1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 湖北 卷） 数学（文史类） 答案 解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 2,3,4B? ， 3,4,5UA? ，故 2 , 3 , 4 3 , 4 , 5 3 , 4 UBA ? 【考点】集合的补集和交集运算 2.【答案】 D 【解析】 对于 0,4? ?， 在 双曲线 1C ： 221sin cosxy?与 2C ： 221cos sinyx?中， 都有 2 2 2sin cos 1c ? ? ?，即焦距相等 . 【考点】双曲线的标准方程及其几何意义 3.【答案】 A 【解析】 因为 p 是 “ 甲降落在指定范围
2、 ” ， q 是 “ 乙降落在指定范围 ” ，则 p? 是 “ 没有降落在指定范围 ” ， q?是 “ 乙没有降落在指定范围 ”， 所以命题 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 可表示为 ( ) ( )pq? ? ? . 【考点】逻辑联结词和复合命题 4.【答案】 D 【解析】 正相关指的是 y 随 x 的增大而增大，负相关指的是 y 随 x 的增大而减小，故不正确的为 【考点】两个变量的相关性，正相关和负相关的判断 5.【答案】 C 【解析】 根据题意，刚开始距离随时间匀速减小，中间 交通堵塞停留了一段时间 ， 所以这一段时间距离不再变化， 后为了赶时间加快速度行驶 ， 故应随时间变化
3、距离变化增大，故选 C. 【考点】函数 6.【答案】 B 【解析】 因为 3 c o s s in ( )y x x x? ? ? R可化为 2cos( )6yx?()x?R ，将它向左平移 6 个单位得 2 c o s 2 c o s66y x x? ? ? ?， 其图像关于 y 轴对称 . 【考点】三角函数的性质和三角函数平移变换 7.【答案】 A 【解析】 (2,1)AB? ， (5,5)CD? ，则向量 AB 在向量 CD 方向上的射影为 【 ;百万教育资源文库 】 22( 2 , 1 ) ( 5 , 5 ) 3 2| 2| | | | | | 55A B C D A B C DAB
4、A B C D C D? ? ?. 【考点】平面向量的数量积的几何意义及平面向量的坐标运算 8.【答案】 D 【解析】 函数 ( ) f x x x? 表示实数 x 的小数部分，有 ( 1 ) 1 1 ( )f x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ?，所以 函数( ) f x x x? 是以 1 为周期的周期函数 . 【考点】函数的图像和性质 9.【答案】 C 【考点】本题主要考查二元一次不等式组解决实际问题的能力。 【解析】 根据已知，设需要 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆，则根据题设，有2170036 60 900xyyxxyxy? ? ? ?， ，画出可行域，求出
5、三个顶点的坐标分别为 (7,14)A ， ()5,12B ， 6(15,C ） ，目标函数（租金）为 1600 2400k x y?， 如图所示 ： 将点 B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为： 1 6 0 0 5 2 4 0 0 1 2 3 6 8 0 0k ? ? ? ? ?（元） . 10.【答案】 B 【解析】 ( ) ln 1 2f x x ax? ? ? ?，由 ( ) (ln )f x x x ax?由两个极值点，得 ( ) 0fx? ? 有两个不等的实数解，即ln 2 1x ax?有两个实数解，从而直线 21y ax?与曲线 lnyx? 有两个交点 .过点 (0, 1)? 作
6、 lnyx? 的切线，设切点为 00( , )xy ，则切线的斜率01k x? ，切线方程为01 1yxx?.切点在切线上，则 000 10xy x? ? ? ，又切点在曲线 lnyx? 上，则 0ln 0x? ， 0 1x?即切点为 (1,0) .切线方程为 1yx?.再由直线 21y ax?与曲线lnyx? 有两个交点，知直线 21y ax?位于两直线 0y? 和 1yx?之间，如图所示，其斜率 2a 满足：0 2 1a?，解得 10 2a? . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】导数的应用，利用导数研究函数极值方程 二、填空题 11.【答案】 2 3i? 【解析】 复数 1 2 3iz
7、 ? 在复平面内的对应点 1(2, 3)Z ? ，它关于原点的对称点 2Z 为 (2,3)? ，所对应的复数为2 2 3iz ? ? . 【考点】复数的运算及代数表示 12.【答案】（ ） 7 （ ） 2 【解析】（ ） 平均数为 ? ?1 7 8 7 9 5 4 9 1 0 7 4 710 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） 2 2 2 2 2 21 4 0( 1 0 7) 2 ( 9 7) ( 8 7) 3 (7 7) ( 5 7) 2 ( 4 7) 21 0 1 0s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【考点】统计中的平均数和标准差 13.【答案】 4 【
8、解析】 初始值 2m? ， 1A? ， 1B? ， 0i? ，第一次执行程序，得 1i? ， 2A? ， 1B? ，因为 AB? 不成立，则第二次执行程序，得 2i? ， 2 2 4A? ? ? ， 1 2 2B? ? ? ，还是 AB? 不成立，第三次执行程序，得 3i? ，4 2 8A? ? ? ， 2 3 6B? ? ? ，仍是 AB? 不成立，第四次执行程序，得 4i? ， 8 2 16A? ? ? ， 6 4 24B? ? ? ，有 AB? 成立，输出 4i? . 【考点】程序框图 14.【答案】 4 【解析】 由题意 得 该 圆的圆心在原点 ， 而圆半径为 52? ， 圆心到该直线
9、的距离为22| 1cos sinx? ， 且5 1 1r d d? ? ? ? ?， 故圆上有 4 个点到该直线的距离为 1， 即 4k? . 【考点】直线与圆的位置关系 15.【答案】 3 【解析】 因为区间 2,4? 的长度为 6，不等式 |xm? 的解区间为 2,4? ，其区间长度为 2m .那么在区间 2,4? . 上随机地取一个数 x ，要使 x 满足 |xm? 的概率为 56 ， m 将区间 2,4? 分为 2 m?， 和 4m， ，且两区间 的长度比为 5： 1 ，所以 3m? 【考点】区间和不等式的解集，几何概型 16.【答案】 3 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 由题意
10、盆内所盛水的上底面直径为 28 12 202? ? （寸） ，下底面半径为 6 寸，高为 9 寸，故体积为22(+1 9 10 6 1 0 6 5 8 + 83 )V ? ，而盆上口面积为 214 196? ，故平地降雨量为 588 3196? （寸） . 【考点】台体的体积计算 17.【答案】（ ） 3， 1， 6 （ ） 79 【解析】（ ） 1 2 3D F G D E FS S S? ? ? ? ? ， 1N? ， 6L? . （ ）根据 格点三角形 ABC 及 格点四边形 DEFG 对 应的 S N L， ， 分别是 3， 1， 6 可得， 416263bcbca b c? ? ?解
11、得 12b? ， 1c? ， 1a? 故当 71N? ， 18L? 时， 17 1 1 8 1 7 92S ? ? ? ? ?. 三、解答题 18.【答案】（ ） 由 co s 2 3 co s( ) 1A B C? ? ?，得 22 c o s 3 c o s 2 0AA? ? ?，即 ( 2 c o s 1)(c o s 2 ) 0AA? ? ?，解得 1cos 2A? 或 cos 2A? （舍去）， 因为 0 A?，所以 3A? . （ ） 由 1 1 3 3s i n 5 32 2 2 4S b c A b c b c? ? ? ?得 20bc? ， 又 5b? ，知 4c? . 由余
12、弦定理得 2 2 2 2 c o s 2 5 1 6 2 0 2 1a b c b c A? ? ? ? ? ? ?,故 21a? . 又由正弦定理得 22 2 0 3 5s i n s i n s i n s i n s i n 2 1 4 7b c b cB C A A Aa a a? ? ? ? ?. 【考点】三角函数，三角形的面积公式，正弦定理和余弦定理等知识的综合应用 19.【答案】（ ） 设数列 na 的公比为 q ，则 1 0a? ， 0q? ， 由题意得 2 4 3 2234 18S S S Sa a a? ? ? ? ? ? ? ，即 2 3 21 1 121 (1 ) 1
13、8a q a q a qa q q q? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 1 32aq? ?，故数列 na 的通项公式为 13( 2)nna ? （ ） 由 （ ） 有 3 1 ( 2 ) 1 ( 2 )1 ( 2 ) n nnS ? ? ? ?， 若存在 n ，使得 2013nS ? ，则 1 ( 2) 2013 n? ? ? ，即 ( 2) 2012n? ? 【 ;百万教育资源文库 】 当 n 为偶数时， ( 2) 0n?，上式不成立；当 n 为奇数时， ( 2) 2 2012nn? ? ? ? ? ，即 2 2012n? ，则 11n? . 综上，存在符合条件的正整数 n ，且所有
14、这样的 n 的集合为 | 2 1 5 n n k k k? ? ? ?N， ， 【考点】等比数列的性质，等差数列的性质，等比数列的通项公式及前 n 项和公式，分类讨论思想 20.【答案】 （ ） 依题意 12AA? 平面 ABC ， 12BB? 平面 ABC ， 12CC? 平面 ABC ，所以 1 2 1 2 1 2A A B B C C ，又 1 2 1AA d? ， 1 2 2BB d? ， 1 2 3CC d? ，且 1 2 3d d d?.因此四边形 1 2 2 1AABB 、 1 2 2 1AACC 均是梯形 . 由 2AA 平面 MEFN ， 2AA? 平面 22AABB ，且平
15、面 22AABB 平面 MEFN ME? ，可得 2AA ME ， 即 12AA DE . 同理可证 12AA FG ， 所以 DE FG .又 M 、 N 分别为 AB 、 AC 的中点，则 D 、 E 、 F 、 G 分别为 11AB 、22AB 、 22AC 、 11AC 的中点，即 DE 、 FG 分别为梯形 1 2 2 1AABB 、 1 2 2 1AACC 的中位线 . 因此1 2 1 2 1 2( ) ( )22D E A A B B d d? ? ? ?，1 2 1 2 1 311( ) ( )22F G A A C C d d? ? ? ?，而 1 2 3d d d?，故 D
16、E FG? ，所以中截面 DEFG 是梯形 . （ ） VV?估 .证明如下： 由 12AA? 平面 ABC ， MN? 平面 ABC ，可得 12AA MN? .而 12EM AA ，所以 EM MN? ，同理可得 FN MN? .由 MN 是 ABC 的中位线， 可得 1122MN BC a?即为梯形 DEFG 的高， 因此 13121 2 31 ( ) ( 2 )2 2 2 2 8D E F G dddd aaS S d d d? ? ? ? ? ?中 梯 形，即1 2 3( 2 )8ahV S h d d d? ? ? ?估 中. 又 12S ah? ，所以1 2 3 1 2 31 (
17、 ) ( )36 ahV d d d S d d d? ? ? ? ? ?. 于是1 2 3 1 2 3 2 1 3 1( ) ( 2 ) ( ) ( ) 6 8 2 4a h a h a hV V d d d d d d d d d d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?估. 由 1 2 3d d d?，得 210dd?， 310dd?，故 VV?估 . 【考点】空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识 21.【答案】（ ） ()fx的定义域为 ( , 1) ( 1, )? ? ? ?， 22( 1 ) ( )() ( 1 ) ( 1 )a x a x b a bfx xx? ?
18、 ? ? ?. 当 ab? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx在 ( , 1)? ， ( 1, )? 上单调递增； 当 ab? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx在 ( , 1)? ， ( 1, )? 上单调递减 . （ ）（ i） (1) 02abf ?， 2 0b abf a a b? ?， 0bf aba?， 故 22(1 )2b a b a b bf f a b fa a b a? ? ? ? ? ?，即 2(1) bbf f faa? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 所以 (1)f ， bfa?， bfa?成等比数列 . 因 2abab? ? ，即 (1) bffa? ?.由 得 bbffaa? ? ?（ ii） 由 （ i） 知 bfHa?， bfGa?.故由 ()H f x G?，得 ()bbf f x faa? ? ? 当 l 时， ()bbf f x f aaa? ? ? ? ?， 这时， x 的取值范围为 (0, )? ；当 ab? 时， 01ba?，从而 bbaa?
