1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试（ 北京卷 ） 数学（文科）答案解析 第 卷 一、选择题 1 【答案】 B 【解析】 集合 A中的元素仅有 1， 0， 1三个数，集合 B中元素为大于等于 1且小于 1的数，故集合 A，B的公共元素为 1， 0，故选 B 2 【答案】 D 【解析】 A 选项中若 c小于等于 0 则不成立， B 选项中若 a 为正数 b为负数则不成立， C 选项中若 a， b 均为负数则不成立，故选 D 3 【答案】 C 【解析】 A选项为奇函数， B选项为非奇非偶函数， D选项虽为偶函数但在 (0 )?， 上是增函数，故选 C 4 【答案】 A
2、 【解析】 ()i 2 i 1 2i ，其在复平面上的对应点为 (1)2， ，该点位于第一象限，故选 A 5 【答案】 B 【解析】 根据正弦定理， sin sinabAB? ，则 5 1 53 3 9s in s inBAba ? ，故选 B 6 【答案】 C 【解析】 0i 时，向下运行，将 2 122 1 3SS? ?赋值给 S， i增加 1变成 1，经判断执行否，然后将 2 1 132 1 21SS? ?赋值给 S， i增加 1变成 2，经判断执行是，然后输出 1321S? ，故选 C 7 【答案】 C 【解析】 该双曲线离心率 11 me ?，由已知 12m? ，故 1m ，故选 C
3、 8 【答案】 B 【解析】 设正方体的棱长为 a ， 建立空间直角坐标系，如图所示 ： 【 ;百万教育资源文库 】 则 11( ) ( ) (0 0 0 0 0 0 0 ) 0()D D a C a a C a， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，, 11( ) (0 , 0 0 ) ( ) ( 0 )B a B a a A a A a a， ， ， ， ， ， ， ， ， ，2 2 1,3 3 3P a a a? ?， 则 2221 1 1 39 9 9 3P B a a a a? ? ? ?， 2 2 24 4 19 9 9P D a a a a? ? ? ?， 2221 4 4 4
4、 2 39 9 9 3P D a a a a? ? ? ?， 2 2 211 4 1 49 9 9P C P A a a a a? ? ? ? ?， =PC PA 2224 1 1 69 9 9 3a a a a? ? ?， 2 2 21 1 1 4 69 9 9 3P B a a a a? ? ? ?， 故共有 4个不同取值，故选 B 第 卷 二、填空题 9 【答案】 2 1x 【解析】 根据抛物线定义 12p? ， 2p ，又准线方程为 - -12px?，故填 2， 1x 10【答案】 3 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为 3，四棱锥的高为 1
5、，根据体积公式 1 3 3 1 33V ? ，故该棱锥的体积为 3 11 【答案】 2 122n 【解析】 根据等比数列的性质知 3 5 2 4()a a q a a ， 2q ，又 32 4 1 1a a a q a q ，故求得 1 2a ， nS 12(1 - 2 )1 - 2 22nn 12 【答案】 255【解析】 区域 D表示的平面部分如图阴影所示： 根据数形结合知 (1)0， 到 D的距离最小值为 (1)0， 到直线 20xy 的距离 |2 1-0| 2 5=55?。 13 【答案】 ( 2)? ， 【解析】 当 1x? 时， 1122log log 1x ?，即 12log 0
6、x?，当 1x 时， 10 2 2x ，即 0 2 2x ；故 ?fx的值域为 ( 2)? ， 。 14 【答案】 3 【解析】 AP AB AC?， 2()1AB? ， ， 1()2AC? ， 。 设 ()Px y， ，则 ()11xyAP ? ， 。 【 ;百万教育资源文库 】 -1 2 ,-1 2 ,xy ? ?得2 - - 3 ,32 - 3 ,3xyyx? ? ? 1 2 0 1? ? ? ?， ， 可得 6 2 - 9,0 - 2 3,xyxy?如图。 可得 1 1 13 0 4( ) ( ) ( 3 )26A B C， ， ， ， ， 11AB 22(4-3) +2 = 5， 两
7、直线距离2| 9 - 6 | 3521d ? ， 11 3S A B d? 三、解答题 15 【答案】（ 1） ?fx的最小正周期为 2 ， 最大值为 22（ 2） 916? 【解析】 （ 1）因为 ? ? 2 12 c o s 1 s i n 2() c o s 42f x x x x 1c o s 2 sin 2 c o s 42x x x sin 4(2 41 )cosxx 【 ;百万教育资源文库 】 2 sin 424x ?， 所以 ?fx的最小正周期为 2 ， 最大值为 22（ 2）因为 ? ? 22f ? ，所以 sin 4 14?。 因为 ,2? ? ?，所以 9 17 ,4 4
8、 44? ? ?。 所以 54 + =42? 。故 916? 。 16 【答案】（ 1） 613 （ 2） 413 【解析】 （ 1）在 3月 1日至 3月 13日这 13天中， 1日、 2日、 3日、 7日、 12日、 13日共 6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是 613 。 （ 2）根据题意，事件 “此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染 ”等价于 “此人到达该市的日期是 4日，或5日，或 7日，或 8日 ”。 所以此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率为 413 。 （ 3）从 3月 5日开始连续三天的 空气质量指数方差最大。 17【答案】 （ 1）因为平
9、面 PAD ABCD?底 面 ，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA ABCD?底 面 . （ 2）因为 2AB C D C D AB， ， E为 CD 的中点， 所以 BE DE ，且 AB DE 。 所以 ABCD为平行四边形。 所以 BE AD . 【 ;百万教育资源文库 】 又因为 BE PAD?平 面 ， AD PAD?平 面 ， 所以 BE 平面 BAD. （ 3）因为 AB AD? ，而且 ABCD为平行四边形， 所以 BE C D AD C D?， 由（ 1）知 PA ABCD?底 面 ，所以 PA CD? . 所以 CD PAD?平 面 ， 所以 CD PD?
10、。 因为 E和 F分别是 CD和 PC的中点， 所以 PD EF 。所以 CD EF? 。 所以 CD BEF?平 面 。 所以 B E F P C D?平 面 平 面。 18 【答案】（ 1） ? ?0 0 1a b f ， （ 2） (1 )?， 【解析】 由 ? ? 2 s in c o sf x x x x x ，得 ? ? 2 cos()f x x x 。 （ 1）因为曲线 ? ?y f x 在点 ()a f A， （ ） 处与直线 yb 相切， 所以 2 0)c o s(f A a a（ ） ， b f A （ ） 。解得 ? ?0 0 1a b f ， 。 （ 2）令 ? ?0f
11、x ，得 x 0. ?fx与 ?fx的情况如下： x ( 0)? ， 0 (0 )?， ?fx 0 ?fx 1 所以函数 ?fx在区间 ( 0)? ， 上单调递减，在区间 (0 )?， 上单调递增， ? ?01f 是 ?fx的最小值。 当 1b? 时，曲线 ? ?y f x 与直线 yb 最多只有一个交点； 当 1b 时， ? ? 22 2 4( 2 1 4 2 1)f b f b b b b b b? ， ? ?01fb ， 所以存在 12( ) (2 0 0 2 )b x bx ? ， ， ，使得 ? ? ? ?12f x f x B . 【 ;百万教育资源文库 】 由于函数 ?fx在区间
12、 ( 0)? ， 和 (0 )?， 上均单调，所以当 1b 时曲线 ? ?y f x 与直线 yb 有且仅有两个不同交点。 综上可知，如果曲线 ? ?y f x 与直线 yb 有两个不同交点，那么 b的取值范围是 (1 )?， 。 19 【答案】（ 1） 23 （ 2） 四边形 OABC不是菱形 【解析】 （ 1）因为四边形 OABC为菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分。 所以可设 1,2At?，代入椭圆方程得 2 1 144t ?，即 3t? 。 所以 23AC 。 （ 2）假设四边形 OABC为菱形。 因为点 B不是 W的顶点，且 AC OB? ，所以 0k? . 由 224 4,xyy
13、 kx m? ? ?消 y并整理得 2 2 2()1 4 8 4 4 0k x k m x m 设 1 1 2 2( ) ( )A x y C x y， ， ， 则 12242 1 4xx kmk? ? ?， 1 2 1 222 2 1 4y y x x mkm k? ? ? ? ?。 所以 AC的中点为224 ,1 4 1 4km mM kk?。 因为 M为 AC和 OB的交点，且 00mk?， ，所以直线 OB的斜率为 14k 。 因为 14 1k k? ，所以 AC与 OB不垂直。 所以四边形 OABC不是菱形，与假设矛盾。 所以当点 B不是 W的顶点时，四边形 OABC不可能是菱形。
14、20【答案】（ 1） 1 2 32 3 6d d d ， ， （ 2） 1 2 1nd d d? ， ， 是等比数列 （ 3） 1 2 1na a a? ， ， ， 是等差数列 【解析】 （ 1） 1 2 32 3 6d d d ， ， 【 ;百万教育资源文库 】 （ 2）因为 1 0a ，公比 1q ， 所以 12 na a a?， ， ， 是递增数列。 因此，对 11 2 1 i i i ii n A a B a? ， ， ， ， ， 于是对 1 2 1in? ， ， ， ， 111 ()1 ii i i i id A B a a a q q 因此 0id? 且 1iid qd? ? (
15、2 )12in? ， ， ， ， 即 1 2 1nd d d? ， ， ， 是等比数列。 （ 3）设 d为 1 2 1nd d d? ， ， ， 的公差。 对 12in? ，因为 1 0iiB B d? ， ， 所以 1 1 1i i i i i i i iA B d B d d B d A? 。 又因为 11x mai i iA A a ， ， 所以 11i i i ia A A a? 。 从而 1 2 1na a a? ， ， ， 是递增数列。 因此 1 2 1()iiA a i n? ， ， ， 。 又因为 1 1 1 1 1 1B A d a d a ， 所以 1 1 2 1nB a a a? 因此 1naB 所以 1 2 1nnB B B a? 。 所以 i i i i n ia A B d a d 。 因此对 1 2 2in? ， ， ， 都有 11i i i ia a d d d ，即 1 2 1na a a? ， ， ， 是等差数列。
