1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科）答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 2|3A x x? ?，利用二次不等式的解法可得 ? |3B x x?或 ?1x? ，易得 ? ?|3A B x x? 【提示】 求出集合 B ，然后直接求解 AB 【考点】集合间的基本运算 2.【答案】 D 【 解析 】题目中 02xy? ?表示的区域表示正方形区域，而动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此 2122 2 4 42 2 4P? ? ? ?，故选 D 【提示】 本例的测度即为区域的面积，故只要求出题
2、中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于 2 的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可 【考点】 不等式组，平面区域 与几何概率 3.【答案】 B 【解析】当 0a? 时，如果 0b? ，此时 i0ab?是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果 iab? 已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 0a? ，因此是必要条件，故选 B 【提示】 利用前后两者的因果关系 ,即可判断充要条件 【考点】复数的概念 ， 充分、必要条件 4.【答案】 C 【解析】 0 , 1 1 , 1 2 , 2 3 , 8k s k s k s k s? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，循
3、环结束，输出的 s 为 8，故选 C 【提示】 列出循环过程中 s 与 k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环 【考点】循环结构的程序框图 5.【答案】 A 【解析】由切割线定理可知 2CE CB CD? ，在直角 ABC 中 9 0 ,ACB CD AB? ? ?，则由射影定理可知2CD AD DB? ，所以 CE CB AD DB? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由题中 三角形和圆的位置关系，通过条件求解 即可 【考点】 几何证明选讲 6.【答案】 B 【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析 3
4、种选择，之后二位，有 2 种选择，最后百位 2 种选择，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有 3 种选择，十位有 2 种选择，百位有一种选择，共 6 种，因此总共 12 6 18? 种，选 B 【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性 即可 【考点】排列组合 7.【答案】 B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式，可得： 1 0 , 1 0 , 1 0 , 6 5S S S S? ? ? ?后 右底 左，因此该几何体表面积 30 6 5S? ，故选 B 【提示】 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视
5、图的数据求出几何体的表面积即可 【考点】由三视图 求 几何体的表面积 8.【答案】 C 【解析】由图可知 6， 7， 8， 9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C 【提示】 由已知中图像表示某棵果树前 n 年的总产量 S 与 n 之间的关系，结合图像可得答案 【考点】函数图像的应用 第 卷 二、填空题 9.【答案】 2 【解析】直线转化为 1xy?，曲线转化为圆 229xy?， 圆心 (0,0) 到 直线 1xy?的 距离 1 32d?，所以有两个 交点 【提示】 将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论 【考点】直线和圆的位置关系 10.【答案】
6、 1 【解析】 23Sa? ，所以1 1 1 2 11212a a d a d d a a d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 由 na 是等差数列 23Sa? ，解得 12d? ，由此能求出 2a 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 等差数列的通项 11.【答案】 4 【解析】在 ABC 中，得用余弦定理 2 2 2 1 4 ( ) ( ) 4 7( )c o s 2 4 4 4a c b c b c b c bB a c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，化简得8 7 4 0cb? ? ? ，与题目条件 7bc? 联立，可解得 4, 3bc?，答案为 4
7、【提示】 根据 27a b c? ? ?， ， 1cos 4B? ， 利用余弦定理可得，即可求得 b 的值 【考点】余弦定理的运用 12.【答案】 3 【解析】由 2 4yx? ，可求得焦点坐标为 (1,0)F ，因为倾斜角为 60 ，所以直线的斜率为 tan 60 3k ?，利用点斜式，直线的方程为 33yx?，将直线和曲线方程联立233 1 2 3( 3 , 2 3 ) , ,334yx AByx? ? ? ? ? ?，因此 11 1 2 3 322O A F AS O F y? ? ? ? ? ? ? 【提示】 确定直线 l 的方程，代入抛物线方程，确定 A 的坐标，从而可求 OAF 的
8、面积 【考点】抛物线的 简单 性质，直线与抛物线的位置关系 13.【答案】 1 【解析】根据平面向量的点乘 公式 c o sD E C B D E D A D E D A ?， 可知 cosDE A? ? ， 所以 2 1DE CB DA?； | | | | c o s | | c o sD E D C D E D C D E?， 又因为 cosDE ? 就是向量 DE 在 DC 边上的射影，要想让 DEDC 最大，即让射影最大，此时 E 点与 B 点重合，射影为 |DC ，所以长度为 1 【提示】 直接利用向量转化，求出数量积即可 【考点】平面向量在平面几何中的运用 14.【答案】 ( 4,
9、 2)? 【解析】 对于 ( ) 2 2xgx? ? ，当 1x? 时， ( ) 0gx? ，又 ( ) 0x R f x? ? ?， 或 ( ) 0gx? ( ) ( 2 ) ( 3 ) 0f x m x m x m? ? ? ? ?在 1x? 时恒成立 ， 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与 x 轴交点都在 (1,0) 的左 边 ， 则 03121mmm? ? ?， 40m? ? ? ， 即 成立的范围为 40m? ? ? ， 又 ( , 4)x?- ， ( ) ( ) 0f x g x ? ， 【 ;百万教育资源文库 】 此时 ( ) 2 2 0xgx? ? ? 恒成立 (
10、 ) ( 2 ) ( 3 ) 0f x m x m x m? ? ? ? ?在 ( , 4)x? 有成立的可能，则只要 4? 比 12xx， 中的较小的根大即可，（ i ）当 10m? ? ? 时，较小的根为 3m?， 34m? ? ? 不成立， （ ii ）当 1m? 时，两个根同为 24?- ，不成立， （ iii ）当 41m? ? ? 时，较小的根为 2 2 4mm?， - 即 2m? 成立 综上可得 成立时 42m? ? ? 【提示】 由于 ( ) 2 2 0xgx? ? ? 时， 1x? ，根据题意有 ( ) ( 2 ) ( 3 ) 0f x m x m x m? ? ? ? ?在
11、 1x? 时成立，根据二次函数的性质可求 由于 ( , 4)x?- ， ( ) ( ) 0f x g x ? ，而 ( ) 2 2 0xgx? ? ? ，则 ( ) ( 2 )( 3 ) 0f x m x m x m? ? ? ? ?在 ( , 4)x?-时成立，结合二次函数的性质可求 【考点】指数函数的性质，二次函数的性质 三、解答题 15.【答案】 （ ） | ,x x k k?Z （ ） , 8 k k k? ? ? ? ? Z和 3, 8k k k? ? ? Z【解析】 （） (s in c o s ) s in 2() s inx x xfx x? (s in c o s ) 2 s
12、 in c o ss inx x x xx? 2(sin cos ) cosx x x? sin 2 1 cos 2xx? ? ? 2 sin 2 14x? ? ?， | x x k k?Z, 原函数的定义域为 | ,x x k k?Z，最小正周期为 ； （）由 2 22 +,2 4 2k x k k? ? ? ? ? Z 【 ;百万教育资源文库 】 解得 3 ,88k x k k? ? ? ? ? Z又 | ,x x k k?Z， 原函数的单调递增区间为 , 8 k k k? ? ? ? ? Z， 3, 8k k k? ? ? Z 【提示】 （ ）直接求出函数的定义域和最小正周期 （ ）利用
13、正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可 【考点】三角函数的定义域 ， 周期 ， 单调性 16.【答案】 （ ） 证明 CD DE? ， 1AD DE? ， 又 1CD AD D? ， ?DE? 平面 1ACD ，又 1AC? 平面 1ACD ， ? 1AC? DE ， 又 1AC CD? ， CD DE D? ? 1AC? 平面 BCDE （ ）如图建 立空间直角坐标 系 C xyz? ， 则 ( 2,0,0)D? ， 1(0 0,2 3)A , ， (0,3,0)B ， ( 2,2,0)E? ， (0,0,0)C ， 1 (0,3, 2 3)AB?， 1 ( 2 ,
14、2, 2 3 )AE ? ? ? ， 设平面 1ABE 法向量为 ( , , )n x y z? ， 则 1100ABnAEn? ? 3 2 3 02 2 2 3 0yzx y z? ? ? ? ?322zyyx? ? ? ( 1,2, 3)n? 又 ( 1,0, 3)M ? ( 1,0, 3)CM ? 1 3 4 2c o s2| | | | 1 4 3 1 3 2 2 2C M nC M n? ? ? ? ? ? ? CM 与平面 1ABE 所成角的大小 45 （ ）设线段 BC 上存在点 P ，设 P 点坐标为 (0, ,0)a ，则 0,3a? 【 ;百万教育资源文库 】 则 1 (0
15、, , 2 3)A P a?， (2, ,0)DP a? 设平面 1ADP 法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z? ，则 11112 3 020ay zx ay? ? ? 11113612z ayx ay? ? ? 1 1 1 1( , , ) ( 3 , 6 , 3 )n x y z a a? ? ?， 假设平面 1ADP 与平面 1ABE 垂直，则 1 0nn? ， 3 12 3 0aa? ? ? ， 6 12a? ， 2a? 03a?， 不存在线段 BC 上存在点 P ，使平面 1ADP 与平面 1ABE 垂直 【提示】 （ ）证明 1AC 平面 BCDE ，因为 1AC
16、 CD? ，只需证明 1AC DE? ，即证明 DE? 平面 1ACD （ ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面 1ABE 法向量 ( 1,2, 3)n? ， ( 1,0, 3)CM ? ，利用向量的夹角公式，即可求得 CM 与平面 1ABE 所成角的大小； （ ）设线段 BC 上存在点 P ，设 P 点坐标为 (0, ,0)a ， 则 0,3a? ， 求出平面 1ADP 法向量为 1 ( 3 ,6, 3 )n a a? ， 假设平面 1ADP 与平面 1ABE 垂直，则 1 0nn? ，可求得 03a?，从而可得结论 【考点】平面图形的折叠问题 ， 立体几何 17.【答案】 （
17、 ）由题意可知 ，厨余垃圾 600 吨 ,投放到 “厨余垃圾” 箱 400 吨， 故 生活垃圾投放错误的概率 为 ： 400 2600 3? （ ）由题意可知 ，生活垃圾投放错误有 2 0 0 6 0 2 0 2 0 3 0 0? ? ? ?, 故生活垃圾投放错误的概率 ： 200 60 40 31000 10? ? （ ）由题意可知： 600abc? ， ,abc的 平均数为 200， 2 2 2 2 2 2 211 ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 1 2 0 0 0 0 )33S a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因此有当 600a? ， 0b? ， 0c? 时有 2 80000S ? 【提示】 （ ）厨余垃圾 600 吨，投放到 “ 厨余垃圾 ” 箱 400 吨
