1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年普通高等学校招生全国统一考试 （陕西 卷 ） 理科数学答案 解析 第一部分 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】知集合 | 0, M x x x? ? ?R， 2 | 1, N x x x? ? ?R， 0 , ) ( 1,1)MN? ? ? ?， 0,1)MN? 【提示】 先解出集合 N ，再求两集合的交 交 即可得出正确选项 . 【考点】 交集及其运算 2.【答案】 B 【解析】根据 复合三角函数的周期公式 2|T ? 得 ， 函数 ( ) cos 2 6f x x?的 最小正周期是 2 2 | | 2T ? ? ? . 【提示】 由题意得 2? ，
2、再代入复合三角函数的周期公式 2|T ? 求解 . 【考点】 三角函数的周期性及其求法 3.【答案】 C 【解析】 1 2100 ( 2 e ) e | 1 e 1 exxx d x x? ? ? ? ? ? ?， 故选 C. 【提示】 根据微积分基本定理计算即可 . 【考点】 定积分 4.【答案】 C 【解析】由 程序框图知： 1 2 32 4 8a a a? ? ?， ， ， na 是 1 2a? ， 2q? 的等比数列 .选 C. 【提示】 根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式 . 【考点】 程序框图 ， 等比数列的通项公式 5.【答案】 D 【解析】正
3、四棱柱的 侧棱长为 2 ，底面边长为 1，底面对角线长为 2 ，中点为 22. 所以其半径为 2222+1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以其体积 34433Vr?. 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径 为 1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积 . 【考点】 球的体积和表面积 6.【答案】 B 【解析】 5中取 2个有 10种，距离小于边长只能是中心到 4的顶点共 4种， 4210 5p? 【提示】 设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10
4、 条线段， 4 条长度为 1， 4条长度为 22，两条长度为 2 ，即可得出结论 . 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 7.【答案】 B 【解析】 A. 12()f x x? ， 12()yx y? ， 12( ) ( )f x y x y? ? ? ，不满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ，故 A错； B. 3()f x x? ， 3()f y y? ， 3( ) ( )f x y x y? ? ? ，不满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ，故 B错； C. 1()2xfx?， 1()2yfy?， 1()2xyf x y ?，满足 (
5、 ) ( ) ( )f x y f x f y? ，但 ()fx在 R 上是单调减函数，故 C错 . D. ( ) 3xfx? ， ( ) 3yfy? ， ( ) 3xyf x y ? ，满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ，且 ()fx在 R 上是单调增函数，故 D正确； 故选 D. 【提示】 对选项 加以判断，先判断是否满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ，然后考虑函数的单调性，即可得到答案 . 【考点】 抽象函数及其应用 8.【答案】 B 【解析】 根据共轭复数的定义，原命题 “ 若 1z ， 2z 互为共轭复数，则 12| | | |zz?
6、” 是真命题； 其逆命题是： “ 若 12| | | |zz? ，则 1z ， 2z 互为共轭复数 ” ，例 |1| | 1|? ，而 1与 1? 不是互为共轭复数， 原命题的逆命题是假命题； 根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假， 命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题 .故选： B. 【提示】 根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假 . 【考点】 四种命题间的逆否关系 【 ;百万教育资源文库 】 9.【答案】 A 【解析】 iiy x a?， ( ) ( ) ( ) 1iiE
7、 y E x E a a? ? ? ?， 方差 ( ) ( ) ( ) 4iiD y D x E a? ? ?. 【提示】 根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论 . 【考点】样本数据的均值和方差的性质 10.【答案】 A 【解析】 由题意可得出，此三次函数在 5x? 处的导数为 0，依次特征寻找正确选项： A选项，导数为 233125 5yx?，令其为 0，解得 5x? ，故 A正确； B选项，导数为 264125 5yx?，令其为 0， 5x? 不成立，故 B错误； C选项，导数为 29 1125yx?，令其为 0， 5x? 不成立，故 C错误； D选项，导数为 291125 5
8、yx? ? ，令其为 0， 5x? 不成立，故 D错误 . 故选： A. 【提示】 分别求出四个选项中的导数，验证在 5x? 处的导数为 0成立与否，即可得出函数的解析式 . 【考点】 导数的几何意义 ， 函数解析式的求解及常用方法 第 二 部分 二、填空题 11.【答案】 10 【解析】 24 2 2 lgaa xa? ? ?， ， 12 1 lg 2a x a? ? ?， ， 所以 1210 10x? 【提示】 化指数式为对数式求得 a ，代入 lgxa? 后由对数的运算性质求得 x 的值 . 【考点】 对数的运算性质 12.【答案】 22( 1) 1xy? ? ? 【解析】因为 (1,0
9、) 关于 yx? 对称的点为 (0,1) ，所以其圆心点为 (1,0) ，且半径为 1 所以圆的标准方程为22( 1) 1xy? ? ? 【提示】 利用点 (, )ab 关于直线 y x k? 的对称点为 (, )ba ，求出圆心，再根据半径求得圆的方程 . 【考点】 圆的标准方程 13.【答案】 12 【解析】 (sin 2 ,cos )a ? ， ? ?1, cosb ? ， 0ab? ， 2sin 2 cos 0? 【 ;百万教育资源文库 】 即 22 sin cos cos? ? ? ， 0 2? ， cos 0? 解得 1tan 2? . 【提示】 利用向量共线定理、倍角公式、同角三
10、角函数基本关系式即可得出 . 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 14.【答案】 2F V E? ? ? 【解析】 凸多面体的面数为 F 、顶点数为 V 和棱数为 E ， 正方体： 6F? ， 6V? ， 12E? ，得 8 6 1 2 2F V E? ? ? ? ? ?； 三棱柱： 5F? ， 6V? ， 9E? ，得 5 6 9 2F V E? ? ? ? ? ?； 三棱锥： 4F? ， 4V? ， 6E? ，得 4 4 6 2F V E? ? ? ? ? ?. 根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数 F 、顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系： 2F V E? ? ? 再通过举四棱
11、锥、六棱柱 ? 等等，发现上述公式都成立 . 因此归纳出一般结论： 2F V E? ? ? 故答案为： 2F V E? ? ? 【提示】 通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数 F 、顶点数为 V 和棱数为 E ，得到规律： 2F V E? ? ? ，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案 . 【考点】 归纳推理 15.【答案】（ 1） 5 （ 2） 3 （ 3） 1 【解析】（ 1）根据 柯西不等式 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ， 225ab?， 5ma nb?， 22( ) 5mn?， 22mn? 的 最小值为 5 . （ 2） 以 BC
12、 为直径的半圆分别交 AB ， AC 于点 EF、 ， AEF C? ? ， EAF CAB? ? ， AEF ACB AE EFAC CB? 且 62BC AC AE?， ， 3EF? （ 3）极坐标点 2,6?对应的直角坐标系的点 ( 3,1) ，直线 sin 6p ? 31s in c o s 122? ? ? ? ? ?即对应32yx? ， 点 ( 3,1) 到直线 3 2 0xy? ? ? 的距离 3 3 +2 =13+1d ?. 【 ;百万教育资源文库 】 三、解答题 16.【答案】 （ ） 因为 a b c， ， 成等差数列，所以 2b a c? ，即 2 sin sin sin
13、B A C? 因为 sin sin( )B A C? 所以 s in s in 2 s in ( )A C A C? ? ? （ ） a b c， ， 成等比，且 2ca? 222ba? ， 2 2 2 2 2 224 2 3c o s 2 4 4a c b a a aB a c a? ? ? ? ? ? 3cos 4B? . 【提示】 （ ）由 a b c， ， 成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证 . （ ）由 abc， 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出 cosB ，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可
14、确定出 cosB 的最小值 . 【考点】 余弦定理 ， 正弦定理 17.【答案】 （ ） 证明：由该四面体的三视图可知， BD DC? ， BD AD? ， AD DC? ， 2BD DC?， 1AD? .如图 ， 由题设， BC 面 EFGH ， EFGH面 面 BDC FG? ， EFGH面 面 ABC EH? ， BC FG ， BC EH ， FG EH . 同理 EF AD ， HG AD ， EF HG . 四边形 EFGH 是平行四边形， 又 BD AD? ， AD DC? ， BD DC D? ， AD? 平面 BDC ， AD BC? ， BC FG ， EF AD ， EF
15、 FG? ， 四边形 EFGH 是矩形 . （ ） 如图， 分别以 DB DC DA， ， 所在直线为 x y z， ， 轴建立空间直角坐标系 ， 【 ;百万教育资源文库 】 则 (0,0,0)D ， (0,0,1)A ， (2,0,0)B ， (0,2,0)C ， (0,0,1)DA? ， ( 2,2,0)BC? ， 设平面 EFGH 的一个法向量 ( , , )n x y z? ， BC FG ， EF AD ， 00n DA n BC?， ，即得 02 2 0z xy? ? ?， 取 (1,1,0)n? ， 2 1 0s i n | c o s ,5| | | | 52B A nB A
16、n B A n? ? ? ? ?. 【提示】 （ ）由三视图得到四面体 ABCD 的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形 EFGH 的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到 AD BC? ，结合异面直线所成角的概念得到 EF FG? ，从而证得结论 . （ ）分别以 DB DC DA， ， 所在直线为 x y z， ， 轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出 BA 及平面 EFGH 的一个法向量 n ，用 BA 与 n 所成角的余弦值的绝对值得直线 BA 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值 . 【考点】 直线与平面所成的角 ， 空间中直线与直线之间的
17、位置关系 18.【答案】 （ ） | | 2 2OP? （ ） m n y x? ? ? 1 【解析】 （ ） 因为 (1,1) (2 , 3) (3, 2 )A B C， ， ， 0PA PB PC? ? ?， 所以 ( ) ( ) ( ) 0O A O P O B O P O C O P? ? ? ? ? ?， 即得 1 ( ) ( 2 , 2 )3O P O A O B O C? ? ? ?， 所以 | | 2 2OP? （ ） (1,1) (2 , 3) (3, 2 )A B C， ， ， (1,2)AB? ， (2,1)AC? OP mAB nAC?， ( , ) ( 2 , 2 )x y m n m n? ? ?，即 22x m ny m n?， 【 ;百万教育资源文库 】 两式相减得： m n y x? ? ? ，令 y x t?， 由图可知， 当直线 y x t?过点 (2,3)B 时， t 取得最大值 1，故 mn? 的最大值为 1. 【提示】 （ ）
