1、第二节第二节 简单的变速直线运动简单的变速直线运动 如果物体沿着一条直线运动，并且速度的大小不恒定，那么物体的运动就是变速直线运动。折 返运动实际上也是变速直线运动，因为速度的方向发生了变化。 一、变速直线运动的平均速度一、变速直线运动的平均速度 如果某物体在一段时间内运动的路程恰与一个匀速直线运动在相等时间内通过的路程相等，我 们就说这个匀速直线运动的速度是该物体在这段时间内的平均速度，这里实际是用匀速直线运动的 速度来表示该物体在某段时间内运动的平均快慢程度，体现了一种等效代替的思想。 平均速度用符号v来表示，其定义式为 s v t ，应注意的是： （1）在任何时间段，匀速直线运动的平均速
2、度均为定值。 （2）变速运动的平均速度往往与选取的时间段有关，选取的时间段不同，平均速度可能不同。 例例1 小明的家与学校之间有一座山，每天上学的过程中，有五分之二的路程是上坡路，其余是 下坡路。小明从家到学校要走36min，如果小明上坡行走速度不变，下坡行走速度也不变，而且上 坡行走速度是下坡行走速度的三分之二，求： （1）小明上学过程与放学过程平均速度之比； （2）小明放学回家所需的时间。 分析与解分析与解 （1）由题意，设小明上学过程中上坡路为2s，则下坡路为3s；再设上坡速为2v， 则下坡速度为3v。于是小明上学的平均速度为 55 23 2 23 s vv ss vv 上学；放学时，原
3、来的下坡路变为 上坡路，原来的上坡路变为下坡路，因此放学时的平均速度为 530 32 13 23 s v ss vv ，因此上学、放学的 平均速度之比为 13 = 12 v v 上学 放学 。 （2）由于上学、放学所行走的路程相同，根据 s t v 可知，行走时间与平均速度成反比，因此 有 13 = 12 tv tv 上学 放学 放学 上学 ，可知放学行走时间为39mint 放学 。 二、匀变速直线运动二、匀变速直线运动 1匀变速直线运动的概念匀变速直线运动的概念 表3.1中给出了做直线运动的3个物体的速度与时间的关系，由表可知甲、乙两物体加速，丙物 体减速。每经过2s时间，甲物体速度都增加2
4、m/s；每经过2s时间，乙物体速度都增加4m/s；每 经过2s时间，丙物体速度都减小5m/s，直至速度减为零最后静止。这3个物体在运动过程中，速 度随时间均匀变化， 即在相等的时间内， 速度的变化量都相同， 这样的直线运动叫匀变速直线运动。 匀变速运动根据速度增大或减小，又分为匀加速直线运动和匀减速直线运动。 表表 3.1 时刻 （s） 速度（m/s） 物体 0 2 4 6 8 10 12 甲 2 4 6 8 10 12 14 乙 1 5 9 13 17 21 15 丙 20 15 10 5 0 0 0 注：甲、乙的运动为匀加速直线运动，丙的运动为匀减速直线运动。 2匀变速直线运动的速度匀变速
5、直线运动的速度-时间图像时间图像 由于匀变速直线运动的速度随时间均匀增加或均匀减小，因此它们的速 度时间图像（vt图像）是倾斜的直线。如图 3.25 所示，图线a表示初速度 为 1 v（即0t 时的速度）的匀加速直线运动，图线b表示初速度为 2 v的匀减 速直线运动。应该注意的是，vt图像与坐标轴所围成的面积表示物体通过 的距离。下面通过一个例题，证明一个很有用的结论。 例例 2 在物理学中，如果物体治着一条直线运动，且速度大小随时间均匀变化（即在任意相等时 间内速度变化量相同，vt图像为倾斜的直线），我们就说物体做匀变速直线运动。已知某物体做 匀变速直线运动，初速度为 0 v，t时刻的速度为
6、 t v，试证明在0t时间内该物体的平均速度为 0 2 t vv v 。 分析与解分析与解 如图 3.26 所示，AB段为一物体做匀加速直线运动的vt图像，t时间内的位移为 图中梯形OABC的面积，图中与时间轴平行的直线DE表示物体做匀 速直线运动的vt图像，矩形ODEC表示其在t时间内的位移。若矩 形ODEC的面积等于梯形OABC的面积，则根据平均速度的定义， 该 匀速直线运动的速度就等于匀加速直线运动的平均速度。当矩形 ODEC的面积与梯形OABC的面积相等时，容易得出，ADF与 BEF全等，因此F为AB的中点，有 0 2 t vv v 。又因为F点所对 应的时刻为 2 t ，因此还可得
7、2 t vv。证毕。 有了匀变速直线运动的平均速度公式，结合图像下方的面积表示运动的距离，我们可以解决很 多匀变速运动的问题。 例例 3 如图 3.27 为某物体由静止做直线运动的vt图像， 则下列说法 正确的是（ ）。 A 123 :1:2:3vvv B每经过相同的时间，物体的速度增加量都相同 C物体在 0 0 t， 0 0 2t， 0 0 3t时间内运动的距离之比为 1:2:3 D物体在 0 0 t， 00 2tt， 00 2 3tt时间内平均速度之比为 1:3:5 分析与解分析与解 由题给vt图像可知，物体的速度与时间成正比，均匀增加，因此每经过相同的时 间，物体的速度增加量都相同，结合
8、正比例知识，可知 123 :1:2:3vvv ，因此 A，B 选项正确。 由于vt图像下方的面积表示运动距离，因此物体在 0 0 t， 0 0 2t， 00 2 3tt时间内运动的距离 分别为对应的三角形面积，又由三角形面积之比等于边长的平方之比，可得运动距离之比为 22 2 000 : 2: 31:4:9ttt， C 选项错误。 结合匀变速直线运动的平均速度公式， 物体 0 0 t，0 0 2tt， 00 2 3tt时间内平均速度之比为 23112 0 : 222 vvvvv ，又因为 123 :1:2:3vvv ，因此可得 23112 0 :1:3:5 222 vvvvv ，D 选项正确。
9、本题正确选项为 ABD。 练习题练习题 1下列图像表示匀减速直线运动的是（ ）。 A B C D 2小球在斜面上从静止开始匀加速下滑，进人水平面后又做匀减速直线运动直至停止。下列图 像中可以反映小球这一运动过程中速度大小变化的是（ ）。 A B C D 3一物体从静止开始做匀加速直线运动，时间t内通过的距离为s，则它从出发开始，在 3 s 时 间内的位移 s 和从开始出发经路程所需时间 t 分别为（ ）。 A 1 3 ss ， 1 3 tt B 1 9 ss ， 3 3 tt C 1 6 ss ， 1 6 tt D 1 9 ss ， 1 9 tt 4从某一高度相隔1s先后释放两个相同的小球甲和
10、乙，不计空气阻力，图 3.28 所示为两球释 放后的速度-时间图像，在空中任一时刻（ ）。 A甲、乙两球距离始终保持不变，甲、乙两球速度之差保持不变 B甲、乙两球距离越来越大，甲、乙两球速度之差也越来越大 C甲、乙两球距离越来越大，但甲、乙两球速度之差不变 D甲、乙两球距离越来越小，甲、乙两球速度之差也越来越小 5如图3.29所示为A，B两物体同时由同一地点向同一方向做直线运 动的vt图像，由图像可知（ ）。 AB做匀速运动，A静止 B20s末A，B相遇 C40s末A，B相遇 DA做匀速运动，B做匀加速运动 6物体做匀加速直线运动，已知第1s末的速度是6m/s，第2s末的速度是8m/s，则下面
11、结 论正确的是（ ）。 A物体的初速度是3m/s B物体第4s末的速度是12m/s C任何1s内的速度变化都是2m/s D第1s内的平均速度是5m/s 7做匀加速直线运动的物体，速度由v增加到2v时的位移为s，则当速度由3v增加到4v时的 位移是（ ）。 A 5 2 s B 7 3 s C3s D4s 8做匀加速直线运动的物体，在某一段时间t内经过的位移是s，则/s t表示（ ）。 A物体在t时间内速度的增加量 B物体在t时间内的位移中点的瞬时速度 C物体在t时间内中间时刻的瞬时速度 D物体在t时间内的平均速度 9一个以初速度 0 v沿直线运动的物体，s t末速度为 t v，如图 3.30 所
12、 示，则关于s t内物体运动的平均速度v和加速度a的说法中正确的是 （ ）。 A 0 2 t vv v B 0 2 t vv v C物体速度的增加是均匀的 D物体速度的增加越来越慢 10某物体做直线运动，若前一半路程速度为 1 v，后一半路程速度为 2 v，则全程的平均速度为 _；若前一半时间速度为 1 v，后一半时间速度为 2 v，则全程的平均速度为_。 11 一辆汽车沿着平直公路以速度 1 v行驶 2/3 路程， 接着以 2 20km/hv 跑完余下的 1/3 路程， 如果汽车全程的平均速度为28km/hv ，则汽车在前 2/3 路程的速度 1 v _。 12一个物体从静止开始做匀加速直线
13、运动，那么它在3s末和6s末的速度之比为_，它 在前3s内和前6s内运动的距离之比为_。 13一物体由静止做匀加速直线运动，试计算下列各小题： （1）速度为4m/s时，运动距离为8m；速度为8m/s时，运动距离为_。 （2）速度为2m/s时，走了5m；要使速度达到6m/s，还要走_。 （3）前5s内走了10m，则前10s内走了_。 （4）前4s内走了10m，则再走4s还能走_。 （5）走前2m需4s，走前4m需_。 （6）走前3m需5s，再走3m还要_。 （7）第1个5s走8m，第10个5s走_。 （8）通过10m的距离时，速度达到2m/s，再通过10m距离时速度达到_。 （9）前2s内通过的
14、距离和后3s（共走5s）内通过的距离之比为_。 （10）共走5m，通过前2m所需时间和通过后3m所需时间之比为_。 14如图 3.31 所示是某物体做直线运动的vt图像，则物 体在0 2s内做_运动，通过的距离是_m；物 体在2 4s做_运动，通过的距离是_m；物体 在45s做_运动，通过的距离是_m；物体在 m内的平均速度为_m。 参考答案参考答案 1 A。 匀减速直线运动的速度时间图像是一条直线， 速度均匀减小。 B 选项为匀速直线运动， C 选项表示物体做匀速直线运动，D 选项表示物体静止。 2C。小球的速度-时间图像应是两段直线：沿斜面滑下时速度均匀增加，进人水平面后速度均 匀减小，直
15、至减为零。 3B。速度时间图像下方的面积表示物体通过的距离，面积与底边长度（即时间）的平方成 正比，则有 22 2 1 3 3 s ss tt t ，解得 1 9 ss ， 3 3 tt 。 4C。由图像可知，在1st 时，乙刚开始下落，而甲的速度已经达到9.8m/s。甲和乙的速度 时间图像为平行直线， 说明甲、 乙在相同时间内速度的增加量相同， 因此， 在以后的运动过程中， 甲的速度总是比乙大9.8m/s，甲在乙的前方，甲、乙之间的距离也越来越大。 5 CD。 由图像可知，A做匀速直线运动，B做匀加速直线运动。 两物体同时同地同方向运动， 则相遇时，通过的距离一定相等，根据速度-时间图像下方
16、的面积表示物体前进的距离，可知在40s 末，A，B两物体相遇。 6BD。物体在第1s末到第2s末速度由6m/s增加到8m/s，说明物体每经过1s，速度将增加 2m/s，因此在0t 时，物体的速度（初速度）应为4m/s。第4s末物体的速度应为12m/s，第 1s内的平均速度为 46 m/s5m/s 2 v 。 7B。物体做匀加速直线运动，则物体速度从v增加到2v和从3v增加到4v所用时间相同，设 这个时间为t，则由匀加速直线运动的平均速度公式，可得速度从v增加到2v通过的距离为 2 2 vv st ，速度从3v增加到4v通过的距离 34 2 vv st ，显然 7 s 3 s 。 8CD。由本节
17、例 2 的结论，匀变速直线运动的平均速度等于初末速度的和的一半，也等于中 间时刻的瞬时速度，写成公式可以表示为 12 1 2 2 vvs vv t ；因此 CD 正确。 9BD。物体的速度一时间图像是曲线，在0t时间内物体的速度从 0 v增加到 t v，通过的距离 是曲线下方的面积，显然这个面积大于物体做匀加速直线运动时速度从 0 v增加到 t v的图线下方的面 积，即物体的平均速度 0 2 t vv v 。 10 1 2 12 2v v vv ， 12 2 vv 。设路程为2s，则一半路程为s，物体在前半程和后半程所用的时间分 别为 1 1 s t v 和 2 2 s t v ，则全程的平均
18、速度为 1 2 1212 12 222v vss v ss ttvv vv 。设总时间为2t，则一 半的时间为t，物体在前一半时间和后一半时间通过的路程分别为 11 svt和 22 sv t，则全程的平 均速度为 1212 22 vtv tvv v t 。 1135km/h。设汽车通过的总路程为s，则汽车通过前 2 3 s的路程用时 1 1 2 3 s t v ，汽车通过后 1 3 s的路程用时 2 2 1 3 s t v ，故全程的平均速度为 12 12 21 33 ss v tt SS vv ，解得 1 35km/hv 。 121：2，1：4。初速度为零的匀加速直线运动的速度时间图像为过坐
19、标原点的倾斜直线， 速度之比等于时间之比，运动距离之比等于图像下方面积之比，即等于时间的平方之比。 13（1）32m；（2）40m；（3）40m；（4）30m；（5）4 2s；（6） 521 s；（7） 152m；（8）2 2m/s；（9）4：21；（10） 2 :52。 本题的各小题均可利用“初速度为零的匀加速直线运动的速度时间图像为过坐标原点的倾斜 直线，速度之比等于时间之比，运动距离之比等于图像下方面积之比，即等于时间的平方之比”这 一规律求解。 14匀加速直线，2；匀速直线，4；匀减速直线，1；1.4。物体在0 2s内的速度时间图像 为过坐标原点的倾斜直线，因此物体做匀加速直线运动；通过的距离为0 2s内图像下方的面积， 即 1 1 2m/s2s2m 2 s 。 物体在2 4s的速度-时间图像为平行于时间轴的直线， 因此物体做匀 速直线运动，物体在2 4s内运动的距离 2 2m/s4s2ss 4m。物体在4 5s的速度时 间图像为向下倾斜的直线，因此物体做匀减速直线运动，至 1 5st 时速度减为零，物体在45s内 运动的距离 3 1 2m / s5s4s1m 2 s 。在0 5s内物体的平均速度为 123 sss v t 总 2m4m 1m 1.4m/s 5s 。
