1、南通市 2021 届高三第一次调研测试 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1设集合26AxxN， 2 log (1)2Bxx，AB A35xxB25xxC3,4D3,4,5 2已知2i是关于x的方程
2、2 50 xax的根，则实数a A2iB4C2 1 2 D4 3哥隆尺是一种特殊的尺子.图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1,2,3,4,5,6.图 2 的哥隆 尺不能一次性度量的长度为 A11B13C15D17 4医学家们为了揭示药物在人体呢吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行 描述.在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h）近似满足函数 关系式 0 (1e) kt k x k ，其中 0, k k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：mg/h）.经测 试发现，当23t 时， 0 2 k x k ，则该药物的消除速率k的值约为(ln20.69) A
3、3 100 B 3 10 C10 3 D100 3 5(12 )nx的二项展开式中，奇数项的系数和为 A2nB 1 2nC ( 1)3 2 nn D ( 1)3 2 nn 6函数 sin 21 x y x 的图象大致为 7已知点P是ABC所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PAPBPC 0 ；乙：()()PAPAPBPCPAPB ； 丙：PAPBPC ；丁：PA PBPB PCPC PA . 如果只有一个等式不成立，则该等式为 A甲B乙C丙D丁 8 已知曲线lnyx在 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy两点处的切线分别与曲线exy 相切于 33 (,)C x y， 44 (,)
4、D xy，则 1234 x xy y的值为 A1B2C 5 2 D17 4 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9已知,m n是两条不重合的直线，, 是两个不重合的平面，则 A若m，n，则mn B若m，m，则 C若，m，n，则mn D若，m，n，则mn 10已知函数( )sin 2 6 f xx ，则 A( )f x的最小正周期为 B将sin2yx的图象上所有点向右平移 6 个单位长度，可得到( )f x的图象 C( )f x在, 6 3 上单调递增 D点 5
5、,0 12 是( )f x图象的一个对称中心 11若函数 3 2,1, ( ) 1ln ,1 xxmx f x xxx 的值域为2,)，则 A(3)(2)ffB2m C ln21 2e ff D (1) log (1)log(2) mm mm 12冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健 康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续 7 天，每天不超过 5 人体温高于 37.3， 则称没有发生群体性发热.下列连续 7 天体温高于 37.3人数的统计特征数中，能判定该公司 没有发生群体性发热的为 A中位数为 3，众数为 2B均值小于 1，中位数为 1 C
6、均值为 3，众数为 4D均值为 2，标准差为2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13在正项等比数列 n a中，若 357 27a a a ，则 9 3 1 log i i a _. 14已知双曲线C的渐近线方程为2yx ，写出双曲线C的一个标准方程：_. 15 “康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如 图，ABC的三条边长分别为BCa，ACb，ABc.延长 线段CA至点 1 A，使得 1 AAa，以此类推得到点 2121 ,A B B C和 2 C，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知4a ，3b ， 5c ，则由ABC
7、生成的康威圆的半径为_. 16已知在圆柱 12 OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线 12 OO的 平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为 8.若P为圆柱底面圆弧 CD的中点， 则平面PAB与 球O的交线长为_. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知等差数列 n a满足 1 235 nn aan . （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n S.若 * n N， 2 4 n S （为偶数） ，求的值. 18 （ 12 分 ） 在 ()()bac baca
8、c； cos()sin()ABAB； tansin 2 AB C 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC，它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且2 2a ，_， _？ 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分. 19 （12 分）2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312 ”高考新模 式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级 800 名学生的选科情况，部分数据如下表： 性别 科目 男生女生合计 物理 300 历
9、史 150 合计 400800 （1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史 与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学学习心得.记 3 人中男生 人数为X，求X的分布列和数学期望()E X. 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk0.0500.0100.001 k3.84106.63510.828 20 （12 分）如图，在正六边形ABCDEF中，将ABF沿直线BF翻折至A
10、 BF，使得平 面A BF平面BCDEF，O，H分别为BF和A C的中点. （1）证明：OH平面A EF； （2）求平面A BC与平面A DE所成锐二面角的余弦值. 21 （12 分）已知函数 2 2ln ( ) x f xxa x . （1）若( )0f x ，求实数a的取值范围； （2）若函数( )f x有两个零点 12 ,x x，证明： 12 1x x . 22 （12 分）已知点,A B在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上，点A在第一象限，O为坐标原点， 且OAAB. （1）若3a ，1b ，直线OA的方程为30 xy，求直线OB的斜率； （2）若OAB是等腰三角形（点,
11、 ,O A B按顺时针排列） ，求 b a 的最大值. 数学试卷参考答案 第 1 页（共 13 页） 2021 届高三第一次调研测试 数学参考答案及讲评建议 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1 设集合|26AxxN， 2 |log (1)2Bxx，则AB= A|35xx B| 25xx C34，D345， ， 【答案】C 2 已知2i是关于x的方程 2 50 xax的根，则实数a A2i B4 C2 D4 【答案】B 3 哥隆尺是一种特殊的尺子图 1 的哥隆尺可以一次性度量的长度为1 2 3 4 5 6， 图
12、2 的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A11 B13 C15 D17 【答案】C 4 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来 进行描述在该模型中，人体内药物含量x（单位：mg）与给药时间t（单位：h） 近似满足函数关系式 0 k x k (1e) kt ，其中 0 k，k分别称为给药速率和药物消除速率 （单位：mg/h） 经测试发现，当23t 时， 0 2 k x k ，则该药物的消除速率k的值约 为（ln20.69） A 3 100 B 3 10 C10 3 D100 3 【答案】A 0 1 4 17 12 10 图 2 图 1 5 6 0 1 4 6 1
13、2 3 4 数学试卷参考答案 第 2 页（共 13 页） 5 (12 )nx的二项展开式中，奇数项的系数和为 A2n B 1 2n C ( 1)3 2 nn D ( 1)3 2 nn 【答案】C 6 函数 sin 21 x y x 的图象大致为 【答案】D 7 已知点 P 是ABC 所在平面内一点，有下列四个等式： 甲：PAPBPC 0 ； 乙：()()PAPAPBPCPAPB ； 丙：PAPBPC ； 丁：PA PBPB PCPC PA 如果只有一个等式不成立，则该等式为 A甲 B乙 C丙 D丁 【答案】B 8 已知曲线lnyx在 11 ()A xy， 22 ()B xy，两点处的切线分别与
14、曲线exy 相切于 33 ()C xy， 44 ()D xy，则 1234 x xy y的值为 A1 B2 C 5 2 D17 4 【答案】B B x y O A x y O D x y O C x y O 数学试卷参考答案 第 3 页（共 13 页） 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9 已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则 A若m，n，则mn B若m，m，则 C若，m，n，则mn D若，m，n，则mn 【答案】BC 10已知函数( )sin
15、(2) 6 f xx ，则 A( )f x的最小正周期为 B将sin2yx的图象上所有的点向右平移 6 个单位长度，可得到( )f x的图象 C( )f x在 63 ，上单调递增 D点 5 0 12 ，是( )f x图象的一个对称中心 【答案】ACD 11若函数 3 21 ( ) 1ln1 xxm x f x xxx ， ， 的值域为2) ，则 A(3)(2)ff B2m C ln21 ()( ) 2e ff D (1) log (1)log(2) mm mm 【答案】ABD 12冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热若发生群体性发热，则会影响到人们的身 体健康，干扰正常工作生产某大型公司规定：
16、若任意连续 7 天，每天不超过 5 人体 温高于37.3 C，则称没有发生群体性发热下列连续 7 天体温高于37.3 C人数的统计 特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为 A中位数为 3，众数为 2 B均值小于 1，中位数为 1 C均值为 3，众数为 4 D均值为 2，标准差为2 【答案】BD 数学试卷参考答案 第 4 页（共 13 页） A B C B2 B1 A1 A2 C2 C1 c a c a a c b b b 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13在正项等比数列 n a 中，若 357 27a a a ，则 9 3 1 log i i a 【答案】
17、9 14已知双曲线C的渐近线方程为2yx ，写出双曲线C的一个标准方程： 【答案】 2 2 1 4 y x （答案不唯一） 15 “康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一定理的内容是这样 的：如图，ABC 的三条边长分别为BCaACbABc，延长线段CA至点 1 A， 使得 1 AAa，以此类推得到点 2121 ABBC，和 2 C， 那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆 已知435abc，则由ABC 生成的康威圆的半径为 【答案】37 16已知在圆柱 12 OO内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切过直线 12 OO 的平面截圆柱得到四边形ABCD，其面积为 8若P为
18、圆柱底面圆弧CD的中点，则 平面PAB与球O的交线长为 【答案】 4 10 5 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） 已知等差数列 n a满足 1 235 nn aan （1）求数列 n a的通项公式； （2）记数列 1 1 nn a a 的前 n 项和为 n S若n N， 2 4 n S （为偶数） ， 求的值 数学试卷参考答案 第 5 页（共 13 页） 【解】 （1）设等差数列 n a的公差为d， 因为 1 235 nn aan ，所以 12 23 28 211 aa aa ， ， 即 1 1 328 3511 ad a
19、d ， ， 2分 解得 1 21ad，所以2(1)1 n ann 经检验，1 n an符合题设， 所以数列 n a的通项公式为1 n an 4 分 （2）由（1）得， 1 1111 (1)(2)12 nn a annnn ， 6 分 所以 11111111 23341222 n S nnn 8 分 因为n N， 2 4 n S ， 所以 21 4 2 ，即 27 (2) 2 因为为偶数，所以2 10 分 18 （12 分） 在()()bac bacac；cos()sin()ABAB；tansin 2 AB C 这三个 条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 b 的值；若问题
20、中 的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且2 2a ， ， ？ 注注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分 【解】选择条件和 因为()()bac bacac，所以 222 acbac， 2 分 由余弦定理，得 222 1 cos 22 acb B ac 数学试卷参考答案 第 6 页（共 13 页） 因为0B，所以 3 B 4 分 因为cos()sin()ABAB，所以 cos()sin() 33 AA， 所以 coscossinsinsincoscossin 3333 AAAA， 所以sincosAA 6 分 因为0A，所以
21、 4 A 8 分 在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，得 2 2 sinsin 43 b 10 分 所以 2 2sin 3 2 3 sin 4 b 12 分 选择条件和 因为()()bac bacac，所以 222 acbac 2 分 由余弦定理，得 222 1 cos 22 acb B ac 因为0B，所以 3 B 4 分 因为tansin 2 AB C ，且 sincos 22 tantan 22 cossin 22 CC ABC CC ， 所以 cos 2 sin2sincos 22 sin 2 C CC C C 6 分 因为0C，所以cos0 2 C ，所以 21 si
22、n 22 C 因为0C，所以sin0 2 C ，所以 2 sin 22 C ，可得 2 C 8 分 所以在 RtABC 中， tan2 6 3 ba 12 分 选择条件和 因为cos()sin()ABAB， 所以coscossinsinsincoscossinABABABAB， 所以(sincos )(sincos )0AABB 2 分 所以sincosAA或sincosBB 数学试卷参考答案 第 7 页（共 13 页） 因为0A，0B， 所以 4 A 或 3 4 B 4 分 又因为tansin 2 AB C ，且 sincos 22 tantan 22 cossin 22 CC ABC CC
23、 ， 所以 cos 2 sin2sincos 22 sin 2 C CC C C 6 分 因为0C，所以cos0 2 C ，所以 21 sin 22 C 因为0C，所以sin0 2 C ，所以 2 sin 22 C ，可得 2 C 8 分 在ABC中，ABC，所以 4 A ， 2 C ， 4 B 10 分 所以ABC为等腰直角三角形，所以2 2ba 12 分 19 （12 分） 2019 年 4 月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312”高考新模式 为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三 年级 800 名学生的选科情况，部分数据如下表： （1）根据所
24、给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为该校学生选择 物理或历史与性别有关； （2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生 中抽取 5 人，组成数学学习小组一段时间后，从该小组中抽取 3 人汇报数学 学习心得记 3 人中男生人数为 X，求 X 的分布列和数学期望()E X 男生 女生 合计 物理 300 历史 150 合计 400 800 性别 科目 P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 数学试卷参考答案 第 8 页
25、（共 13 页） 【解】 （1） 2 分 因为 22 2 800(300 150250 100)(450250) 160 10.828 5502504004005525211 K ， 所以有 99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关 6 分 （2）按照分层抽样的方法，抽取男生 2 人，女生 3 人 7 分 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2 所以 03 23 3 5 1 (0) 10 C C P X C ， 12 23 3 5 3 (1) 5 C C P X C ， 21 23 3 5 3 (2) 10 C C P X C 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10
26、 3 5 3 10 10 分 所以 1336 ()012 105105 E X 答：X 的数学期望为 6 5 12 分 20 （12 分） 如图，在正六边形ABCDEF中，将ABF沿直线BF翻折至A BF，使得 平面A BF平面BCDEF，OH，分别为BF和A C的中点 （1）证明：OH平面A EF； （2）求平面A BC与平面A DE所成锐二面角的余弦值 D A B C E F 图 1 图 2 B C D E F A H O 男生 女生 合计 物理 300 250 550 历史 100 150 250 合计 400 400 800 性别 科目 数学试卷参考答案 第 9 页（共 13 页） B
27、 C D E F A H O G 【解】 （1）如图，取A E的中点G， 连结FGHGCE， 又因为H是A C的中点， 所以HGCE， 1 2 HGCE 又因为正六边形ABCDEF中，BFCE，BFCE， 所以HGBF， 1 2 HGBF 2 分 又O为BF的中点，所以HGOF，HGOF， 所以四边形OFGH为平行四边形，所以OHFG 4 分 因为FG 平面A EF，OH 平面A EF， 所以 OH平面A EF 6 分 （2）由条件可知OAOB ，OAOD ，ODOB 分别以OBOD OA ，所在直线为 x轴、y轴、z轴建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz 设正六边形ABCDEF的边长为 2
28、， 则( 300)B， ，( 320)C， ， (030)D， ，(320)E ， ，(001) A ， ， 所以(020)BC ， ，( 321)A C ， ， ( 310)ED ， ，(031)A D ， ， 设平面A BC的法向量为 1111 ()xyz， ，n， 由 1 1 0 0 BC A C ， ， n n 得 1 111 20 320. y xyz ， 取 1 1x ，可得 1 (103)， ，n 8 分 设平面A DE的法向量为 2222 ()xyz，n， 由 2 2 0 0 ED A D ， ， n n 得 22 21 30 30. xy yz ， 取 2 1x ，可得 2
29、(133 3)，n 10 分 设平面A BC与平面A DE所成锐二面角的大小为， B C D E F A H O z x y 数学试卷参考答案 第 10 页（共 13 页） 则 12 12 12 1 10(3)3( 3 3) 4 31 coscos 31 1+0+31+3+27 ， nn nn nn ， 所以平面A BC与平面A DE所成锐二面角的余弦值为 4 31 31 12 分 21 （12 分） 已知函数 22ln ( ) x f xxa x （1）若( )0f x ，求实数 a 的取值范围； （2）若函数( )f x有两个零点 12 xx，证明： 12 1x x 【解】 （1）函数 2
30、2ln ( ) x f xxa x 的定义域为(0) ， 3 22 2(1ln )2(ln1) ( )2 xxx fxx xx 1 分 设 3 ( )ln1r xxx，所以 21 ( )30r xx x ， 所以函数 3 ( )ln1r xxx在(0) ，上单调递增 又(1)0r，列表如下： 3 分 所以当1x 时，函数 22ln ( ) x f xxa x 取得最小值为(1)1fa 4 分 因为( )0f x ，即10a ，所以1a 所以 a 的取值范围是1， 5 分 （2）不妨设 12 xx 由（1）可得，函数( )f x在(01)，上单调递减，在(1)，上单调递增 所以 12 01xx
31、， 2 1 01 x 6 分 因为 12 ()()0f xf x， x (01)， 1 (1)， ( )fx 0 ( )f x 极小值 数学试卷参考答案 第 11 页（共 13 页） A O x y B 所以 12 22 11 ()()()()f xff xf xx 222 2 2 2 2 2 1 2ln 2ln 1 ()() 1 xx xaa x x x 222 22 11 ()(2ln)xxx xx 8 分 设函数 1 ( )2ln (1)g xxx x x ， 则 2 22 (1) 12 ( )10(1) x g xx x xx ，函数( )g x在(1)，上单调递增 所以 222 2
32、1 ()2ln(1)0g xxxg x ， 10 分 所以 1 2 1 ()()0f xf x ，即 1 2 1 ()()f xf x 又函数 22ln x f xxa x 在(01)，上单调递减 所以 1 2 1 01x x ，所以 12 1x x 12 分 22 （12 分） 已知点 A，B 在椭圆 2 2 22 1(0) y x ab ab 上，点 A 在第一象限，O 为坐标原点， 且OAAB （1）若3a ，1b ，直线 OA 的方程为30 xy，求直线 OB 的斜率； （2）若OAB 是等腰三角形（点 O，A，B 按顺时针排列） ，求 b a 的最大值 【解】 （1）由3a ，1b
33、，得椭圆方程为 2 2 1 3 x y 由 2 2 1 3 30 x y xy ， ， 得 3 2 1 2 x y ， 或 3 2 1. 2 x y ， 因为点 A 在第一象限，所以 3 1 2 2 A( ， ) 2 分 又OAAB， 所以直线 AB 的方程为 13 3() 22 yx ，即350 xy 数学试卷参考答案 第 12 页（共 13 页） 由 2 2 1 3 350 x y xy ， ， 得 12 7 1 7 x y ， 或 3 2 1 2 x y ， ， 所以 121 77 B(，)， 3 分 所以直线 OB 的斜率为 1 17 1212 7 OB k 4 分 （2）法 1：设直
34、线 OA 的斜率为(0)k k ，则直线 AB 的斜率为 1 k 因为OAB 是等腰直角三角形（点 O，A，B 按顺时针排列） ， 所以设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 1112 (00)xyxx， 又OAAB，所以 2222 111212 ()()xyxxyy， 得 2 1122 11 11()yxx kk 所以 121 yxx，即 211 xxy 又由OAAB，得 121 121 1 yyy xxx ，所以 211 yyx 6 分 因为点 11 ()A xy， 1111 ()B xyyx，在椭圆 2 2 22 1 y x ab 上， 所以 22 11 22 22 1111 2
35、2 1 ()() 1 xy ab xyyx ab ， ， 所以 2222 111111 2222 ()()xyxyyx abab ， 整理得 2222211 11 ()2()0 yy baba xx 8 分 所以 22222 4()40aba b ，即 2222 ()()0abab abab 10 分 因为 22 0abab， 所以 22 0abab，即 2 ( )10 bb aa ， 所以 51 2 b a ， 当 22 2 1 22 1 2() 51 1 22 yab a k xbb 时， b a 取最大值 51 2 12 分 数学试卷参考答案 第 13 页（共 13 页） 法 2：设直线
36、 OA 的斜率为(0)k k ，倾斜角为(090 ) 因为OAB 是等腰直角三角形 （点 O， A， B 按顺时针排列） ， 且OAAB， 所以直线 OB 的斜率为tan(45 ) OB k或tan(135 ) OB k 所以 1 1 OB k k k 6 分 设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 1112 (00)xyxx， 由 2 2 22 1 ykx y x ab ， ， 得 22 2 1 222 a b x ba k 由 2 2 22 1 1 1 k yx k y x ab ， ， 得 222 22 2 22222 222 (1) 1(1)(1) () 1 a bk a b
37、x kbkak ba k 又2OBOA，所以 22 2OAOB，得 2222 12 1 2(1)1() 1 k kxx k ， 222 22 22 2222222 (1) 1 2(1)1() 1 (1)(1) a bk a bk k k ba kbkak 整理得 22222 2()0b kbaka， 8 分 所以 22222 4()40baa b ，即 22222 ()0aba b， 所以 2222 ()()0abab abab 10 分 因为 22 0abab， 所以 22 0abab，即 2 ( )10 bb aa ， 所以 51 2 b a ， 当 22 2 22 2() 51 1 22 ba a k bb 时， b a 取最大值 51 2 12 分
