1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （ 广东 卷 ） 数学 (理科 )答案 解析 一 、选择题 1.【答案】 D 【解析】由题意可得 1 , 4 1 , 4 M N M N? ? ? ? ? ?I， ，. 【提示】求出 两个集合，然后求解 交集 即可 . 【考点】交集及其运算 2.【答案】 B 【解析】由题意可得 i(3 2i) 2 3iz ? ? ? ?， 因此 2 3iz? . 【提示】 直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可 . 【考点】复数的 基本计算 以及 共轭复数的基本概念 3.【答案】 D 【解析】 A 选项， ? ? 2 2( ) 1 1 (
2、)f x x x f x? ? ? ? ? ? ?，偶函数； B 选项， ? ?11()f x x x f xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，奇函数；C 选项， 11( ) 2 2 ( )22xxxxf x f x? ? ? ? ? ? ?，偶函数； D 选项， 1( ) e ( ) ( )exxf x x x f x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因此选 D 【提示】 直接利用函数的奇偶性判断选项即可 . 【考点】 函数的奇偶性的判定 4.【答案】 B 【解析】 任取 两球一共有 215 15 14 15 712C ? ? ?种 情况 ，其中 一个红球一个白球
3、 一共 有 1110 5 10 5CC?g ， 因此概率为 10 5 1015 7 21? ? . 【提示】 首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和 “ 所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球 ”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从 15 个球任取 2 球的取法，而在求 “ 所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球 ” 事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可 . 【考点】 古典概型及其概率计算公式 5.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 与 直线 2 1 0xy? ? ? 平行 的直线可以设为 20x
4、 y m? ? ? ， 因为直线与圆相切，根据圆心到直线距离等于半径可得：22| 521m ?， | | 5m? ， 解得 5m? ， 因此我们可以得到直线方程为： 2 5 0xy? ? ? 或 2 5 0xy? ? ? . 【提示】 设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程 . 【考点】解析几何 中的平行 ， 圆的切线方程 6.【答案】 B 【解析】 依据 题意， 可行域 如 右 图所示 ， 初始 函数为0 32l y x? ：， 当 0l 逐渐 向右上方平移的过程中， 32z x y? 不断 增大， 因此 我们 可以得到 当 l 过 点 41,
5、5E?的 时候，min 235z ?. 【提示】 作出不等式组对应的平面区域，根据 z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值 . 【考点】线性规划 问题 7.【答案】 C 【解析】 已知 双曲线 221xyC ab?： ， 54ce a?， 又 由焦点为 ? ?2 5,0F ， 因此 2245 4 35c a c b c a? ? ? ? ? ? ? ?， 因此双曲线方程为 22116 9xy?. 【提示】 利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】圆锥曲线 的离心率求解问题 8.【答案】 B 【解析】解：考虑平面上， 3 个点两
6、两距离相等，构成等边三角形，成立； 4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立； n 大于 4，也不成立； 在空间中， 4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立； 若 4n? ，由于任三点不共线，当 5n? 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理 5n? ，不成立 . 故选： B 【提示】 先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断 . 【考点】 棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】 6 【解析】展开
7、通式 为 144 ( ) ( 1)m m mCx? ，令 2m? 可得 1 4 1 2 4 244( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) 4m m mC x C x x? ? ? ? ? ?， 因此系数为 6. 【提示】 根据题意二项式 4( 1)x? 的展开的通式为 144 ( ) ( 1)m m mCx? ，分析可得， 2m? 时，有 x 的项，将2m? 代入可得答案 . 【考点】二项式 定理的 运用 10.【答案】 10 【解析】 根据 等差中项可得： 3 4 5 6 7 55 2 5a a a a a a? ? ? ? ? ?， 5 5a? ， 因此 2 8 52 10a a? ? ?
8、 . 【提示】 根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出 5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将 5a 的值代入即可求出值 . 【考点】等差中项 的计算 11.【答案】 1 【解析】由 1sin 2B? ，得 6B? 或者 56B? ， 又因为 6C? ， 因此 6B? ， 23A? ， 【 ;百万教育资源文库 】 根据正弦定理可得 sin sinabAB?3231s in 1s in 2abBA? ? ?gg. 【提示】 由 1sin 2B? ，可得 6B? 或者 56B? ，结合 3a? ， 6C? 及正弦定理可求 b . 【考点】 正弦定理 ， 两角和与差的正弦函数
9、 12.【答案】 1560 【解析】 某 高三毕业班有 40 人 ， 每人给 彼此写一条留言，因此每人的条数为 39， 故而一共有 40 39 1560?条 留言 . 【提示】 通过题意，列出排列关系式，求解即可 . 【考点】 排列 与 组合的实际应用 13.【答案】 13 【解析】 根据 随机变量 X 服从二项 分布 ( , )Bnp ，根据 ( ) 3 0 ( ) (1 ) 2 0E X n p D X n p p? ? ? ? ?， 可得 ( ) 21 ( ) 3DXp EX? ? ?， 化简后可得 13p? . 【提示】 直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可 . 【考点】 离散
10、型随机变量的期望与方差 14.【答案】 522【解析】 考察基本的 极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题 .由 2 sin 24?可得 直线 l 的直角 坐标系方程为 10xy? ? ? ， 由 72 2, 4A?可得它的 直角坐标为 ? ?2, 2A ? ， 因此 ， 点 A 到直线 l 的距离 为 | 2 2 1 | 5 222d ?. 【提示】 把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可 . 【考点】 简单曲线的极坐标方程 15.【答案】 8 【解析】 连接 OC ， 【 ;百万教育资源文库 】 根据 AOC 为等腰三角形可得 CAO
11、ACO? ? ，又因为 AB 为直径， 因此可得 90CAO B? ? ? ?， 90ACO B? ? ? ?， OP BC 90A C O P A C O C O P? ? ? ? ? ?， ， 因此可得 COP B? ? ，因此 R t R tDOC ABC ， 故而可得 21OD OCAB BC?， 8OD? . 【提示】 连接 OC ， 根据 AOC 为等腰三角形可得 CAO ACO? ? ， AB 为直径以及 OP BC 得出R t R tDOC ABC 即可 求出 OD 的 值 . 【考点】 相似三角形的判定 三 、 解答题 16.【答案】 （） tan 1x? （） 512x?
12、【解析】 mn?ur r ， 2 2 2 2 , ( s i n , c o s ) s i n c o s s i n2 2 2 2 4m n x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?ur rgg， | | 1 | | 1mn?ur r， ， 因此：（ ）若 mn?ur r ，可得 sin 04m n x? ? ?ur rg， 44x k x k? ? ? ? ?， 又 0,2x ?， 0 4kx?， ， 因此可得 tan tan 14x?. （ ）若 mur 和 nr 的夹角为 3 ，可得 1s in | | | | c o s4 3 2m n x m n? ? ? ?ur r u
13、r rgg， 2 46xk? 或 5 2 46xk? ? ? ， 【 ;百万教育资源文库 】 又 0,2x ?， ,4 4 4x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 46x?，解得 512x? . 【提示】 （ ）若 mn?ur r ，则 0mn?ur rg ，结合三角函数的关系式即可求 tanx 的值 . （ ）若 mur 和 nr 的夹角为 3 ，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求 x 的值 . 【考点】 平面向量数量积的运算 ， 数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】 （） 4 4 4 0 3 6 4 3 3 6 3 7 4 4 4 3 3 7， ， ， ， ， ，
14、， ， （） 40x? 2 1009s ? （） 23 人 63.89% . 【解析】 （）根据 系统抽样的 方法 ，抽取 9 个 样本，因此分成 9 组 ， 每组 4 人 .又 因为第一组中随机抽样可抽到 44， 因此 按照 现有的排序 分组 .故而每组 中抽取的都是 第 二个数，因此我们 可得 样本数据为 第 2 个 ， 第 6 个 ，第 10 个 ，第 14 个 ，第 18 个 ，第 22 个 ，第 26 个 ，第 30 个 ，第 34 个， 分别为 ： 4 4 4 0 3 6 4 3 3 6 3 7 4 4 4 3 3 7， ， ， ， ， ， ， ， （）由 平均值公式 得 4 4
15、4 0 3 6 4 3 3 6 3 7 4 4 4 3 3 7 409x ? ? ? ? ? ? ? ?， 由 方差公式得 222 2 2 21 2291 1 0 0( ) ( ) ( ) (99 4 4 4 0 ) ( 4 0 4 0 ) ( 3 7 4 0 )s x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （） 2 100 1093ss? ? ?， 因此可得 213 6 4 333x s x s? ? ? ?， ， 因此在 xs? 和 xs? 之间的 数据可以 是 4 4 4 0 3 6 4 3 3 6 3 7 4 4 4 3 3 7， ，
16、， ， ， ， ， ， ， 因此 数据一共有 23 人 ，占比为 23 100% 63.89%36 ? . 【提示】（） 利用系统抽样的定义进行求解即可 . （） 根据均值和方差公式即可计算 （） 中样本的均值 x 和 方差 2s . （） 求出样本和方差即可得到结论 . 【考点】 极差 ， 方差与标准差 ， 分层抽样方法 18.【答案】 （）见解析 【 ;百万教育资源文库 】 （） 73（） 9525. 【解析】 （）证明 ： 由 PD PC? 可得三角形 PDC 是等腰三角形， 又因为点 E 是 CD 边的中点，因此可得 PE CD? ， 又因为三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD
17、 所在的平面垂直，而且相交于 CD，因此 PE? 平面 ABCD ，又因为 FG 在平面 ABCD 内，因此可得 PE FG? ，问题得证 . （）因为 四边形 ABCD 是 矩形，因此可得 AD CD? ， 又因为 PE? 平面 ABCD ，故而 PE AD? ， 又 PE CD E? ，因此 可得 AD? 平面 PDC ， 因此 ,AD PD AD CD?，所以 P AD C PDE? ? ? ? ?. 在 等腰三角形 PDC 中 ， 46PD CD AB? ? ?， ， 1 32DE CD?. 因此可得 22 7PE PD CE? ? ?， 故而可得 7ta n3PEPDE DE? ? ?. （）如图 所示，连接 AC AE， . 22AF FB CG GB?， ， BF BGAB BC? ， BFG BAC ， GF AC ， 因
