1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年 普通 高等学校招生全国统一考试 （北京卷） 数学 （理科）答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 C 【解析】 ? ?0,2A? ， 0 , 2 0 ,1 ,2 0 , 2 AB? ，故选 C. 【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集 . 【考点】交集及其运算 2.【答案】 A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项 B中的函数在（ 0， 1）上递减，选项 C， D中的函数在 (0, )? 上为减函数，所以排除 B， C， D，故选 A. 【提示】 根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论 . 【考点】 对数函数的单调
2、性与特殊点 3.【答案】 B 【 解析】曲线方程消去参数化为 22( 1) ( 2) =1xy? ? ? ，其对称中心点为 (1,2)? ，验证知其在直线 2yx? 上，故选 B. 【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线 . 【考点】曲线 的 参数方程 4.【答案】 C 【解析】 =1 7 6 5=210S ? ? ? ，故选 C. 【提示】 由循环语句、条件语句执行程序，直至结束 . 【考点】循环结构 5.【答案】 D 【解析】当 1 01aq?， 时，数列 na 递减；当 1 0a? ，数列 na 递增时， 01q?，故选 D. 【提示】 根据等比数列的性质，结合充
3、分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 . 【考点】充分、必要条件 ，等比数列的性质 6.【答案】 D 【解析】可行域如图所示，当 0k? 时，知 z y x?无最小值，当 0k? 时，目标函数线过可行域内 A点时 z【 ;百万教育资源文库 】 有最小值 .联立 020ykx y? ? ? ?解得 2,0Ak?，故min 2=0+ =4z k即 1= 2k ? ，故选 D. 【提示】 给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数 . 【考点】 简单线性规划 7.【答案】 D 【解析】设顶点 D在三个坐标平面 xOy、 yOz 、 zOx 上的正投影分别为 1D 、 2D 、 3D ，
4、 则 112AD BD?， 2AB? ， 1 1S 2 2=22? ? ?，221 2 2 22O C DSS? ? ? ? ? ，331 2 2 22O A DSS? ? ? ? ? ，故选 D. 【提示】 分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论 . 【考点】空间直角坐标系 8.【答案】 B 【解析】 假设 A、 B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生 “ 成绩好 ” ，与已知条件 “ 他们之中没有一个比另一个成绩好 ” 相矛盾 .因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的 .因为数学成绩只有 3种，因而
5、学生数量最大为3，即 3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选 B. 【提示】 分别用 ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得 A， B， C的学生 各 最多只有 1个，继而推得学生的人数 . 【考点】排列组合数的应 用 第 卷 二 、 填空题 9.【答案】 1? 【解析】 22221 i (1 i ) 2 i 11 i (1 i ) (1 i ) 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 复数的乘、除运算，直接计算出结果 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 复数代数形式的四则运算 10.
6、【答案】 5 【解析】 0ab? = ， ab? ? ， | | 5| | 51|ba? ? ? ?. 【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求 |? 的值 . 【考点】 向量的线性运算 11.【答案】 22=13 12xy?2yx? 【解析】设双曲线 C的方程为 2 24y x ?，将 (2,2) 代入得 2 22 2 = 3=4 ?， 双曲线 C的方程为 22=13 12xy? .令 2 2=04y x? 得渐近线方程为 2yx? . 【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线 . 【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】 8 【解析】 7
7、8 9 8= 3 0a a a a? ? ?， 7 10 8 9 0a a a a? ? ? ?， 8900aa? ? ?， ， 8n? 时，数列 na 的前 n 项和最大 . 【提示】 可得等差数列 na 的前 8项为正数，从第 9项开始为负数，进而可得结论 . 【考点】等差数列性质 13.【答案】 36 【解析】 3 2 1323 6 2 3 3 6A A A ? ? ? ?. 【提示】 根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法 . 【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】 【解析】结合图像得 2 2 3 2 6+=4 2 2T ? ，即 T . 【 ;百
8、万教育资源文库 】 【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期 T. 【考点】二次函数的图象与周期性 三 、 解答题 15.【答案】 （ 1） 3314（ 2） 37BD AC?， 【解析】（ 1）在 ADC 中，因为 1cos 7ADC?，所以 43sin7ADC?. 所以 s in s in ( )B A D A D C B? ? ? ? ? s i n c o s c o s s i nA D C B A D C B? ? ? ? 4 3 1 1 37 2 7 2? ? ? ? 3314? . （ 2）在 ABD 中，由正弦定理得 33144378s in 3s inA B B A
9、 DBD A D B ? ? ? ，在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B? ? ? 22 18 5 2 8 5 4 92? ? ? ? ? ? ?， 所以 7AC? . 【提示】 根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论 . 【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理 ， 余弦定理 16.【答案】 （ 1） 0.5 （ 2） 1325 （ 3） EX x? 【解析】（ 1）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机
10、选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6的概率是 0.5. （ 2）设事件 A为 “ 在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ， 事件 B为 “ 在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ， 事件 C为 “ 在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6” . 则 C AB AB? ， AB， 独立根据投篮统计数据， 32( ) ( )55P A P B?， . 【 ;百万教育资源文库 】 ( ) ( ) ( )P C P AB P AB?3 3 2 25 5 5 5? ? ? ? 1325? 所以在随机选择的一个
11、主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6的概率为 1325 . （ 3） EX x? . 【提示】 由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件 ，并求出概率 . 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 ， 相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】 （ 1）在正方形中，因为 B是 AM的中点，所以 AB DE . 又因为 AB? 平面 PDE，所以 AB PDE 平 面 ，因为 AB? 平面 ABF ，且 平面 ABF 平面 PDE FG? ， 所以 AB FG . （ 2）因为 PA? 底面 ABCDE，所以 PA AB? ， PA AE? . 如图建立空间直角坐标
12、系 Axyz ，则 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (2,1,0)C ， (0,0,2)P ， (0,1,1)F ， (1,1,0)BC? . 设平面 ABF的法向量为 ( , , )n x y z? ，则 00nABnAF? ?， 即 00xyz? ?. 令 1,z? ，则 1y? .所以 (0, 1,1)n? ，设直线 BC与平面 ABF所成角为 ? ， 则 1s i n | c o s , |2| |n B Cn B C n B C? ? ? ?|. 设点 H的坐标为 ( , , ).uvw 因为点 H在棱 PC上，所以可设 (0 1)PH PC? ? ?，即 ( , , 2
13、 ) (2,1, 2 )u v w ? ? ?， 所以 2 , , 2 2u v w? ? ? ? ? ?. 因为 n 是平面 ABF的法向量，所以 0nAH? ，即 (0 , 1,1) ( 2 , , 2 2 ) 0? ? ? ? ?. 解得 23? ，所以点 H的坐标为 422,333?所以 2 2 24 2 4 23 3 3PH ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】由线面平行推出线线平行， 利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解 . 【考点】 直线与平面所成的角 18.【答案
14、】 （ 1） 由 ( ) cos sinf x x x x?得 ( ) c o s s i n c o s s i nf x x x x x x x? ? ? ? ? ?. 因为在区间 0,2?上 ( ) sin 0f x x x? ? ? ?，所以 ()fx在区间 0,2?上单调递减 ， 从而 ( ) (0) 0f x f?. （ 2） 当 0x? 时， “ sinx ax ? ” 等价于 “ sin 0x ax?” ， “ sinx bx ? ” 等价于 “ sin 0x bx?” . 令 ()gx sinx cx?，则 ( ) cosg x x c? ?. 当 0c? 时， ( ) 0g
15、x? 对任意 0,2x ?恒 成立 . 当 1c? 时，因为对任意 0,2x ?， ( ) cos 0g x x c? ? ? ?，所以 ()gx在区间 0,2?上单调递减 .从而( ) (0) 0g x g?对任意 0,2x ?恒成立 . 当 01c?时，存在唯一的0 0,2x ?， 使得 00( ) cos 0g x x c? ? ? ?. ()gx与 ()gx? 在区间 0,2?上的情况如下： x 0(0, )x 0x 0 ,2x?()gx? ? 0 ? ()gx 【 ;百万教育资源文库 】 因为 ()gx在区间 ? ?00,x 上是增函数，所以 0( ) (0) 0g x g?.进一步
16、， “ ( ) 0gx? 对任意 0,2x ?恒成立 ” 当且仅当 1022g? ? ?，即 20 c? . 综上所述，当且仅当 2c? 时， ( ) 0gx? 对任意 0,2x ?恒成立； 当且仅当 1c? 时， ( )0gx 对任意 0,2x ?恒成立 . 所以，若 sinxabx?对任意 0,2x ?恒成立，则 a 最大值为 2 ， b的最小值为 1 【提示】 直接利用导数的几何意义，证明函数 .第 （ 2） 问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值 . 【考点】 导数的几何意义，利用导数判断参数的范围 19.【答案】 （ 1）由题意，椭圆 C的标准方程为
17、 22142xy?. 所以 224, 2ab?，从而 2 2 2 2c a b? ? ? .因此 2, 2ac?.故椭圆 C的离心率 22ce a?. （ 2）直线 AB与圆 222xy?相切 .证明如下： 设点 A， B的坐标分别为 00( , )xy ， (,2)t ，其中 0 0x? . 因为 OA OB? ，所以 0OAOB? ，即 0020tx y?，解得 002yt x? . 当 0xt? 时， 20 2ty?，代入椭圆 C的方程，得 2t? ，故直线 AB的方程为 2x? . 圆心 O 到直线 AB的距离 2d? .此时直线 AB与圆 222xy?相切 . 当 0xt? 时，直线 AB的方程为 0022 ( )yy x txt? ? ? ，即 0 0 0 0( 2 ) ( ) 2 0y x x t y x ty? ? ? ? ? ?， 圆心 O 到直线 AB的距离 002200| 2 |( 2 ) ( )x tyd y x t? ? ?
