1、第二节第二节 力的合成与分解力的合成与分解 一、力的合成一、力的合成 力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力等效代替几个力的共同作用，如 果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同，那么这个力就是那几个力的合力。合力与分 力是一种等效替代的关系。 1平平行行四边形定则四边形定则 当同一直线上的两个力同向时，合力等于这两力之和，即 12 FFF 合 ；当同一直线上的两个 力方向相反时，合力等于较大力与较小力之差，即 12 FFF 合 。 有两个力的方向不在同一直线上，则不能简单地用加、减来计算合力的 大小。 实验证明， 互成夹角的两个力与合力的关系符合 “平行四边形定则” ，
2、 内容如下： 以两分力为邻边作平行四边形，两分力所夹的对角线即表示合力 的大小与方向，如图 4.46 所示。利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方 向。设力 1 F， 2 F的夹角为，则它们的合力F合的大小可由余弦定理求得： 22 1212 2cos 180FFFFF 合 根据cos 180cos，因此 22 1212 2cosFFFFF 合 。 （1）两个力的合成 对子一些特殊情况下的合力计算，可以根据三角形知识来求解合力。下面列举出两个等大的力 F，夹角取下列情况时合力的大小，如图 4.47 所示，请同学们利用平行四边形定则，结合数学知识 来试着验证，以掌握合力的计算方
3、法。 从上述计算合力的过程中，还可以得出以下几个结论： 合力不一定比分力大。实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。 合力大小的变化范围是 211 2 FFFFF 合 。 当两个分力大小不变时，两分力夹角越大，合力越小。 上述几种特殊情况下的两个力的合力的值，同学们要牢记，在很多情形下都可以直接运用。 例例 1 如图 4.48 所示，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，已知两人手臂上的拉力大小相等 且为F，两人手臂间的夹角为，水和水桶所受总重力为G，则下列说法中正确的是（ ） 。 A当为120时，FG B 不管为何值， 2 G F C当0 时， 2 G F D越大时F越小 分析与解分析与解 两
4、人提起水桶匀速前行时，两手臂的拉力的合力大小应等于 水桶所受重力G的大小。由平行四边形知识可知，当为120时，手臂拉力 FG，当0 时，两拉力F同方向， 2 G F 。当两拉力夹角变大时，由于合力不变，相当于 平行四边形的对角线不变，而两邻边夹角变大，对应的邻边长度变长，即F变大。本题正确选项为 AC。 （2）多个力的合成 当需要求解若于个力的合力时，我们可以先合成其中两个力，然后用这两个力的合力再与第三 个力合成如此进行下去，可以求得这几个力的合力。但是合成的时候，可以先对这几个力进行 观察，优先合成同一直线上的力或者优先合成那些容易计算的力，这样可以简化问题。 例例 2 如图 4.49 所
5、示， 6 个力的合力为 1 F， 若去掉1N的那个分力， 则其余 5 个力的合力为 2 F， 关于 1 F， 2 F的大小及方向表述正确的是（ ） 。 A 1 0F B 1 1NF ，方向与1N的力相反 C 2 1NF ，方向与4N的力相同 D 2 7NF ，方向与4N的力相同 分析与解分析与解 观察本题中的 6 个力，发现有 3 对力是共线的，若将 3 对共线的力先合成，则问题 将大大简化。因此，先将3N与6N、4N与1N、2N与5N这 3 对力合成，则得到如图 4.50（a） 所示的 3 个3N的力，这 3 个力中任意 2 个力的合力都与 第 3 个力等大反向，因此最终的合力 1 0F 。
6、若将1N的 那个分力撤去， 则将共线的力合成后如图 4.50 （b） 所示， 显然剩余 5 个力的合力 2 1NF ，方向与4N的力同向， 本题正确选项为 AC。 2三角形定则三角形定则 如图 4.51 所示，在平行四边形定则中，将分力 2 F平移至其对边的位置，则可发现 1 F， 2 F首尾 相接，自 1 F的起始端指向 2 F末端的有向线段，即为 1 F， 2 F的合力这就县三角形定则。 利用三角形定则，除了可以求解合力、分力大小的问题，还可以方便地判断力的最值（即最大 值或最小值）和力的动态变化问题。 （1）合力的最小值问题 当已知分力 1 F的大小、方向及另一个分力 2 F的方向时，合
7、力F合取最小值的条件是F合与 2 F垂 直，如图 4.52 所示，F合的最小值为 1min? sinFF 合 。 （2）分力的最小值问题 当合力F合的方向确定，而大小未知，分力 1 F的大小和方向均确定时，另一个分力 2 F取最小值 的条件是 2 F与合力F合垂直，如图 4.53 所示， 2 F的最小值为 2min1sin FF。 例例 3 如图 4.54 所示，分力 1 F的大小、方向均不变， 2 F大小不变，方向变化。 1 F， 2 F与它们 合力F之间的夹角分别为，。则当_时，取最大值，其最大值应满足的关系为 _。 分析与解分析与解 如图 4.55 所示，以分力 1 F的末端为圆心， 2
8、 F的大小为半径画半圆， 1 F， 2 F以及它 们的合力F围成一个矢量三角形，其中F即为从 1 F的起始端指向 2 F末端的有向线段，可见，当 2 F 方向变化时，F的方向、 大小随之变化，也在改变。 当F恰和半圆相切时， 2 F与F垂直， 即90 时，角取得最大值，有 2 1 sin F F 。 例例 4 如图 4.56 所示，竖直杆AB可在竖直面内左右摆动，A端系有两根绳子AC与AD，在 绳AC拉力作用下整个装置处于平衡状态，若绳AC加长，使点C缓慢向左移动，杆AB仍竖直， 且处于平衡状态，则绳AC的拉力T和杆AB所受的压力N与原先相比，下列说法中正确的是 （ ） 。 AT增大，N减小
9、BT减小，N增大 CT和N均增大 DT和N均减小 分析与解分析与解 杆AB可在竖直面内左右摆动， 则要使杆处于竖直平衡状 态，绳AC与绳AD对杆上A点的拉力的合力N必竖直向下，即沿着杆的方向， 否则杆将倒下。绳AD对A点的拉力大小等于重物所受重力大小，记为 0 F，画出 A点力的矢量三角形如图 4.57 所示。当绳AC加长，使点C缓慢向左移动时，绳 AC的拉力T与坚直方向的夹角变大，T逐渐变为 1 T， 2 T，对应地，合力由N逐 渐变为 1 N， 2 N。可见，T和N均减小，选项 D 正确。 例例 5 如图 4.58 所示，小球质量为m，用一细线悬挂。现用一大小恒为 1 2 Fmg的力慢慢将
10、 小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大夹角是多少？ 分析与解分析与解 当小球平衡时， 重力mg与拉力F的合力F合定沿着细线的方向， 且根据三角形定 则，当F与mg首尾相接时，F合就是从mg的起始端指向F末端的有向线段。画出表示重力的有向 线段，并以重力的末端为圆心，以F的大小为半径画圆，则F合，mg，F组成的矢量三角形如图 4.59 所示。当F取不同方向时，F合的大小、方向均随之发生变化。只有当F合恰与圆相切，即F与 F合垂直时，最大，且满足 1 sin 2 F mg ，30。 二、力的分解二、力的分解 力的分解是力的合成的逆运算，即已知某个力，求解其分力的过程。力的分解同样
11、遵循平行四 边形法则和三角形定则。 求解一个力的分力的过程，就像已知对角线，画出平行四边形的过程。如果不加以限制，结果 有无数种，如图 4.60 所示。但是，当两个邻边的方向确定时，所画出的平行四边形就是唯一的。因 此，在分力的方向确定时，分解的情况就是唯一的，如图 4.61 所示。 1按照力的作用效果分解力按照力的作用效果分解力 实际分解一个力时，往往根据力的作用效果来确定两个分力的方向，从而把力分解，下面举几 个例子。 （1）水平面上物体所受拉力的分解：如图 4.62 所示，拉力F实际产生 了两个作用效果想要物体沿水平面向右运动和想把物体竖直提起离开水 平面。因此可以把力沿着水平方向和竖直
12、方向分解为 1 F， 2 F两个分力。可求 得 1 cosFF， 2 sinFF。 （2）斜面上物体重力的分解：如图 4.63 所示，物块的重力实际产生了两个 作用效果，一是使物体有沿斜面下滑的趋势，二是使物体压紧斜面。因此可将 物体重力G分解为平行于斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力 1 G， 2 G，可 求得 1 sinGG， 2 cosGG。值得注意的是， 2 G并不是物体对斜面的压 力，而只是大小与物体对斜面的压力相等。 （3）被夹板夹起的球重力的分解：如图 4.64 所示，球的重力的作用效果就是挤压左右两个夹 板，因此可将重力G分解为垂直于两个夹板的分力 1 F， 2 F。设两板夹角
13、为，夹板的平分线竖直， 则由对#性及平行四边形法则可知 12 2sin 2 G FF 。 （4）斜靠在墙壁上球的重力分解：如图 4.65 所示，球固定在轻杆一端，斜靠在竖直墙壁上， 轻杆另一端通过可自由转动的铰链与水平地面相连。小球的重力产生的效果，一方面使球对墙有压 力， 另一方面， 使球对杆也有压力。 球对轻杆的压力方向需要我们探讨： 因为杆另一端与铰链相连， 可以自由转动， 因此若球对杆的弹力不沿着杆， 杆必转动， 因此球对杆的压力沿着杆斜向下。 至此， 可以将球的重力G分解为沿着杆斜向下的分力 1 F和垂直于墙璧向右的分力 2 F，可求得 1 sin G F ， 2 tan G F 。
14、 例例 6 如图 4.66 所示，两光滑平板OM，ON构成一具有固定夹角 0 75的V形糟，一球置 于槽内，用表示NO板与水平面之间的夹角。若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大 小，则值应该是（ ） 。 A15 B30 C45 D60 分析与解分析与解 将球的重力分解为垂直于OM，ON板方向的两个分力 1 F， 2 F， 其中垂直于ON板 的分力 2 FG。 在图 4.67 所示的平行四边形ABCD中， 0 180105BCD，ACB， 则 180 105 2 CABACD ，解得30，选项 B 正确。 2力的正交分解法力的正交分解法 实际分解力时， 还可以根据问题的需要， 把力沿着两
15、个相互垂直的方向进行分解， 即正文分解。 分解时，要根据实际情况建立以物体所在位置为坐标原点的xOy坐标系，并使尽量多的力出现在坐 标轴上，再把其他力沿着x，y轴分解为 1x F， 1y F， 2x F， 2y F等。接下来可以求解x轴、y轴上 的合力 123xxxx FFFF， 123yyyy FFFF 最后求 x F和 y F的合力F合大小： 22 xy FFF 合 ，F合与x轴方向的夹角满足tan y x F F 。 例例 7 如图 4.68 所示，三个共点力 1 10NF ， 2 3 2NF ， 3 15NF ，它们的方向如图 4.68 所示，求这三个力的合力大小和方向。 分析与解分析
16、与解 本题若用平行四边形法则逐一合成各个力， 则过于烦琐， 因此考虑正交分解的方法。 如图 4.69 （a） 所示建立x，y坐标轴， 力 3 F在y轴负半轴上。 将力 1 F沿坐标轴方向分解为 1x F和 1y F 两个分力，结合数学知识可得 11cos53 6N x FF， 11sin53 8N y FF 。同样地，将力 2 F沿 坐标轴方向分解为 2x F和 2y F两个分力，则 22cos45 3N x FF， 22sin45 3N y FF 。故x轴 上的力的合力 12 3N xxx FFF，y轴上的力的合力 312 4N yyy FFFF，如图 4.69（b） 所示。则三个力的合力大
17、小为 22 5N xy FFF 合 ，合力方向在第四象限，与x轴正方向夹角为 53。 3力分解的几种情况，力分解的几种情况， 在对力迸行分解时，所加的附加条件不同，那么得到的分力情况也会不同，在有些附加条件下 甚至无法得到分力，即不能分解。当分力与合力所构成的三角形仅有一种情况时，只有一解，当构 成的三角形有两种或多种情况时，有两解或多解。下面介绍几种不同的附加条件下力的分解情况。 （1）已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小，有一组解。这种情况已在前文介绍过， 不再赘述。 （2）已知合力和一个分力的大小与方向，求另一个分力的大小和方向，有 一组解。例如，已知合力F和它的一个分力 1 F，
18、则另一个分力 2 F就是从 1 F末 端指向F末端的有向线段，显然 2 F仅有一解，如图 4.70 所示。 （3）已知合力F和两个分力 1 F， 2 F的大小。当合力为某一定值，而分力的取值不同时，所能 分解的情况也会变化。 当 12 FFF时，有两解。分别以合力F的起始端与末端为圆心，以 1 F， 2 F的大小为半径 画圆，两圆有两个交点，如图 4.71（a）所示， 1 F， 2 F，F可构成两个三角形，有两解。 当 12 FFF时，有一解。分别以合力F的起始端与末端为圆心，以 1 F， 2 F的大小为半径 画圆，两圆相切，则仅有一解，如图 4.71（b）所示。 当 12 FFF时，无解。此
19、种情况下两圆相离，无交点，故无解，如图 4.71（c）所示。比 如，一个6N的力无法分解为2N和3N的两个分力。 （4）如图 4.72 所示，若已知合力F、一个分力 1 F的大小与另一分力 2 F的方向，求 1 F的方向和 2 F的大小，则较复杂，讨论如下： 当 1 sinFF时， 有唯一解。 由于 1 F的大小恰等于F的末端到 2 F 所在方向的距离，这也是 1 F所能取到的最小值。因此 1 F， 2 F，F仅能构成一个直角三角形，如图 4.73（a）所示，仅有唯一解。 当 1 sinFFF时，有两组解。如图 4.73（b）所示，该情况下 1 F， 2 F，F可构成两个 三角形，因此有两组解
20、。 当 1 FF时，有一组解。由于要保证 2 F的方向始终不变，在该种情况下， 1 F， 2 F，F只可 构成如图 4.73（c）所示的三角形，仅有一组解。 当 1 sinFF时，无解。该种情况下 1 F， 2 F，F构不成三角形，无法分解。 例例 8 已知力40NF ，现要把力F分解为两个力 1 F和 2 F，且 1 F与F的夹角为30，若 2 F取 某一数值，可使 1 F有两个大小不同的数值，问： 2 F大小的取值范围是什么？ 分析与解分析与解 要解答此类问题，必须先画图后分析，由于已知合力F的大小和方向，以及一个分 力 1 F的方向，因此可以试着把另一个分力 2 F的大小从小逐渐增大去画
21、力的三角形。 如图 4.74 所示，以合力F的末端为圆心，以 2 F的大小为半径去画圆孤与 1 F相交，分别可得到 如下几种情况： （1）当 2 20NF 时，圆弧与 1 F没有交点，即不能画出平行四边形，无解。 （2）当 2 20NF 时，圆弧与 1 F相切，有一个解，且此时 2 F取得最小值，这时 1 20 3NF 如 图 4.74（a）所示。 （3）当 2 20N40NF时，圆弧与 1 F有两个交点，有两个解，即 2 F的某一数值对应着 1 F的 两个不同的数值，如图 4.74（b）所示。 （4）当 2 40NF 时，圆弧与 1 F只有一个交点，只有唯一解，如图 4.74（c）所示。 综
22、上所述，符合条件的 2 F的取值范围为 2 20N40NF。 4力的二力的二次次分解分解 力的二次分解就是将某个力分解后，将这个力的分力再分解，下面举例说明。 例例 9 如图 4.75 所示，为了推动一个大橱，某人找了两块木板，搭成一个人宇形，他往中问一 站，橱被推动了。设橱和墙壁间的距离为s，两木版长均为l（l略大于 2 s ） ，人所受重力为G，试 求木板对橱的水平推力。 分析与解分析与解 如图 4.76 所示，设杆与水平地面间的夹角为，则由几何关系可得 2 2 22 24 sin 2 s l ls ll ， 2 cos 2 s s ll 人对两行的压力等于其重力的大小，可以将人对杆的压力
23、分解为沿着杆方向的 1 G， 2 G两个分力， 由几何关系可知 1 2sin G G ，因此杆对箱子的作用力等于 1 G，方向沿杆，再将 1 G分解为水平向左 与坚直向下的分力 1 F， 2 F，则 1 F即等于木板对橱的水平推力，易得 11 22 cos cos 2sin 2 4 GGs FG ls 练习题练习题 1一物体受到大小分别为 1 F， 2 F， 3 F的三个共点力的作用，其力的矢量关系如图 4.77 所示， 则它们的合力大小是（ ） 。 A 1 2F B 2 2F C 3 2F D 123 FFF 2关于力的分解，下面说法中正确的是（ ） 。 A一个力不可能分解成两个大小都比它大
24、的力 B一个力不可能分解成两个大小都与它相等的力 C个力分解时只要按平行四边形法则去分解一定能得到确定的解 D已知一个力的两个分力的方向，或已知其中一个分力的大小和方向，分解这个力一定有确 定的解 3将5N的力进行分解，若一个分力大小为10N，则另一个分力的大小可能是（ ） 。 A4N B18N C6N D16N 4如图 4.78 所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，轻绳上端固定在 墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为10kgm 的重物，已知绳与杆的夹角30ABO，滑 轮B受到绳子的作用力大小为（ ） 。 A50N B86.6N C100N D173N 5 如图 4.79 所
25、示， 用长轻绳悬挂一质量为m的小球， 对小球施加一个力， 使绳和竖直方向成 角并绷紧，小球处于静止状态，此力最小为（ ） 。 Asinmg Bcosmg Ctanmg Dcotmg 6如图 4.80 所示，橡皮条的O端固定，用A，B两弹簧秤拉橡皮条的另一端D，使其伸长至 E点，A，B两掸黉的弹力大小和方向如图所示，其中90。今保持A的读数不变，当 由图示位置逐渐减小时，欲使D端仍在E点保持不动，应采用的方法是（ ） 。 A使B的读数变小，同时角减小， B使B的读数变小，同时角增大 C使B的读数变小，同时角先增大后减小 D使B的读数变大，同时角减小 7 将一个20NF 的力分解成两个分力 1 F
26、和 2 F， 若 1 F， 2 F的方向与F方向的夹角都为30， 则 1 F， 2 F的大小是_。 8已知三个共点力的大小分别为 1 50NF ， 2 40NF ，330NF ，方向如图 4.81 所示， 1 F 与 2 F的夹角为37， 2 F与 3 F垂直，则这三个力的合力的大小为_N，方向_。 9 作用在一物体上的两个大小一定的共点力的合力的大小随夹角变化的关系如图 4.82 所示， 则这两个力的大小分别是_和_。 10 如图 4.83 所示， 从正六边形ABCDEF的一个顶点向其他 5 个顶点作用着 5 个力 1 F， 2 F， 3 F， 4 F， 5 F。 已知 1 10NF ， 具
27、体各力的大小跟对应的边长成正比， 这 5 个力的合力大小为_ N。 11试用作图法将已知力F分解： （1）如图 4.84（a）所示，已知分力 1 F和 2 F的方向，求出两分力的大小； （2）如图 4.84（b）所示，已知分力 1 F的大小和方向，求另一个分力 2 F。 12如图 4.85 所示，已知力F大小为10N，其中一个分力 1 F方向与F成 30角，另一分力 2 F的最小值为_N，对应的 1 F的值为_N。 13求解下列问题： （1）如图 4.86（a）所示，重为100N的重球放在竖直墙与斜面之间，斜 面倾角为37，所有接触面光滑，试用力的分解法求出小球对竖直墙与斜面的压力。 （2）如
28、图 4.86（b）所示，一个人用60N的力F拉木箱，使木箱在氷平地面上前进，拉力与水 平方向夹角为30，求拉力在水平方向和竖直方向的两个分力。 （3）如图 4.86（c）所示，三根细绳OA，OB，OC连接后悬挂重物G，A，B端固定于天 花板上，绳OA，OB与天花板的夹角分别为30和60，试用力的分解法求绳OA，OB的拉力。 （4）如图 4.86（d）所示，轻杆AO，BO通过铰链与竖直墙壁连接，杆AO水平，杆OB与 墙壁夹角为60。两杆在O点铰接在一起，在O点用细线悬挂重为G的物体，已知两扞的受力均沿 杆方向，试用力的分解法求两杆弹力的大小。 14如图 4.87 所示，欲使一条无动力小船在河中前
29、进，甲、乙两人分别通过绳索施加拉力 1 F， 2 F作用在船上，已知 1 F的大小为100N，方向与船前进方向的夹角为30，且为了使船受到的合力 能恰平行于河岸方向，乙的拉力 2 F与河岸垂直。 （1）求乙的拉力 2 F的大小，拉力的合力F的大小。 （2）船前进一段时间后，乙已疲惫不堪，为了保证船所受拉力的合力不变，甲的拉力方向不变 的条件下， 使乙施加的拉力 2 F最小， 乙应沿着什么方向拉船？拉力 2 F最小值为多少？此时甲的拉力 1 F应调节为多少？ 15某压榨机的结构如图 4.88 所示，其中B为固定铰链，C为滑块，可沿光滑壁移动，D为 被压榨的物体，已知O到B和C的距离都是100cm
30、，A到OB和OC的距离为10cm，当在铰链A 处作用压力F时，物体D受到的压力为多少？ 参考答案参考答案 1A。由图 4.77 知， 2 F与 3 F首尾相接，它们的合力恰等于 1 F，则三个力的合力为 1 2F 2D。略。 3 C。 设另一分力为 2 F， 两分力之差应小于等于合力， 则 2 10N5NF ， 解得 2 N155NF。 4C滑轮B所受绳子的作用力大小等于OB段、BP段绳子所施力的合力大小，两段绳子拉 力大小均为100N，夹角为120，由平行四边形定则可知合力为100N。 5A。小球静止时，小球所受重力与拉力F的合力F合必沿着细线延 长线的方向斜向下， 即与竖直方向夹角为斜向下
31、方。 画出表示小球所受 重力的有向线段，自重力的末端向表示合力方向的虚线作垂线，则垂线段 即为最小的拉力 min F。 如图4.89所示， 可得 min sin F mg ， min sinFmg， 选项 A 正确。 6C。记A，b两弹簧秤的拉力分别为 A F， B F，它们的合力记为F合，则F合与 A F， B F构成 三角形。由于橡皮筋的D端仍在E点保持不动，因此F合大小、方向均不变，如图 4.90 所示，以 的末端为圆心，以 A F的大小为半径画圆，当角由图示位置逐渐减小时， A F 将逆时针转动， 而 B F是从F合的起始端指向 A F末端的有向线段， 可见， 随着 A F 的转动，
32、B F逐渐减小，而先增大，当 B F与圆相切时最大，然后再逐 渐减小，因此选项 C 正确。 7 12 3 3 F FF。 提示： 画出分解后分力与合力所形成的平行四边形， 这县一个菱形。 880，与 2 F相同。提示：利用正交分解法，将 1 F沿 2 F和 3 F的反方向进 行分解，然后再求合力。 912.5N，7.5N。 当两分力夹角为0时， 两分力同向， 12 20NFF， 当两分力夹角头180 时，两分力反向， 12 5NFF，解得 1 12.5NF ， 2 7.5NF 。 1060N。由几何关系，ABC与AFE是顶角为120的等腰三角形，底边长为腰长的3 倍，结合各力的大小跟对应的边长
33、成正比，可知 241 310 3NFFF，ACD与AED县 直角三角形，其中30CADEAD，因此AD的长度是长度的 2 倍， 31 220NFF。为 了方便起见， 可以先把 1 F， 5 F合成， 再把 2 F， 4 F合成， 最后把这些力的合力与 3 F加起来即可。 1 F， 5 F的合力为10N， 2 F， 4 F的合力为30N， 因此这 5 个力的合力为10N30N20N60NF 合 。 11利用平行四边形定则和三角形定则，可分别画出分力 1 F和 2 F如图 4.91 所示。结合直角三 角形知识和余弦定理，可得图 4.91（a）中 1 tanFF， 2 cos F F ，图 4.91
34、（b）中 22 211 2cosFFFFF。 125，5 3。结合三角形定则，当 2 F与 1 F垂直时， 2 F取得最小值，这样 1 F， 2 F和F围成直 角三角形， 2min sin305NFF， 1 cos305 3NFF。 13 （1）对竖直墙的压力为 3 4 G，对斜面的压力为 5 4 G。 （2）水平方向的分力为 3 2 F，竖直方向的分力为 1 2 F。 （3）绳OA的拉力为 1 2 G，绳OB的拉力为 3 2 G。 （4）杆AO的弹力的大小为3G，杆BO的弹力的大小为2G。 14 （1） 1 F， 2 F合力的方向平行于河岸，根据平行四边形定则，画出如图 4.92（a）所示的
35、矢 量关系，可解得合力 1cos30 50 3NFF， 2 tan3050NFF。 （2）保证合力F大小和方向不变，甲的拉力方向也不变，可画出如图 4.92（b）所示的矢量三 角形， 可见， 从 1 F末端指向合力F末端的有向线段即表示 2 F， 当 1 F调整为不同大小时， 2 F的大小、 方向随之变化。当 2 F与 1 F垂直时 2 F取得最小值 2min F， 2min sin3025 3NFF，方向与船前进 方向的夹角为60，对应的 1 F的大小应调整为 1 cos3075NFF。 15先根据力F的效果，把力F沿AB和AC方向分解为 AB F和 AC F，如图 4.93（a）所示， 此时力的平行四边形为菱形， 设AB，AC与AO之间的夹角为， 则 2 c o s AC F F 。 再把分力 AC F 沿水平和竖直方向分解，如图 4.93（b）所示，则有 2 sintan 2 AC F FF。由几何关系可得 100 tan10 10 ，故 2 105 2 F FF。
