1、2021 届高考物理二轮复习计算题精解训练届高考物理二轮复习计算题精解训练 万有引力与航天万有引力与航天 1.2020 年 7 月 23 日 12 时 41 分，在海南岛东北海岸中国文昌航天发射场， “天问一号”火星 探测器发射成功， 一次实现火星环绕和着陆巡视探测 假设航天员登上火星后进行科学探测 与实验，航天员在火星表面以速度 0 v竖直上抛一小球，经 t时间小球返回抛出点已知火 星的半径为 R，引力常量为 G，不计阻力 (1) 求火星的质量； (2) 求火星的第一宇宙速度大小； (3) 已知火星的自转周期为 T， 若想让航天器进入火星的同步轨道运行， 则航天器应位于火 星表面多高处？ 2
2、.一组宇航员乘坐太空穿梭机 S 去修理位于离地球表面高 5 6.0 10 mh的圆形轨道上的太 空望远镜 H.机组人员使穿梭机 S 进入与 H 相同的轨道并关闭助推火箭，望远镜在穿梭机前 方数千米处， 如图所示.已知地球半径为 6 6.4 10 mR ， 地球表面重力加速度为 2 9.8m/sg ， 第一宇宙速度为 7.9km/sv .（结果保留一位小数） （1）求穿梭机在轨道上的向心加速度 g ； （2）计算穿梭机在轨道上的速率 v ； （3）穿梭机要先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜.试判断穿梭机要进入 较低轨道时应增加还是减小其原有速率，并说明理由. 3.中国自行研制的“神
3、舟号”飞船的发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长 征运载火箭送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道上，A 点距地面的高度为 1 h，飞船飞行 五圈后进行变轨， 进入预定圆轨道， 如图所示.设飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t， 已知地球表面重力加速度为 g，地球半径为 R，引力常量为 G，求： （1）地球的平均密度 ； （2）飞船经过椭圆轨道近地点 A 时的加速度大小 A a； （3）椭圆轨道远地点 B 距地面的高度 2 h. 4.如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道所在平面内，离地面高 度为 h.已知地球半径为 R，地球自转角速度为 0
4、 ，地球表面的重力加速度为gO，为地球球 心. （1）求卫星 B 的运行周期. （2）若卫星 B 运行方向与地球自转方向相同，某时刻AB、两卫星相距最近（OBA、 、在 同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 5.通过用天文望远镜长期观测， 人们在宇宙中已经发现了许多双星系统， 通过对它们的研究， 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成， 其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离 一般双星系统距离其他星体很远， 可以当 作孤立系统来处理 现根据对某一双星系统的光度学测量确定： 该双星系统中每个星体的质量都是 m， 两者相距 L，它们正围
5、绕两者连线的中点做圆周运动 (1)试计算该双星系统的运动周期T计算； (2)若实验上观测到的运动周期为T观测，且1() 1TTN N 观测计算 为了解释T观测与T计算的 不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质作为 一种简化模型， 我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质 若不 考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度 6.由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在 相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在 三角形所在的平面内
6、做相同角速度的圆周运动(图示为ABC、 、三颗星体质量不相同时的一 般情况)若 A 星体质量为2mBC， 、两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求： (1)A 星体所受合力大小 A F； (2)B 星体所受合力大小 B F； (3)C 星体的轨道半径 C R； (4)三星体做圆周运动的周期 T. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：(1) 对火星，由万有引力近似等于重力，有 2 G Mm R mg 对小球 0 1 2 vgt 联立解得 2 2v Gt M R (2) 对航天器，由万有引力提供向心力，有 2 2 m RR G Mv m 将 M代入解得 2 v v R t (3) 设航天器的
7、同步轨道半径为 r，由万有引力提供向心力，有 2 22 4 () () Mm GmRh RhT 将 M代入解得 22 3 2 2 v R h T t t 2.答案：（1）在地球表面处，有 2 Mm mgG R 可得地球表面的重力加速度 2 GM g R 同理，穿梭机在轨道上的向心加速度 2 GM g r ，其中 rRh 联立以上各式解得 2 8.2m/sg. （2）在地球表面处，由牛顿第二定律得 2 2 Mmv Gm RR 解得 GM v R 同理，穿梭机在轨道上的速率 GM v r 由以上各式可得 R vv r 解得 7.6km/sv . （3）应减速.万有引力 2 Mm FG r ，向心力
8、 2 n v Fm r ，穿梭机要进入较低轨道，万有引力必 须大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当 v 减小时，向心力减小，则万有引力大于向 心力，穿梭机做向心运动，从而进入半径较小的轨道. 3.答案：（1）地球的质量为 3 4 3 MR 在地球表面附近时，万有引力与重力近似相等，有 2 Mm mgG R 由式联立解得地球的平均密度 3 4 g GR . （2）根据牛顿第二定律有 2 1 () A Mm Gma Rh 由式联立解得 2 2 1 () A gR a Rh . （3）飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有 2 2 22 2 4 () () Mm Gm Rh RhT 由题
9、意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为 t T n 由式联立解得，椭圆轨道远地点 B 距地面的高度为 2 2 3 2 22 4 gR t hR n . 解析：在地球表面附近，万有引力与重力近似相等，据此可计算地球的密度.飞船在轨道上 运行时万有引力提供向心力，可求出飞船在轨道上的相关运动参量. 4.答案：（1）设地球质量为 M，卫星 B 的质量为 m，万有引力提供卫星 B 做匀速圆周运动 的向心力，有 2 22 4 () () B Mm GmRh RhT 在地球表面有 0 0 2 m G R g M m 联立解得 3 2 () 2 B Rh T gR . （2）它们再一次相距最近时，B 比 A
10、 多转了一圈，有 0 2 Bt t 其中 2 B B T 解得 2 0 3 2 () t gR Rh . 解析： 本题考查万有引力定律和圆周运动的综合问题.解题的关键是明确AB、卫星再一次相 距最近时，B 比 A 多转了一圈. 5.答案：(1) 2 L L Gm (2) 3 3(1) 2 NM L 解析：(1)双星均绕它们的连线的中点做圆周运动，设运动速率为 v，向心加速度满足下面的 方程 22 2 2 Gm m v L L 2 Gm v L 周期 2( ) 2 2 L T L L vGm 计算 (2)根据观测结果，星体的运动周期 1 TTT N 观察计算计算 这说明双星系统中受到的向心力大于
11、本身的引力，故它一定还受到其他指向中心的作用力， 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质， 均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与 一质量等于球内暗物质的总质量M位于中点处的质量点相同 考虑暗物质作用后双星的速 度即为观察到的速度v观， 则有 2 2 2 2 ( ) 22 GMMM MG L L v L 观 (4) = 2 G MM v L 观 因为在轨道一定时，周期和速度成反比， 由题意得： 111 vvN 观 综合以上各式得： 1 4 N MM 设所求暗物质的密度为 ，则有 3 41 ( ) 324 LN M ， 故 3 3(1) 2 NM L . 6.答案：(1) 2 2 2 3 Gm
12、 a (2) 2 2 7Gm a (3) 7 4 a (4) 3 a Gm 解析：(1)由万有引力定律，A 星受到BC、的引力的大小： 2 22 2 AC BACA Gm mGm FF aa ， 方向如图，则合力的大小为 2 2 2cos302 3 ABA Gm FF a . (2)同上，B 星受到的引力分别为： 22 222 2 , BC ABCB Gm mGmGm FF aaa ，方向如图； 沿 x 方向： 2 2 cos602 BxABCB Gm FFF a 沿 y 方向： 2 2 3 sin60 ByAB Gm FF a = 可得 2 22 2 7 BBB Gm FF xF y a . (3)通过对于 B 的受力分析可知，由于 2 2 2 AB Gm F a ， 2 22 BC CB Gm mGm F aa ，合力的方向经 过BC的中垂线AD的中点，所以圆心 O 一定在BC的中垂线AD的中点处所以 22 137 ()() 244 CB RRaaa . (4)由题可知 C 的受力大小与 B 的受力大小相同，对 C 星， 2 2 2 2 7() CBC Gm FFmR aT ， 整理得 3 a T Gm .
