1、第 1 页（共 12 页） 2020-2021 学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，有且在每小题给出的四个选项中，有且 只有一个选项是符合题目要求的只有一个选项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知在等差数列an中，a12，公差 d1，则 a3（ ） A3 B4 C5 D6 2 （5 分）已知抛物线 2 8yx，那么其焦点到准线的距离是( ) A2 B4 C6 D8 3 （5 分）命题“若1x ，则 2 2x ”
2、的否命题是( ) A “若 2 2x ，则1x ” B “若 2 1x ，则1x ” C “若1x ，则 2 2x ” D “若1x ，则 2 2x ” 4 （5 分）若a、b、cR且ab，则一定有( ) Aacbc B 2 ()0ab c C 11 ab D22ab 5（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a、b、c， 若45A ，60B ，2a ， 则(b ) A6 B2 C3 D2 6 6 （5 分）椭圆 2 2 1 2 x y的焦点是( ) A( 1,0) B(0, 1) C(3，0) D(0,3) 7 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 0 1 0 xy x y ，则
3、目标函数2zxy的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 8 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1a ，3, 6 cB ，则 ABC的面积为( ) A 3 2 B 3 4 C 3 2 或3 D 3 2 或 3 4 9 （5 分）已知命题:pxR ，sinxx，则( ) 第 2 页（共 12 页） A非:pxR ，sinx x B非:pxR ，sinx x C非:pxR ，sinx x D非:pxR ，sinx x 10 （5 分）双曲线 2 2 1 8 y x 的渐近线方程是( ) Ayx B2 2yx C2yx D 2 4 yx 11 （5 分）若aR，则“2a ”是
4、“| 2a ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 12 （ 5分 ） 等 比 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 且 4756 18a aa a， 则 3132310 l o gl o gl o g(aaa ) A12 B10 C8 D 3 2log 5 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）若xR，则 4 x x 的最小值为 14 （5 分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a ，3b ， 4c ，则cos A 15 （5 分） 已
5、知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa， 则数列 n a的通项公式 n a 16 （5 分）已知点P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上任意一个点，若点P到双曲线两条 渐近线的距离乘积等于 2 3 b ，则双曲线的离心率为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （10 分）在各项均为正项的等比数列 n a中， 1 1a ， 53 4aa （1）求 n a的通项公式； （2）记 n S为 n a的前n项和，求 n S 18 （12 分）在锐
6、角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32 sinacA （）确定角C的大小； （）若7c ，且ABC的面积为 3 3 2 ，求ab的值 19 （12 分） 已知aR， 命题:1px ，2， 2 a x； 命题:qxR ， 2 2(2)0 xaxa 第 3 页（共 12 页） （1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题“pq”是真命题，命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围 20 （12 分）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为 2 12m的矩形，房高为3m因 地理位置的限制，房屋侧面的宽度x不得超过 5 米，房屋正面的造价为 400 元 2 /m，房屋侧
7、面的造价为 150 元 2 /m，屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元，不计房屋背面的费用，设 房屋的总造价为y元 （1）求y用x表示的函数关系式； （2）当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 21 （12 分）设数列 n a满足 12 3(21)2 n aanan （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 21 n a n 的前n项和 22 （12 分） 已知点(0, 2)A， 椭圆 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆E的 右焦点，直线AF的斜率为 2 3 3 ，O是坐标原点 （1）求E的方程； （2）设过点A的直线l与E相交于P，Q
8、两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程 第 4 页（共 12 页） 2020-2021 学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科）学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，有且在每小题给出的四个选项中，有且 只有一个选项是符合题目要求的只有一个选项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知在等差数列an中，a12，公差 d1，则 a3（ ） A3 B4 C5 D6 【解答】解：在等差数列an中，a12，公差 d1， a3a
9、1+2d2+214 故选：B 2 （5 分）已知抛物线 2 8yx，那么其焦点到准线的距离是( ) A2 B4 C6 D8 【解答】解：抛物线 2 8yx，那么其焦点到准线的距离是：4 故选：B 3 （5 分）命题“若1x ，则 2 2x ”的否命题是( ) A “若 2 2x ，则1x ” B “若 2 1x ，则1x ” C “若1x ，则 2 2x ” D “若1x ，则 2 2x ” 【解答】解：命题“若1x ，则 2 2x ”的否命题是“若1x ，则 2 2x ” 故选：D 4 （5 分）若a、b、cR且ab，则一定有( ) Aacbc B 2 ()0ab c C 11 ab D22
10、ab 【解答】解：对于A：当0c 时，故acbc，故A错误； 对于B：当0c 时， 2 ()0ab c，故B错误； 对于C：当1a ，0b 时， 1 b 无意义，故C错误； 对于D：由于ab，则22ab，故D正确； 故选：D 5（5 分） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a、b、c， 若45A ，60B ，2a ， 第 5 页（共 12 页） 则(b ) A6 B2 C3 D2 6 【解答】解：45A ，60B ，2a ， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得： 3 2 sin 2 6 sin2 2 aB b A 故选：A 6 （5 分）椭圆 2 2 1 2 x y的焦点是(
11、) A( 1,0) B(0, 1) C(3，0) D(0,3) 【解答】解：由椭圆方程，可得2a ，1b ， 所以 22 1cab， 又焦点在x轴上，所以焦点坐标为( 1,0)， 故选：A 7 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 0 1 0 xy x y ，则目标函数2zxy的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 【 解 答 】 解 ： 作 出 变 量x，y满 足 约 束 条 件 0 1 0 xy x y 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 第 6 页（共 12 页） 由2zxy得2yxz ， 平移直线2yxz ， 由图象可知当直线2yxz 经过点A时，直线的纵截距最大， 此时z最大，
12、 由 1 0 x y ，可知(1,0)A 此时2 102z ， 故选：C 8 （5 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1a ，3, 6 cB ，则 ABC的面积为( ) A 3 2 B 3 4 C 3 2 或3 D 3 2 或 3 4 【解答】解：因为1a ，3, 6 cB ， 所以 1113 sin13 2224 ABC SacB 故选：B 9 （5 分）已知命题:pxR ，sinxx，则( ) A非:pxR ，sinx x B非:pxR ，sinx x C非:pxR ，sinx x D非:pxR ，sinx x 第 7 页（共 12 页） 【解答】解：对全称命题的否定既要
13、否定量词又要否定结论，:pxR ，sinx x，则非 :pxR ，sinx x 故选：C 10 （5 分）双曲线 2 2 1 8 y x 的渐近线方程是( ) Ayx B2 2yx C2yx D 2 4 yx 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 2 2 1 8 y x ， 则其渐近线方程为 2 2 0 8 y x ， 化简可得2 20 xy 故 2 2 1 8 y x 的渐近线方程为：2 2yx 故选：B 11 （5 分）若aR，则“2a ”是“| 2a ”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解： “| 2a ” 2a，或2a “2a
14、 ”是“| 2a ”的充分不必要条件， 故选：A 12 （ 5分 ） 等 比 数 列 n a的 各 项 均 为 正 数 且 4756 18a aa a， 则 3132310 l o gl o gl o g(aaa ) A12 B10 C8 D 3 2log 5 【解答】解： 4756 18a aa a，由等比数列的性质可得： * 475611 9( nn a aa aa anN ， 10)n， 5 3132310312103 loglogloglog ()910aaaaaalog 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.
15、13 （5 分）若xR，则 4 x x 的最小值为 4 第 8 页（共 12 页） 【解答】解：xR， 44 24xx xx 当且仅当 4 x x 即2x 时取等号， 4 x x 的最小值为：4 故答案为：4 14 （5 分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a ，3b ， 4c ，则cos A 7 8 【解答】解：在ABC中， 222 9 1647 cos 22 3 48 bca A bc ， 故答案为： 7 8 15（5 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa， 则数列 n a的通项公式 n a 2n 【解答】解：数列 n a的前n项和为 n
16、S，22 nn Sa， 当1n 时，解得 1 2a ， 当2n时， 11 22 nn Sa ， 得： 1 22 nnn aaa ， 整理得： 1 2 n n a a （常数） ， 故数列 n a是以 2 为首项，2 为公比的等比数列； 所以 1 2 22 nn n a 故答案为：2n 16 （5 分）已知点P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上任意一个点，若点P到双曲线两条 渐近线的距离乘积等于 2 3 b ，则双曲线的离心率为 3 【解答】解：设 0 (P x， 0) y，则 22 00 22 1 xy ab ，即 222222 00 b xa ya b 双曲线两条渐近线
17、的方程为0bxay，则点P到两条渐近线的距离乘积为： 2222222 000000 222 2222 | | 3 bxaybxayb xa ya bb abc abab ， 第 9 页（共 12 页） 故3 c e a 故答案是：3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17 （10 分）在各项均为正项的等比数列 n a中， 1 1a ， 53 4aa （1）求 n a的通项公式； （2）记 n S为 n a的前n项和，求 n S 【解答】解： （1）在各项均为正项的等比数列
18、n a中， 1 1a ， 53 4aa 42 14 (1)qq ， 解得2q 或2q （舍去） ， n a的通项公式为 1 2n n a ； （2） 1 1a ，2q ， 1 (12 ) 21 12 n n n S 18 （12 分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且32 sinacA （）确定角C的大小； （）若7c ，且ABC的面积为 3 3 2 ，求ab的值 【解答】解： （1）由32 sinacA及正弦定理得： 2sinsin sin3 aAA cC ， sin0A， 3 sin 2 C 在锐角ABC中， 3 C （2）7c ， 3 C ， 由面积公式得 13 3
19、sin 232 ab ，即6ab 由余弦定理得 22 2cos7 3 abab ，即 22 7abab 由变形得 2 ()25ab，故5ab 19 （12 分） 已知aR， 命题:1px ，2， 2 a x； 命题:qxR ， 2 2(2)0 xaxa 第 10 页（共 12 页） （1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题“pq”是真命题，命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）根据题意，命题:1px ，2， 2 a x； 由于1x，2，则 2 14x剟， 若命题p是真命题，必有1a， 则a的取值范围为(，1； （2）命题:qxR ， 2 2(2)0 x
20、axa， 若q为真，即方程 2 2(2)0 xaxa有解，必有 2 44(2) 0aa， 解可得：2a 或1a， 若命题“pq”是真命题，命题“pq”是假命题，则p、q必为一真一假， 若p假q真，则有 1 21 a aa 或剠 ，则有1a ， 若p真q假，则有 1 21 a a ，则有21a ， 综合可得：a的取值范围为( 2，1)(1，) 20 （12 分）某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为 2 12m的矩形，房高为3m因 地理位置的限制，房屋侧面的宽度x不得超过 5 米，房屋正面的造价为 400 元 2 /m，房屋侧 面的造价为 150 元 2 /m，屋顶和地面的造价费用合计为 5
21、800 元，不计房屋背面的费用，设 房屋的总造价为y元 （1）求y用x表示的函数关系式； （2）当x为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【解答】解： （1）因为侧面宽度为x，则正面长度为12 x ， 由题意可得： 12 3(2150400)5800yx x 16 900()5800 x x ，(05)x ， 故函数 16 900()5800yx x ，(05)x ； （2）由（1）可得： 第 11 页（共 12 页） 161616 900()5800 900258005800 90025800yxxx xxx 厖 9008580013000， 当且仅当 16 x x ，即4x 时，130
22、00 min y， 所以当x为 4 米时，总造价最低，最低总造价是 13000 元 21 （12 分）设数列 n a满足 12 3(21)2 n aanan （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 21 n a n 的前n项和 【解答】解： （1）数列 n a满足 12 3(21)2 n aanan 2n时， 121 3(23)2(1) n aanan (21)2 n na 2 21 n a n 当1n 时， 1 2a ，上式也成立 2 21 n a n （2） 211 21(21)(21)2121 n a nnnnn 数列 21 n a n 的前n项和 1111112 (1)()()1
23、33521212121 n nnnn 22 （12 分） 已知点(0, 2)A， 椭圆 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的离心率为 3 2 ，F是椭圆E的 右焦点，直线AF的斜率为 2 3 3 ，O是坐标原点 （1）求E的方程； （2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求直线l的方程 【解答】解： （1）设( ,0)F c，由条件知 22 3 3c ，得3c ，又 3 2 c a ， 2a， 222 1bac， 故E的方程为： 2 2 1 4 x y； （2）当lx轴时，不合题意， 故设:2l ykx， 1 (p x， 1) y， 2 (Q x， 2)
24、 y， 第 12 页（共 12 页） 联立 2 2 2 1 4 ykx x y ，得 22 (1 4)16120kxkx 当 2 16(43)0k，即 2 3 4 k 时， 2 1 2 82 43 41 kk x k ， 2 2 2 82 43 41 kk x k 从而 22 2 12 2 4143 |1| 41 kk PQkxx k 又点O到直线PQ的距离 2 2 1 d k OPQ的面积为 2 2 14 43 | 241 OPQ k SPQ d k ， 设 2 43(0)kt t， 则 2 444 1 4 42 4 OPQ t S t t t ，当且仅当 4 t t ，即2t 时取“” 2 432k ，即 7 2 k 时等号成立，且满足0， 当OPQ的面积最大时，l的方程为 7 2 2 yx或 7 2 2 yx
