1、高三数学高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分，考试时间 120 分钟. 2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签签笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：新高考范围. 一一 选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
2、在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.设集合 2 22,40AxxBx xx，则A B（ ） A.(-2，4 B.(-2，4) C.(0，2) D.0，2) 2.复数 2 1( 12 i zi i 为柴数单位),则z （ ） A.1 B.2 C. 2 D.2 2 3.某市为了迎接国家文明城市验收，要求某单位 4 名工作人员到路口执勤，协助交警劝导人们规范出行.现 有含甲乙在内的 4 名工作人员，按要求分配到 2 个不同的路口执勤，每个路口至少一人，则甲乙在同一 路口的分配方案共有（ ） .3 种 .6 种 C.9 种 D.12 种 4.2020 年 11 月
3、 24 日 4 时 30 分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约 2200 秒 后，顺利将探月工程常娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大 速度( v单位:km/s)与燃料质量M(单位:kg)火箭质量(m单位:kg)的函数关系为2ln 1 M v m ，若 已知火箭的质共为3100kg,火箭的最大速度为11km /s,则火箭需要加注的燃料为(参考数值为 ln20.69;ln244.695.50, 结果精确到 0.01)（ ） A.243.69t B.244.69t C.755.44t D.890.23t 5.我国东汉末数学家赵夾在 周髀
4、算经 中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明， 后人称其为“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 ,BCa BAb BE,EF则BF （ ） A. 129 2525 ab B. 1612 2525 ab C. 43 55 ab D. 34 55 ab 6.下表是关于某设备的使用年限 x(单位：年)和所支出的维修费用 y(单位：万元)的统计表 x 2 3 4 5 6 y 3.4 4.2 5.1 5.5 6.8 由上表可得线性回归方程0.8 1 y xa，若规定：维修费用y不超过 10 万元，一旦大于 10 万元时，该设 备必须报
5、废.据此模型预测，该设备使用年限的最大值约为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 7.下列命题正确的是（ ） A.若 100 0 1 0:,pxx x ，则 1 :0,pxx x B.若 2 :0,pxxx ，则 2 000 :0,pxxx C. 000 0,sinxxx D.“1a ”且“直线10axy 与直线10 xay 平行”的充要条件 8.已知( )f x是R上的偶函数，当 0,)x时， 2 ( )1f xxx ，若实数t，满足(lg )1ft ，则 t 的 取值范围是（ ） A. 1 ,11,10 10 B. 1 0,1,10 10 C.( 1,0)(0,1) D. 1 0,1,
6、 10 二二 选择题选择题：本题共：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，有选错的得分，有选错的得0分分. 9.若非零实数a，b满足ab，则下列结论正确的是（ ） A. 2abab B. 22 2abab C. 22 2abab D. 11 4ab ab 10.已知双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 的右焦点为 ,F左右顶点分别为, ,A B一条渐近线为, l则下列结论正 确的是（ ） A.当1a 时，C的离心率为2
7、B.当1a 时，直线 1yx与C仅有一个公共点 C.F到l的距离为 1 D.若F在l上的射影为 ,M则经过, ,M A B三点的圆的方程为 22 1xy 11.如图，函数 2sin0, 2 f xx 的图象经过点,0 12 和 5 ,0 12 ，则（ ） A.1 B. 6 C.函数 f x的图象关于直线 2 3 x 对称 D.若 6 , 65 f 则 22 3 sincos 5 12.如图， 在棱长为 6 的正方体 1111 ABCDABC D中，E为棱 1 DD上一点， 且2,DEF为棱 11 C D的中点， 点G是线段 1 BC上的动点，则（ ） A.无论点G在线段 1 BC上如何移动，都
8、有 11 AGB D B.四面体ABEF的体积为 24 C.直线AE与BF所成角的余弦值为 2 10 15 D.直线 1 AG与平面 1 BDC所成最大角的余弦值为 1 3 三三 填空题填空题：本题共：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.若抛物线 2 2(0)ypx p上的点 0, 3 A x 到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 2 倍， 则p等于_. 14.“十二平均律”又称“十二等程律”是世界上通用的一组音(八度)分成 12 个半音音程的律制， 是在 16 世纪由 明朝皇族世子朱载堉(1536 年-1611 年)发现的，具体是指一个八度有 13
9、个音，每相邻两个音之间的频率之 比相等， 且最后一个音的频率是最初那个音的频率的 2 倍， 设第三个音的频率为 3 f， 第七个音的频率为 7 f， 则 7 3 f f _. 15.已知球O的半径为 4 , 3 点, ,A B C D均在球面上，若ABC为等边三角形，且其面积为3,则三棱雉 DABC的最大体积是_. 16.已知函数 ln ,1, 1 5 ,1, 3 x x f x xx 若 21 xx且 12 ,f xf x则 12 xx的最大值是_. 四四 解答题解答题：本题共：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步
10、骤. 17.(本小题满分 10 分) 在 53 25SS， 5 243b 143 a ab这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答.设 n S为等 差数列 n a的前n项和 , n b是正项等比数列 1142 ,3,abab，且_. （1）求数列 , nn ab的通项公式； （2）如果 * , mn abm nN，写出 ,m n之间的关系式 mf n，并求数列 f n的前n项和 n T. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.(本小题满分 12 分) 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, , ,a b c AD为ABC的中线， 2222 2 5 2 5,cos,
11、21tan 5 cBbbcaA （1）求角C的大小； （2）求AD的长. 19.(本小题满分 12 分) 2020 年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取 500 名参赛考生的数学竞赛成绩进 行分析，并制成如下的频率分布直方图： （1）求这 500 名考生的本次数学竞赛的平均成绩x(精确到整数)； （2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X服从正态分布 2 ,N ，其中山近似等于样本的平均数 x，近似等于样本的标准差 s，并已求得18s .用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中 随机抽取 10 名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140之外的人数为Y，求(2)P
12、 Y 的值(精确到 0.001). 附： （1）当 2 ,XN 时，()0.6827,(22 )0.9545PXPX剟； （2） 82 0.81860.18140.0066 . 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 , 3 左右焦点分别为 12 ,F F短轴的上端点为P，且 12 7.PF PF （1）求椭圆C的方程； （2）若过点1.0Q且不与y轴垂直的直线与椭圆C交于,M N两点，是否存在点,0T t，使得直线TM 与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 如图，在
13、四棱锥PABCD中，平面PAD 平面 1 ,/ /, 2 ABCD ABCD ABAD CDPDADAB. （1）求证：平面PBC 平面PAB； （2）若2APDC，求二面角DPCB的正弦值. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 1ln, 1 f x f xxax x ag x x R （1）当 1 2 a 时，求 f x的最小值； （2）当01a 时， g xm恒成立，求整数m的最小值. 高三数学参考答案高三数学参考答案 提示及评分细则提示及评分细则 1.A 因为集合2,2 , 0,4AB ，所以2,4 .AB 故选 A. 2.C 复数 2i 1 2i2i5i 1111 i, 12i1
14、2i 1 2i5 z 则2.z 故选 C 3.B 法一：把甲乙两人看作一个整体，4 个人变成了 3 个元素，再把这 3 个元素分成 2 部分，每部分至少有 1 个人，然后分配到 2 个路口，共有 212 312 C C A6种分配方案.法二：设另外两人为丙丁，按照要求列举， 分别有(甲乙丙)，丁，(甲乙丁)，丙，丁，(甲乙丙)，丙，(甲乙丁)，(甲乙)，(丙丁)，(丙丁)，(甲 乙)，共 6 种情况，故选 B. 4.C因为2ln 1, M v m 所以112ln 1, 3100 M 所以 5.5 1e, 3100 M 所以 5.5 3100 e13100 243.69755439 kg755.
15、44 t .M 故选C. 5.B 法一：过F作,FGBCG于不妨设 3,1,BEEF则4,3,BFFCBE所以 5BC ， 1612 , 55 BGFG所以BB 1612 , 2525 BC GFBA所以 16121612 25252525 BFBGGFBCBAab 故选B.法二： 3333 4444 BFBCCFBCEABCEBBABCBFBA 即 33 44 BFBCBFBA ，解得 1612 2525 BFBCBA，即 1612 2525 BFab，故选 B. 6.D 由已知表格，得 11 (23456)4,(3.44.25.1 5.56.8)5 55 xy 因为回归直线恒过样 本点的中
16、心( , )x y，所以50.81 4, a 解得1.76,a 所以回归直线的方程为0.811 6 .7yx 由10,y 得0.811.76 10 x， 解得 824 10.17, 81 x由于 *, xN所以据此模型预报， 该设备使用年限的最大值为10. 故选D. 7.D 由含有量词的命题的否定知， A.B 均错误； 因为 sin (0),1 cos0,f xxx xfxx 所以 f x 在0,上单调递增，所以对 0,00,xf xf 所以对0,sin,xxx 则C错误;由 1 10,aa 且1 11 ,a 解得1,a 则D正确.故选D. 8.A 由题意知，当0,x时， 2 1,f xxx则
17、 101,ff又 f x是R上的偶函数， 111ff，当 1f x 时，则一 11x且0,x 所以由lg1,ft 得一1lg1t且lg0,t 所 以 1 10 10 t 且.1,t 则t的取值范围是 1 ,11,10 . 10 故选A. 9.BC 对于 A，若, a b均为负数，则不等式显然不成立，则 A 错误；对于 B，显然成立，则 B 正确；对于 C， 在 22 2abab两边同时加上 22, ab得 222 2() ,abab则 22 2abab成立， 则C正确； 取2,1,ab 则 11 ab ab 111 2 14, 212 所以 11 4ab ab 不成立， 则 D 错 误.故选
18、BC 10.ABC 当1a 时，双曲线C为 22 1,xy所以1,2,abc所以2,e 则A正确；当1a 时，其 渐近线为y , x 直线1yx与渐近线y x 平行，且过顶点(1，0)与双曲线C仅有一个公共点，则 B 正 确；因为 2 1,0Fa 到渐近线0 xay的距离为 2 2 10 1, 1 aa a 则 C 正确；设O为坐标原点， 2 1,ca 得1,bFM结合,OFc得,OMa则,OMOAOB从而90 ,AMB所以 经过, ,M A B点的圆的方程为 222( xya只有当1a 时，方程才是 22 1xy)，则 D 错误.故选 ABC. 11.BC 5 , 212122 T 所以,T
19、所以2,则A错误 ;2sin 2,f xx由 f x的图象过 点,0 , 12 且在 12 x 附近单调递增， 所以一2 6 kk Z， 结合, 2 可得, 6 则B正 确 ;2sin 2 6 f xx ，当 2 3 x 时 ,2,f x 所以函数 f x的图象关于直线 2 3 x 对称，则C 正确；由2sin22cos2 62 f 6 , 5 得 3 cos2, 5 所以 22 3 sincoscos2, 5 则 D 错误.故选 BC 12.ABD 在正方体 1111 ABCDABC D中，易证 1 DB 面 11, ABC又 1 AG 平面 11, ABC所以 11 ,AGB D则 A 正
20、确； 11 11 4 6 32 A BEFFABEDABEB AD E VVVV 三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥 624, 则 B 正确；在棱 1 CC上取点,N使 2CN ，连结 ,(BN NE FN如图),则易知 FBN 为直线AE与BF所成角或其补角，可得2 10,5,9,BNFNFB则cosFBN 222 (2 10)9584 10 , 152 9 2 103 10 则直线AE与BF所成角的余弦值为 4 10 , 15 则 C 错误； 由题意知三棱 锥 11 ABDC为棱长为6 2的正四面体，作 1 AO 平面 1, BDC O为垂足，则O为正 1 BDC的中心，且 1 AGO为直线 1 A
21、G与平面 1 BDC所成角，所以 1 cosAGO 2 1 2 11 1, AOOG AGAG 当点G移动到 1 BC的中 点时 1 ,AG最短，如图，此时 1 cosAGO最小， 1 AGO最大，此时 1 1 61 cos, 33 6 OG AGO AG 则 D 正确.故选 ABD 13.3由题意，得 00 2, 2 p xx解得 0 , 2 p x 即, 3 , 2 p A 代人 2 2(0),ypx p得 2 ( 3)2, 2 p p结合 0,p 解得3p 14. 3 2由题意知 13 个音的频率n f成等比数列，设公比为 , q 则 12 13 1 2, f q f 所以 1 43 7
22、 3 3 22. f q f 15. 2 3 3 设ABC外接圆的圆心为 1, O由 ABC是面积为3的等边三角形， 得 2 1 sin603, 2 AB解得 2AB ， 1 12 3 . 2sin603 AB O B 当三棱棱锥DABC体积最大时，球心O在 1 DO上，因此有 22 11 2 , 3 OOOBO B所以 1 DO的最大值为2,三棱锥D ABC的最大体积为 1 112 3 32 333 ABC VSDO . 16.3ln3 8因为 ln ,1, 1 5 ,1, 3 x x f x xx 令ln2x ，解得 2 ex ；令ln0 x ，解得1.x 结合函数图象 可知若要满足 12
23、 ,f xf x且 21, xx则 2 2 1,e,x且. 12 1 5ln, 3 xx解得 12 3ln5.xx则 1222 3lnxxxx 2 2 5,1,e,x令 2 3ln5,1,e,g xxxx则 33 1, x gx xx 令 0,gx 解得3,x 故 g x在区间(1，3)上单调递增，在区间 2 3,e上单调递减，则 g x在 3x 时取 最大值 33ln3 8,g即 12 xx的最大值为3ln3 8. 17.解： （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为(0)q q . 若选条件 53 25SS， 由 53 25,SS得 5 43 2 3 52 3 35,
24、22 dd 解得2,d 所以 * 21 n annN 所以 24 9,ba又 1 3,b 所以3q ，所以 * 3. n n bnN 若选条件 5 243b ， 4 5 2433,bq 则 4 81,q因为 0,q 所以3,q 则 * 3, n n bnN 所以 42 933 ,abd 解得 2d ，又 1 3a ，所以 * 21 n annN. 若选条件 143 a ab 又 1 3a ，所以 43 3,ab又 4223 ,3,abbb则3,q 则 * 3n n bnN， 421 9,3,aba得2,d 则 * 21 n annN （2）由 mn ab，得2 13nm ，即 1 31 2 n
25、 m ，所以 31 2 n f n ， 12 1 (1)(2)( )313131 2 n n Tfff n 12 1 333 2 n n 3 1 3 1 21 3 n n 3 1 3 1 22 n n 1 323 4 n n 18.解： （1）在ABC中，由余弦定理，得 222 2cosbcabcA， 所以 2 cossin 22cos, cos AA bbcA A 所以cossinbcAA 由正弦定理，得sinsincossinBCAA， 所以sinsincossinA CCAA 即sin coscos sinsin cossin sinACACCACA 所以sin cossin sinAC
26、CA 因为sin0,A 所以cossin ,CC 所以tan1C ， 又0,C所以 3 4 C （2）因为 2 5 cos,0, 5 BB所以 5 sin 5 B . 因为 10 sinsinsin cossin cos 10 ABCBCCB 因为, sinsin ca CA 所以 10 2 5 sin 10 2, sin2 2 cA a C 所以1BD 在ABD中， 222 2cosADABBDAB BDB 即 2 2 5 20 1 2 2 5 113 5 AD 所以13AD . 19.解（1） 10(65 0.002875 0.01 85 0.01 95 0.018 105 0.02x 1
27、15 0.018 125 0.012 135 0.008 145 0.0012)10 10.416104.16104( 分) （2）由题意知 2 ,XN 且104,18， 所以86104 18,140104 18 22 所以 0.68270.9545 (86140)(2 )0.8186 2 PXPX 剟 所以(P X或2 )1 0.81860.1814X ， 所以10,0.1814YB， 所以 228 10 2C0.18140.818645 0.006630.298P Y 20.解（1）0,Pb设 12 ,0 ,0 ,FcF c则 12 ,PFcbPFcb ， 由 12 7PF PF ，得 2
28、2 7bc 结合 222, abc得 22 27ac ； 由 2 2 , 3 c e a 得 2 2 8 , 9 a c 代人 22 27ac ，解得 22 9,8ac， 所以 2 1b 故椭圆C的方程为 2 2 1. 9 x y （2）由已知直线l过点1,0 ,Q设l的方程为1xmy， 则联立方程组 2 2 1 1 9 xmy x y 消去x得 22 9280mymy ， 所以 22 43290;mm 设 1122 ,M x yN xy则 12 2 12 2 2 9 8 9 m yy m y y m 又直线TM与TN斜率分别为 1122 1122 , 11 TMTN yyyy kk xtmy
29、txtmyt 则 12 222 12 8 1199(1) TMTN y y kk mytmyttmt 要使 TMTN kk为定值，则有 2 90,t 即3t ， 当3t 时， 2 82 , 9(1)9 TMTN mkk t R ； 当3t 时， 2 81 , 9(1)18 TMTN mkk t R 所以存在点3,0T ，使得直线TM与TN的斜率之积为定值. 21.（1）证明：作PB的中点 ,E AP的中点F，连接,DF EF EC 因为点E是PB中点，点F是PA中点，所以/ /,EFAB且 2 AB EF . 又因为/ /,ABCD且, 2 AB CD 所以/ /,EFCD且,EFCD 所以四
30、边形EFDC为平行四边形，所以/.CEDF 因为平面PAD平面 ABCD，平面PAD平面,ABCDAD ABAD ABC平面 ABCD， 所以AB 平面,PAD又DF 平面,PAD所以.ABDF 因为,PDAD点F为PA的中点， 所以.DFAP 因为/ /,CEDF所以,.CEAB CEAP 又,APABA AP AB平面,PAB所以CE 平面.PAB 又因为 CE平面,PBC 所以平面PBC 平面.PAB （2）解：作,AD BC的中点分别为,O G连结,OP OG则/OGAB， 因为AB 平面,PAD PO AD 平面,PAD 所以,ABPO ABAD所以,.OGAD OGPO 因为2,2
31、,APDCCDPDAD所以APD为正三角形， 所以,3,4POAD DFPOAB 所以,POOG POAD OGAD 即,OA OG OP两两垂直， 以点O为坐标原点，分别以,OA OG OP的方向为 , ,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标 系(Oxyz如图所示).则0,0, 3 ,1,2,0 ,1,0,0 ,1,4,0PCDB 所以( 1,0,3),( 1,2,3),( 2, 2,0)PDPCBC 设平面PDC的法向量, ,nx y z则 0, 0, n PD n PC 即 30 230, xz xyz 解得 3 0 xz y 取1,z 则3,0,1n ； 设平面PBC的法向量,mx
32、y z则 0, 0, m PC m BC 所以 230 220 xyz xy 解得 3 , yx zx 取1,x 则1,1, 3m ， 所以 2 315 cos 5|2 5 m n m n m n 所以 310 sin,1 55 m n 所以二面角DPCB的正弦值为 10 5 . 22.解： （1）当 1 2 a 时， f x的定义域为 1 0,ln1 2 fxx， 由 0,fx 得0e;x由 0,fx 得ex 所以 f x在0,e上单调递减，在(e,)上单调递增， 所以 f x的最小值为 e e1 2 f （2）当1x时，因为 01,1ln0,afxa xa 所以 f x在1,上单调递减，所
33、以 max ( )10,f xf则 0,f x 又10,x 所以 0(g x 当 1x 时等号成立),所以0m 当01x时，ln0 x ，又当01a ，时ax x，所以lnlnax x x x，所以lnlnax xx x，所以 1ln1ln ,xax xxx x即 1lnf xxx x 因为10,x 所以 1ln 1 xx x g x x ， 令 1ln 0,1 , 1 xx x h xx x 所以问题化为 h xm在(0，1)上恒成立， 因为 2 3ln (1) xx h x x ，令 3 ln ,0,1 ,xxx x 则 1 10 x x ， 所以 x在(0，1)上单调递减，又因为 443
34、3 1111 10,0 eeee 所以存在唯一一个实数 0 43 11 , ee x 使得 000 3 ln0,xxx 所以 00 ln3xx ， 所以当 0 0 xx时 ,0,x则 0,h x当 0 1xx时 ,0,x则 0h x， 所以 h x在 0 0,x上单调递增；在 0,1 x上单调递减； 所以 2 000 00000 max00 000 131ln21 ( )1 111 xxxxxxxx h xh xx xxx 因为 0 43 11 , ee x 所以 0 43 11 11,1, ee x 所以 max 43 11 ( )1,1, ee h x 即 max 3 1 ( )1, e h x 所以 3 1 1, e m 综上所述 3 1 ,1, e m又,mZ所以2m， 所以m的最小整数值为 2
