1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试（ 湖南 卷） 数学 （理工 农医类 ）答案 解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 i (1 i) 1 iz ? ? ? ? ?复数 z 对应复平面上的点是 (1,1)? ， 该点位于第二象限 【 提示 】利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解 【考点】复数乘法的运算法则 ， 复数集与复平面上的点对应关系 2.【答案】 D 【解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法 【 提示 】给出实际案例，判断其解决问题的方法属于四种抽样方法的哪一种 【考点】分层抽样 3.【答案】 D 【
2、解析】在 ABC 中， 2 sina R A? ， 2 sinb R B? (R 为 ABC 的外接圆半径 ) 2 sin 3a B b? ， 2 sin sin 3 sinA B B?， 3sin 2A?，又 ABC 为锐角三角形， 3A? 【 提示 】给出三角形中的边角关系，运用正弦定理求解未知角 【考点】正弦定理 4.【答案】 C 【解析】根据不等式 组作 出其平面区域，令 2z x y? ， 结合 2z x y? 的特征求解不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，平行移动 11,22y x z? ? 可知该直线经过 2yx? 与 1xy?的交点 12,33A?时， z 有最大值为 1 4
3、 53 3 3? 第 4题 【 提示 】利用线性规划知识求目标函数的最值问题图 【考点】 二元线性规划求目标函数的最值 5.【答案】 B 【解析】 22( ) 4 5 ( 2 ) 1g x x x x? ? ? ? ? ?， 又当 2x? 时， ( ) 2 ln 2 ln 4 1fx ? ? ?， 在同一直角坐标系内画【 ;百万教育资源文库 】 出函数 ( ) 2lnf x x? 与 2( ) 4 5g x x x? ? ?的图象，如图所示，可知 ()fx与 ()gx有 2个不同的交点 第 5题图 【 提示 】 本题考查的知识点是指数函数的图象，要求函数 ( ) 2lnf x x? 的图象与函
4、数 2( ) 4 5g x x x? ? ?的图象的交点个数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案 【考点】函数图象的 应用 6.【答案】 A 【解析】 由题意，不妨令 (0,1)a? ， (1,0)b? ， ( , )c xy? 由 | | 1c a b? ? ? 得 22( 1) ( 1) 1xy? ? ? ?，22|c x y?可看做 (, )xy 到原点的距离，而点 (, )xy 在以 (1,1) 为圆心，以 1为半径的圆上如图所示，当点 (, )xy 在位置 P 时到原点的距离最近，在位置 P? 时最远，而 21PO?， 21PO? ?，故选 A 第 6题图 【 提示
5、】 令 OA a? ， OB b? ， OD a b?， OC c? ，作出图象，根据图象可求出 |c 的最大值、最小值 【考点】向量数量积的运算及定义、向量加法的几何意义 7.【答案】 C 【解析】 根据三视图中正视图与俯视图等长，故正视图中的长为 2cos? ，如图所示故正视图的面积为2 c o s 0 4S ? ? ?， 12S? ，而 2112? ，故面积不可能等于 212? 【 ;百万教育资源文库 】 第 7题图 【 提示 】 求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为 1, 2 即可得出 【考点】空间几何体三视图 8.【答案】 D 【解析】 以 A为原点， AB为 x轴， AC为
6、 y轴建立直角坐标系如图所示则 )(0,0A ， ()4,0B ， ()0,4C 设 ABC的重心为 D，则 D点坐标为 44,33?设 P点坐标为 (),0m ，则 P点关于 y轴的对称点 P1为 (),0m? ，因为直线 BC方程为 40xy? ? ? ，所以 P点关于 BC的对称点 P2为 (4,4 )m? ，根据光线反射原理， P1， P2均在 QR 所在直线上， 12PD PDkk?，即4443344433mm?，解得， 43m? 或 0m? .当 0m? 时， P 点与 A点重合，故舍去 43m? 第 8题图 【 提示 】 建立坐标系，设点 P的坐标，可得 P关于直线 BC的对称点
7、 1P 的坐标，和 P关于 y轴的对称点 2P的坐标，由 1P ， Q， R， 2P 四点共线可得直线的方程，由于过 ABC 的重心，代入可得关于 a的方程，解之可得 P的坐标，进而可得 AP 的值 【考点】 直线的斜率，直线的方程 二、填空题 9.【答案】 3 【解析】 由题意知在直角坐标系下，直线 l的方程为 y x a? ，椭圆的方程为 22194xy?，所以其右顶点为(3,0) 由题意知 03a? ，解得 3a? 【 提示 】 直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得 a的值 【考点】参数方程的转化，椭圆的简单几何性质 10.【答案】 1
8、2 【解析】 由柯西不等式得 2 2 2 2 2 2 2(1 1 1 ) ( 4 9 ) ( 2 3 )a b c a b c? ? ? ? ? ? ?，即 2 2 24 1 12a b c? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 当 2 3 2a b c? ? ? 时等号成立，所以 2 2 24 19a b c? 的最小值为 12 【 提示 】 根据柯西不等式，得 ( 2 3 ) 2 ( 1 1 2 1 3 ) 2 ( 1 2 1 2 1 2 ) ( 2 4 2 9 2 ) 3 ( 2 4 2 9 2 )a b c a b c a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、 ? ? ? ? ?，化简得 2 2 24 9 12a b c? ? ?，由此可得当且仅当 2a? ， 1b? ， 23c? 时， 2 2 249a b c?的最小值为 12 【考点】 柯西不等式 ， 柯西不等式的几何意义 11.【答案】 32 【解析】 如图所示，取 CD中点 E，连结 OE， OC 由圆内相交弦定理知 PD PC PA PB? ，所以 4PC? ，5CD? ，则 52CE? ， 7OC? 所以 O 到 CD 距离为 22 537 22OE ? ? ? ? ? 第 11题图 【 提示 】 首先利用相交弦定理求出 CD 的长，再利用勾股定理求出圆心 O到弦 CD的距离，注意计算
10、的正确率 【考点】圆的相交弦定理及圆的弦的性质，解三角形 12.【答案】 3 【解析】 321 =3xx?， 2 3 30 011 0933TT x d x x T? ? ? ?， 3T? 【 提示 】利用微积分基本定理建立方程求解 【考点】微积分基本定理 13.【答案】 9 【解析】 输入 1a? ， 2b? 不满足 8a? ， 故 3a? ； 3a? 不满足 8a? ，故 5a? ； 5a? 不满足 8a? ，故 7a? ； 7a?不满足 8a? ，故 9a? ，满足 8a? ，终止循环输出 9a? 【 提示 】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是
11、利用循环累加 a值，并判断满足 8a? 时输出 a的值 【考点】循环结构的程序框图 14.【答案】 3 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 不妨设 1| | |PF PF? ，由 12| | | | 6| | | | 2PF PF aPF PF a? ?可得 12| | 4| | 2PF aPF a? ? 22ac? ， 12 30PFF? ? ， 2 2 22 4 2c o s 3 0 2 2 4c a aca? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 整理得， 223 2 3 0c a ac? ? ?，即 2 2 3 3 0ee? ? ? ， 3e? 【 提示 】 利用双曲线的定义求出 1|
12、PF ， 12|FF ， 2|PF ，然后利用最小内角为 30结合余弦定理，求出双曲线的离心率 【考点】双曲线的定义，余弦定理 15.【答案】10011132?【解析】 111 111( 1 ) ( 1 )22nnn n n n nnna S S a a? ? ? ? ? ? ? ? ?， 11 1( 1 ) ( 1 ) 2nnn n n na a a? ? ? ? ? ?当 n为偶数时，1 12n na? ?， 当 n为奇数时，1 12 2nn naa?， ?当 4n? 时3 4112 16a ? ?根据以上 na 的关系式及 递 推式可求：1 212a?，3 412a ?，5 612a ?
13、，7 812a ?，2 212a?，3 412a ?，5 612a ?，7 812a ?2112aa? ? ?，43312aa?，65512aa?1 2 1 0 0 2 1 4 3 1 0 0 9 9 2 3 1 0 01 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 2S S S a a a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 9 9 2 1 0 0 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 3 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【 提示 】 （ 1）把给出的
14、数列递推式先分 1n? 和 2n? 讨论，由此求出首项和 2n? 时的关系式1 1( 1 ) ( 1 ) 2nnn n n na a a ? ? ? ? ?对此关系式再分 n为偶数和奇数分别得到当 n为偶数和奇数时的通项公式，则 3a 可求； （ 2） 把（ 1）中求出的数列的通项公式代入1 1( 1 ) ( 1 ) 2nnn n n na a a n ? ? ? ? ? ? N，则利用数列的分组求和和等比数列的前 n项和公式可求得结果 【考点】递推关系求通项，数列的 前 n项和 16.【答案】（ 1） |0 1xx? （ 2） 【解析】 0ca? ， 0cb? ， ab? 且 a， b， c
15、不能构成三角形三边， 02ac? ? ? ， 2ca?， 令 ( ) 0fx?得 2 xxac? ，即 2xca? log 2cax?，21 log 1cxa? ? ?， 01x? ? ? 1 【 ;百万教育资源文库 】 a ， b， c是三角形的三条边长， a b c? ? ? ， 0ca? ， 0cb? ， 01bc?， 01ac? ? ? 当 ( ,1)x?时， ( ) 1 1 0xxx x x x x xa b a b a b cf x a b c c c cc c c c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(
16、,1)x? ? ? ( ) 0fx?故 正确； 令 2a? ， 3b? ， 4c? 则 a， b， c可以构成三角形但 2 4a? ， 2 9b? ， 2 16c? 却不能构成三角形，故 正确； ca? ， cb? 且 ABC 为钝角三角形， 2 2 2 0a b c? ? ? ?又 (1) 0f a b c? ? ? ?， 2 2 2(2) 0f a b c? ? ? ?， ?函数 ()fx在 ? ?1,2 上存在零点，故 正确 【 提示 】 （ 1） 由集合 M中的元素满足的条件，得到 2c a b a? ? ? ，求得 ca 的范围，解出函数的零点，利用 () x x xf x a b
17、c? ? 不等式可得零点 x的取值集合； （ 2）对于 ，把函数式 () x x xf x a b c? ? 变形为 ( ) 1xxx x x x abf x a b c ccc? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，利用指数函数的单调性即可证得结论成立； 对于 ，利用取特值法说明命题是正确的； 对于 ，由 ABC 为钝角三角形说明 (2) 0f ? ，又 (1) 0f ? ，由零点的存在性定理可得命题正确 【考点】对数的运算，对数、指数函数的性质，余弦定理，函数零点存在性定理 三、解答题 17.【答案】（） 15 （） 22 ,2 ,3k k k?Z 【解析】 （ ） 3
18、 1 1 3( ) s i n c o s c o s s i n 3 s i n2 2 2 2f x x x x x x? ? ? ? ? 3 3 3( ) 3 s i n s i n55f ? ? ? ? ? ? ? 40 , c o s25? ? ? 且 2 1( ) 2 s i n 1 c o s25g ? ? ? ? （ ） 31 1( ) ( ) 3 s i n 1 c o s s i n c o s s i n2 2 6 2f x g x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 2 2 ,2 2 ,2 ,6 6 6 3x k k x k k k? ? ? ? ? ?
