1、1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 1 of 3 整数裂项基本公式 (1) 1 22334.(1)nn+ + + 1 (1)(1) 3 nnn=+ (2) 1 1 23234345.(2)(1)(2)(1) (1) 4 nnnnnn n + + +=+ 【例【例 1】 1 223344950+ + +=_ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解解析析】 这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。 设 S1 223344950+ + + 123123 23323（41）234123 34334（52）345234 495034950（5148）=49505148
2、4950 3S12323334349503495051 S495051341650 【答案】41650 【巩巩巩巩固固固固】 1 22334455667788 99 10+ + + + + += _ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解解析析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然 不能这样进行计算对于项数较多的情况，可以进行如下变形： () ()()() () ()()() () 121111 11211 333 n nnnn n n nn nnnn n + +=+， 所以原式 11111 1 232341 239 10 11
3、8 9 10 33333 = + + 1 9 10 11330 3 = = 另解：由于() 2 1n nnn+=+，所以 原式 () ()() 222 112299=+ ()() 222 129129=+ 11 9 10 199 10 62 = + 330= 采用此种方法也可以得到()()() 1 1 223112 3 nnn nn+ +=+这一结论 【答案】330 【例【例 2】 1 4477 104952+=_ 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解解析析】 设设 S1 4477 104952+ 149147142 47947（101）4710147 例题精讲例题精讲 知识点
4、拨知识点拨 整数裂项整数裂项 1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 2 of 3 7109710（134）710134710 . 495294952（5546）495255464952 9S495255142 S=（495255142）915572 【答案】15572 【例【例 3】 1 232343459 10 11 + + += 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解解析析】 ()()()()()() ()() 11 12123112 44 n nnn nnnnn nn+=+，所以， 原式 11111 1 23423451 2349 10 11 128 9 10
5、11 44444 = + + 1 9 10 11 12 4 = 2970= 从中还可以看出，() ()()()() 1 1 2323434512123 4 nnnn nnn + + +=+ 【答案】2970 【例【例 4】 计算：计算：1 3 53 5717 1921 + += 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 可以进行整数裂项 3 5791 3 57 3 57 8 =， 579 113 579 579 8 =， 17 1921 23 15 17 1921 17 1921 8 =， 所以原式 3 5791 3 5717 1921 23 15 17 1921 1 3 5
6、88 = + 17 1921 23 1 3 57 1 3 5 8 = + 17 1921 231 3 5 8 + =19503= 也可适用公式 原式()()()()()()323325255219219192= + + ()()() 222222 32352519219= + ()() 333 351943519=+ ()() 3333 135194135193=+ 而 () () 333333333333 135191232024620+=+ 2222 11 202181011 44 = 19900=， 2 1351910100+=，所以原式199004 1003=+19503= 【答案】1
7、9503 【巩巩巩巩固固固固】 计算：计算：1 234345656789798 99 100 + + += 【考点】整数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1-2-2-2.整数裂项.题库 教师版 page 3 of 3 【解解析析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上， 再进行计算 记原式为 A，再设23454567678 9969798 99B = + + +， 则1 234234534569798 99 100AB+= + + + 1 9798 99 100 1011901009880 5 =， 现在知道 A与B的和了，如果能再求出 A与B
8、的差，那么 A、 B 的值就都可以求出来了 1 23423453456456756789798 99 100AB= + + + 4(1 23345567.9798 99)= + + + 2222 42(21)4(41)6(61)98(981)=+ 3333 4(24698 )4(24698)=+ 22 11 4 84950410049 42 = 48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+= 【答案】974510040 【例【例 5】 2004200320032002200220012001 20002 1+ 【考点】整数裂项 【难度】3 星
9、【题型】计算 【解解析析】 原式200322001 2321 2=+ + ()213520012003=+ ()21200310022=+ 2008008= 其中也可以直接根据公式() 2 135721nn+=得出 2 135200120031002+= 【答案】2008008 【例【例 6】 1 1! 22! 3 3!20082008! + += 【考点】整数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解解析析】 观察发现22!22 1(3 1)2 13! 2!= = =， 3 3!3 32 1(41)32 14! 3!= = =， 20082008!2008200820072 1 (20091)
10、200820072 12009! 2008! = = = ， 可见，原式1! (2! 1!)(3! 2!)(2009! 2008!)=+ 2009!= 【答案】2009! 【例【例 7】 计算： 1 2345699 100 234598 99 + + + = + 【考点】整数裂项 【难度】5 星 【题型】计算 【解析】 设原式= B A 1 2233498 9999 100AB+= + + + ()()() 1 1 230 1 22341 2399 100 10198 99 100 3 = + + 1 99 100 101333300 3 = 1 23299250 1005000BA= + += 33330050003383 33330050003283 B A + = 【答案】 3383 3283
