1、专题专题 10 10 最优化最优化 阅读与思考阅读与思考 数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带 有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最 值问题，解最值问题的常见方法有： 1配方法 由非负数性质得0 2 ba 2不等分析法 通过解不等式（组） ，在约束条件下求最值 3运用函数性质 对二次函数0 2 acbxaxy，若自变量为任意实数值，则取值情况为： （1）当0a， a b x 2 时， a bac y 4 4 2 最小值 ； （2）当0a， a b x 2 时， a bac y 4 4 2
2、 最大值 ； 4构造二次方程 利用二次方程有解的条件，由判别式0确定变量的取值范围，进而确定变量的最值 例题与求解例题与求解 【例【例 1】当x变化时，分式 1 2 1 563 2 2 xx xx 的最小值是 （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确 定最小值 【例【例 2】已知1y，且12 yx，则 22 3162yxx的最小值为（ ） A. 7 19 B. 3 C. 7 27 D. 13 （太原市竞赛试题） 解题思路：解题思路：待求式求表示为关于 x(或 y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的
3、是变量 x、y 的隐含限制 【例【例 3】 2 13 2 2 x xf，在bxa的范围内最小值 2a，最大值 2b，求实数对(a，b). 解题思路解题思路:本题通过讨论 a，b 与对称轴0 x的关系得出结论 【例【例 4】 （1）已知 2 1 1xxy的最大值为 a，最小值 b，求 22 ba 的值 （ “ 数学周报杯”竞赛试题） （2）求使1684 2 2 xx取得最小值的实数x的值 （全国初中数学联赛试题） （3）求使201641412949 2222 yyyxyxx取得最小值时 x，y 的值 （ “我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题） 解题思路：解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了
4、利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常 用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等 【例【例 5】如图，城市 A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇 B 需从 A 市购进大量生活、生产用 品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从 B 修筑一条公路到铁路边，使从 A 到 B 的运费最低？ （河南省竞赛试题） 解题思路：解题思路：设铁路与公路的交点为 C，ACx 千米，BCy 千米，ADn 千米，BDm 千米，又设铁 路每千米的运费为 a 元，则从 A 到 B 的运费aymynaS2 22 ，通过有理化，将式子整理为关 于y的方程 【例【例 6】 （1）设 r x， 1r
5、 x， k x（rk ） ，为 kr1 个互不相同的正整数，且 xrxr1xk 2003，求k的最大可能值 （香港中学竞赛试题） （2）a，b，c 为正整数，且 432 cba，求 c 的最小值 （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：对于(1)，因 r1，对 kr1 k11k 个正整数 x1，x2，xk，不妨设 x1x2 xk2013，可见，只有当各项 x1，x2，xk的值愈小时，才能使 k 愈大（项数愈多） ，通过放缩求 k 的 最大值；对于（2） ，从 222 bacac入手 能力训练能力训练 A 级级 1已知三个非负数 a，b，c，满足 3a2bc5 和 2ab3c1，若 m3a
6、b7c，则 m 的最小 值为_，最大值为 2多项式 p2x24xy5y212y13 的最小值为 3已知 x，y，z 为实数，且 x2yz6，xy2z3，那么 x2y2z2的最小值为 （ “希望杯”邀请赛试题） 4若实数 a，b，c，满足 a2b2c29，则代数式(ab)2(bc)2(ca)2的最大值为 ( ) （全国初中数学联赛试题） 5已知两点 A(3，2)与 B(1，1)，点 P 在 y 轴上且使 PAPB 最短，则 P 的坐标是（ ） A.(0， 2 1 ) B.(0，0) C.(0， 6 11 ) D.(0， 4 1 ) （盐城市中考试题） 6正实数x，y满足1xy，那么 44 4 1
7、1 yx 的最小值为（ ） A. 2 1 B. 8 5 C. 1 D. 4 5 E. 2 （黄冈市竞赛试题） 7某公司试销一种成本单价为 500 元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高 于 800 元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数bkxy的关系 （如图所示）. （1）根据图象，求一次函数bkxy的解析式； （2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为 S 元 试用销售单价x表示毛利润； 试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？ （南通市中考试题） 8方程0612 2 mx
8、mx有一根不大于1，另一根不小于1， （1）求m的取值范围； （2）求方程两根平方和的最大值与最小值 （江苏省竞赛试题） 9已知实数 a，b 满足1 22 baba，求 22 baba的最大值与最小值 （黄冈市竞赛试题） 10.已知 a，b，c 是正整数，且二次函数cbxaxy 2 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A，B，若点 A，B 到原点的距离都小于 1，求 abc 的最小值 （天津市竞赛试题） 11某单位花 50 万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用 后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第 x 天应付的养护与维修费为 5001 4 1 x
9、元 （1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天， 叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗 y（元）表示为使用天数 x（天）的函数 （2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该 设备投入使用多少天应当报废？ （河北省竞赛试题） B 级级 1a，b 是正数，并且抛物线baxxy2 2 和abxxy2 2 都与 x 轴有公共点，则 22 ba 的 最小值是 2设 x，y，z 都是实数，且满足 xyz1，xyz2，则zyx的最小值为 3如图，B 船在 A 船的西偏北 45处，两船相距210km，若 A 船向西航行
10、，B 船同时向南航行， 且 B 船的速度为 A 船速度的 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离为 km （全国初中数学竞赛试题） 东东 北北 A B 4若 a，b，c，d 是乘积为 1 的四个正数，则代数式 a2b2c2d2abbcacadbdcd 的最 小值为（ ） A. 0 B. 4 C. 8 D. 10 （天津市竞赛试题） 5已知 x，y，z 为三个非负实数，且满足 3x2yz5，xyz2. 若 s2xyz，则 s 的最大值 与最小值的和为（ ） A. 5 B. 4 23 C. 4 27 D. 4 35 （天津市选拔赛试题） 6如果抛物线11 2 kxkxy与 x 轴的交点为 A，B，顶
11、点为 C，那么ABC 的面积的最小 值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 7某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元售出时，每天可卖出 60 个，商店经理到市场上做了 一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个 18 元的基础上）每提高 1 元，则日销售量就减少 5 个； 若将这种商品的售价（在每个 18 元的基础上）每降低 1 元，则日销量就增加 10 个，为获得每日最大利润， 此商品售价应定为每个多少元？ （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 8有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 p（万元）和 q（万元） ，它们与 投入资金 x（万元）的关系有经验公式：xqx
12、p 5 3 , 5 1 .今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品，为 获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？ （绍兴市竞赛试题） 9已知为 x，y，z 为实数，且5zyx，3zxyzxy，试求z的最大值与最小值 10已知三个整数 a，b，c 之和为 13，且 b c a b ，求 a 的最大值和最小值，并求出此时相应的 b 与 c 值 （四川省竞赛试题） 11设 x1，x2，xn是整数，并且满足： 1xi2，i1，2，n x1x2xn19 x12x22xn299 求 x13x23xn3的最大值和最小值 （国家理科实验班招生试题） 12已知 x1，x2，x40都是正整数，且 x1x2x4058，若 x12x22x402的最大值为 A， 最小值为 B，求 AB 的值 （全国初中数学竞赛试题）
