1|AB， 要使|AB最大，需, 2 ， 此时| sin12cos3sin()1AB ，(tan2)， 所以当sin()1时，|31 max AB， 故答案为：31 17 （4 分）如图，在ABC中，1AC ，3BC ， 2 C ，点D是边AB（端点除外）上 的一动点若将ACD沿直线CD
23、翻折，能使点A在平面BCD内的射影 A 落在BCD的内 部（不包含边界） ，且 7 3 A C设ADt，则t的取值范围是 1213 ( ,) 22 【解答】解：如图， AA 平面BCD，过A作A ECD，连接AE，可得A ECD， 即A在过A与CD的垂线AE上，又 7 3 A C，则A在以C为圆心，以 7 3 为半径的圆弧 第 15 页（共 20 页） 上，且在BCD内部 分析极端情况： 当A在BC上时，90ACECAE ，90CAECA A ，可得CA AACE ， 设为， 在RtCA A中， 13sin tan cos77 3 ， 且 22 sincos1， 可得 3 sin 4 ， 7
24、cos 4 设ECB，CDA，则90，30， 则 7 sincos 4 ， 3 cossin 4 ， 313713213 sinsin(30 )sincos 2224248 在CDA中，由正弦定理可得： sinsin ACAD ，即 1 sinsin t ， 得 3 sin213 4 sin2213 8 t ； 当A在AB上时，有CDAB，此时 11 cos601 22 tAC A在BCD的内部（不包含边界） ，t的取值范围是 1213 ( ,) 22 ， 故答案为： 1213 ( ,) 22 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过
25、程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （14 分）已知圆C的圆心为(2,1)，且经过坐标原点 （）求圆C的标准方程； （）直线10 xy 与圆C相交于A，B两点，求|AB 【解答】 （）解：由题意知，圆的半径|415rOC， 圆的标准方程为 22 (2)(1)5xy； （）解：圆心(2,1)C到直线10 xy 的距离 |21 1| 2 1 1 d ， 22 | 22 3ABrd 19 （15 分）如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2ABBCAA， 1 O是底面 1111 ABC D的 中心 第 16 页（共 20 页） （）求证： 1 / /O
26、B平面 1 ACD； （）求二面角 1 DACD的平面角的余弦值 【解答】解： （）证明：连接BD交AC于点O，连接 1 DO，连接 11 B D， 由长方体的性质知 11 BOO D，且 11 / /BOO D， 故四边形 11 BO DO是平行四边形， 所以 11 / /O BDO 又因为 1 DO 平面 1 ACD， 1 O B 平面 1 ACD， 所以 1 / /O B平面 1 ACD （） ：设 1 22ABBCAA，由长方体底面ABCD是正方形，得DOAC 因为 11 D ADC，O是AC的中点，所以 1 DOAC， 所以 1 DOD是二面角 1 DACD的平面角 在直角三角形 1
27、 D DO中， 1 90D DO， 11 1D DAA， 1 2 2 DODB， 所以 1 3DO ， 得 1 1 6 cos 3 DO DOD DO ， 所以二面角 1 DACD的平面角的余弦值为 6 3 20 （15 分）如图，已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab O为坐标原点，(2,0)C为椭圆的右顶 点，A，B在椭圆上，且四边形OACB是正方形 （）求椭圆的方程； （）斜率为k的直线l与椭圆相交于P，Q两点，且线段PQ的中点M恰在线段AB上， 第 17 页（共 20 页） 求k的取值范围 【解答】解： （）由题意2a ， 又由椭圆过点(1,1)得 2 11 1 4b ， 解
28、得 2 4 3 b 所以椭圆的方程为 22 1 4 4 3 xy （）设直线l的方程为yxmk， 代入椭圆方程 22 34xy， 得 222 (31)6340 xmxmkk， 所以 2222 364(31)(34)0mmkk， 得 22 12340mk 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 0 (M x， 0) y， 所以 12 0 2 3 231 xxm x k k ， 00 2 31 m yxm k k 因为PQ的中点恰在线段AB上，所以 2 3 1 31 m k k ， 得 2 31 3 m k k ， 所以 0 2 1 313 m y kk ， 由 0 ( 1,1
29、)y ， 得 1 11 3 k ， 解得 11 (,)( ,) 33 k 21 （15 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ADBC，1ABADCD，2BC 平面 PBD 平面ABCD，PBC为等边三角形，点E是棱BC上的一动点 第 18 页（共 20 页） （）求证：CD 平面PBD； （）求直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值 【解答】 （）证明：由题意，得3BD ，所以 222 BDCDBC，故CDBD 又因为平面PBD 平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD 所以CD 平面PBD （）解：如图，以点D为原点， 分别以DB，DC所在的直线为x轴，y轴，以过点D垂直于底面的直线为
30、z轴， 建立空间直角坐标系Dxyz 由题意知， 31 (,0) 22 A，( 3,0,0)B，(0C，1，0) 过点P作直线 1 PP与BD垂直，且 11 PPBDP 因为PBD 平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD， 所以 1 PP 平面ABCD 又由PBPC，得 11 PBPC，所以点 1 P在线段BC的中垂线上 由对称性可知，A， 1 P，C三点共线由 1 PAD 1 PBC，得 1 1 2 BPBC PDAD 所以 1 2 3 3 BP ，又由2PB ，得 1 2 6 3 PP 所以，点P的坐标为 3 ( 3 ，0， 2 6 ) 3 3 ( 3 DP ，0， 2 6 ) 3 ， 3
31、 ( 3 DA， 1 2 ，0)， 设平面PAD的法向量(nx，y，) z 32 6 0 33 31 0 22 DP nxz DA nxy ，取2x ，则( 2n ，6， 1) 2 ， 第 19 页（共 20 页） 设BEBC，0，1 则 2 () 3 3 PEDEDPDBBCDP， 2 6 ) 3 设直线PE与平面PAD所成角为，则 2 62 66 sin|cos,| 3313 33() 24 PE n ，当 1 2 时取等号 所以直线PE与平面PAD所成角的正弦值的最大值为 2 66 33 22（15 分） 如图， 过点(0, 1)P的直线 1 l与抛物线 2 yx相交于A，B两点(A在第
32、一象限） ， 且交x轴于点M，过点A的直线 2 l交抛物线于另一点C，且交x轴于点N， 1 k， 2 k分别是 直线 1 l， 2 l的斜率，且满足 12 20kk记AMN，ABC的面积分别为 1 S， 2 S （）若 1 2k，求 2 l的方程； （）求 1 2 S S 的取值范围 【解答】 （）解：由 1 2k，知直线 1 l的方程为21yx，代入抛物线方程 2 yx， 得 2 210yy ，解得1y 或 1 2 ， (1,1)A，又由 21 24 kk， 第 20 页（共 20 页） 得直线 2 l的方程为14(1)yx ， 即450 xy； （）解：设点A的坐标为 2 (a，)(0)a
33、 a ，直线PA的斜率为 2 1a a ， 直线PA的方程为 2 1 1 a yx a ，代入抛物线 2 yx，消去x， 得 222 (1)0aya ya，由韦达定理得 2 1 B a a y a ， 1 B a y a 12 20kk，直线 2 l的方程为 2 2 2(1) () a yaxa a ， 代入抛物线 2 yx，消去x，得 222 2(1)(32)0aya yaa 由韦达定理得 2(3 2) 2(1) C aa a y a ， (32) 2(1) C aa y a 1 2 | | | | | AA ABAC SyyAMAN SABACyyyy 22 2(1) (32) (2)(54) | | 12(1) aa aaa aa aa aa 令1ta，则1at ，1t 2 1 2 2 2 222 151 (1)(51) 5(2)9 St Stt ttt 由 1 (0,1) t ，知 1 2 1 2 ( , ) 4 5 S S 1 2 S S 的取值范围是 1 2 ( , ) 4 5
