1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷 ） 文科数学答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【 答案 】 C 【 解析 】 4 4 i 1 3 4 i 4 3 iiiz ? ? ? ? ? ? ?，所以 22( 4 ) ( 3) 5z ? ? ? ? ?。 故选 C。 2.【 答案 】 A 【 解析 】 ( ) 4UC A B ? ，所以 1,2,3AB? 。因为 1,2B? 。所以 A 一定含元素 3，不含 4。又 因为3,4UCB? ， 所以 3UA C B? 3.【答案】 D 【 解析 】因为 ()fx为奇函数， 所以 1( 1 ) (1 ) 1 21f
2、f ? ? ? ? ? ? ? ?。 4.【 答案 】 B 【 解析 】 由正 (主 )视图数据可知正四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高也是 2，如 下 图： 由图可知 2PO? ， 1OE? ， 所以 222 1 5PE ? ? ?， 所以 184233V ? ? ? ? ， 14 2 5 4 52S ? ? ? ? ?。 5.【 答案 】 A 【 解析 】 由题可知 1 2 030xx?， 所以 有 213xx ?，从而 可 得 03xx? ?， 所以定义域为 (3,0? 。 6.【 答案 】 C 【 解析 】 第一次： 1.2 0a? ? ， 1.2 1 0.2 0a ? ? ? ?
3、 ? ?， 0.2 1 0.8 0a ? ? ? ? ?， .8 1a?不成立，输出 0.8。第二次： 1.2 0a?不成立， 1.2 1a?成立， 1.2 1 0.2 1a ? ? ? ?不成立，输出 0.2。 7.【 答案 】 B 【 解析 】 由正弦定理 sin sinabAB? 得： 13sin sinAB? ，又 因为 2BA? ， 所以可以 得到 【 ;百万教育资源文库 】 1 3 3s in s in 2 2 s in c o sA A A A?。 3cos 2A? ， 所以 30A? 。 60B? ， 90C? 。 所以 221 3 2C ? ? ? ?。 8.【 答案 】 A
4、 【 解析 】 由题意 ： qp? ， pq?，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以 qppq?等价于 pqqp?。 所以 p 是 q? 的充分而不必要条件 。 故选 A。 9.【 答案 】 D 【 解析 】 因 ? ?c o s s i( ) ( ) ( )n c o s() s i nf x x x x x x x f x? - - -+ -， 故该函数为奇函数，排除 B。 又 0,2x ?，0y? ， 排除 C。 而 x? 时， y? ，排除 A，故选 D。 10.【 答案 】 B 【 解析 】 模糊的数为 x ，则： 9 0 8 7 9 4 9 1 9 0 9
5、0 9 1 9 1 7x ?+ + + + + + + =， 4x? 。 所以 7 个数分别为 90， 90， 91，91， 94， 94， 87，方差为 2 2 2 22 2 9 0 9 1 2 9 1 9 1 2 9 4 9 1 8 7 9 1 3 677s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 11.【 答案 】 D 【 解析 】 设 2001, 2M x xp?， 212 xyxpp?，故 M 点切线的斜率为 0 33xp?，故 31,36M p p?。 由31,36pp?， 0,2p?， ? ?2,0 三点共线，可求得 4 33p? ，故选 D。 12.【 答
6、案 】 C 【 解析 】 由 223 4 0x xy y z? + - =得 2243x y xy z+ - = ， 2222 24443 3 3 1xyz x y x yx y x y x y x y? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 224xy= 即 xy=2 时 ， zxy有最小值 1。 将 2xy= 代入原式得 22zy= ， 所以 222 2 2 2 2 4x y z y y y y y+ - = + - = - +， 当 1y= 时有最大值 2。 故选 C。 第 卷 二、填空题 13.【 答案 】 22 【 解析 】 如 下 图，当 AB 所在直线与 AC 垂直时弦 BD 最短
7、， 223 2 1 2 2AC ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2CBr= 222 2 2BA ? ? ? ? ?， BD=2 。 【 ;百万教育资源文库 】 14.【 答案 】 2 【 解析 】 由约束条件可画出可行域如 下 图阴影部分所示 。 由图可知 OM 的最小值即为点 O 到直线 20xy+- =的距离，即min | 2 | 22d ?。 15.【 答案 】 5 【 解析 】 ( 1 )OA t?， ， ? ?2,2OB? ， ( 3 , 2 )BA O A O B t? ? ? ? ?。 又 90ABO? ， 0BA OB?，即 ( 3, 2) (2, 2) 0t? ? ?
8、?， 6 2 4 0t?-+ ， 5t? 。 16.【 答案 】 【 解析】 对于 可 分 几种情形加以 讨论 ：显然， ,1ab? 时 ， lnx? 依 lnx 运算 ， ln | | lnba b a? 成立 ， 01ba? ? ?时亦 成立。若 01a?， 则 ln | | lnba b a? 成立 。综合 正确 。对于 可以取特殊值 1e, eab?， 验证排除。对于 分别研究 ab， 在 |0, |x? 内 的不同取值， 可以 判断 正确 。 对于 根据 ab， 在 |0, |x? 内 的不同取值，进行判断，显然 ab， 中 至少有一个小于 1 结论 成立。当 ab， 都 大于 1
9、时 ， 112ab? ，所以 2a b ab? ， 满足 lnx 运算 结论成立 。 三、解答题 17.【 答案】 （ ） 12 （ ） 310 【解析 】 （ ） 从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A， B)， (A，C)， (A， D)， (B， C)， (B， D)， (C， D)，共 6 个 。 【 ;百万教育资源文库 】 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 。 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有： (A， B)， (A， C)， (B， C)，共 3 个 。 因此选到的 2 人身高都在 1.78 以
10、下的概率为 3162P? 。 ( )从该小组同学中任选 2 人，其一切可能的结果组成的基本事件有： (A， B)， (A， C)， (A， D)， (A，E)， (B， C)， (B， D)， (B， E)， (C， D)， (C， E)， (D， E)，共 10 个 。 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的 。 选到的 2 人身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5， 23.9)中的事件有： (C， D)， (C， E)， (D， E)，共 3 个 。 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在 18.5， 23.9)中的概率为 310P? 。
11、 18.【 答案】 （ ） 1 （ ） 32 ， 1? 【解析】 ( )23 3 1 c o s 2 1( ) 3 s in s in c o s 3 s in 22 2 2 231 c o s 2 s in 2 s in 22 2 3xf x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 4 ，又 0? ， 所以 2 =424? ? 。 因此 1? 。 ( )由 ( )知 ( ) sin 23f x x? ? ?。 当 3 2x? 时， 5 823 3 3x? ? ? 。 所以 可以 得到 3 sin
12、2 123x? ? ? ?，因此 31 ( ) 2fx? ? ? 。 故 ()fx在区间 3, 2?上的最大值和最小值分别为 32 ， 1? 。 19.【 答案】 ( )取 PA 的中点 H ，连接 EH ， DH 。 因为 E 为 PB 的中点，所以 EH AB ， 12EH AB? 。 又 AB CD ， 12CD AB? ，所以 EH CD ， EHCD= 。 因此四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE DH 。又 DH? 平面 PAD ， CE? 平面 PAD ，因此 CE 平面 PAD 。 （ ） 证明：因为 E ， F 分别为 PB ， AB 的中点，所以 EF PA 。 又
13、AB PA? ，所以 AB EF? 。 同理可证 AB FG? 。 又 EF FG F? ， EF? 平面 EFG ， FG? 平面 EFG ，因此 AB? 平面 EFG 。 又 M ， N 分别为 PD ， PC 的中点，所以 MN CD 。 又 AB CD ， 所以 MN AB 。 因此 MN? 平面 EFG 。 又 MN? 平面 EMN ， 所以平面 EFG? 平面 EMN 。 【 ;百万教育资源文库 】 20.【 答案】 （ ） 21nan?= （ ） 233 2n nnT ?【解析】 ( )设等差数列 ?na 的首项为 1a ， 公差为 d ，由 424SS= ， 2 21nnaa=
14、+得： 114 6 8 42 1 2 2 1 1a d a da n d a n d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得 11a= ， 2d= 。 因此 21nan?= ， *n?N 。 （ ） 由已知 12 112n nnbbba a a? ? ? ? ?， *n?N ，当 1n ? 时， 1112ba? ；当 2n ? 时， 11 1 1112 2 2n n n nnba ? ? ? ? ?。所以 12n nnba ?， *n?N 。 由 ( )知 21nan?= ， *n?N ， 所以 212n nnb ?， *n?N 。 又231 3 5 2 12 2 2 2n
15、 nnT ? ? ? ? ?，2 3 11 1 3 2 3 2 12 2 2 2 2n nnnnT ? ? ? ? ?，两式相减得 2 3 1 1 11 1 2 2 2 2 1 3 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n nnnT ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 233 2n nnT ?。 21.【 答案】 ( )由 ? ? 2 + lnf x ax bx x?= ， (0, )? ? ，得 221() ax bxfx x? ? 。 （ ） 当 0a? ， 1() bxfx x? ? 。 若 0b? ，当 0x? 时， ( ) 0fx? ? 恒成立，所以
16、函数 ()fx的单调递减区间是 ( , )x? 。 若 0b? ， 当 10 x b? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx单调递减 。 当 1x b? 时， ( ) 0fx? ? ， 函数 ( ) 0fx? ? 单调递增 。 所以函数 ()fx的单调递减区间是 10,b?，单调递增区间是 1,b?。 （ ） 当 0a? 时，令 ( ) 0fx? ? ，得 2 10ax bx?+=。 由 2 80ba?=+ 得 21 84b b ax a? ? ?， 22 84b b ax a? ? ?。 显然， 1 0x? ， 2 0x? 。 当 20 xx? 时， ( ) 0fx? ? ，函数 (
17、)fx单调递减 。 当 2xx? ， ( ) 0fx? ? ，函数 ()fx单调递增 。 所以函数 ()fx的单调递减区间是 2 80,4b b aa? ? ?，单调递增区间是 2 8 ,4b b aa? ? ? ?。 综上所述，当 0a? ， 0b? 时，函数 ()fx的单调递减区间是 ? ?0,? ； 当 0a? ， 0b? 时，函数 ()fx的单调递减区间是 10,b?，单调递增区间是 1,b?； 当 0a? 时，函数 ()fx的单调递减区间是 2 80,4b b aa? ? ?，单调递增区间是 2 8 ,4b b aa? ? ? ?。 （ ） 由题意，函数 ()fx在 1x? 处取得最
18、小值，由 ( )知 2 84b b aa? ? ? 是 ()fx的唯一极小值点， 故 2 8 14b b aa? ? ? ?， 整理得 21ab? ， 即 12ba? 。 令 ? ? 2 4 lng x x x -+， 14() xgx x? ? ，令 g( ) 0x? ? ，得 14x? 。 【 ;百万教育资源文库 】 当 10 4x? 时， g( ) 0x? ? ， ()gx单调递增；当 14x? 时， g( ) 0x? ? ， ()gx单调递减 。 因此 11( ) 1 l n 1 l n 4 044g x g ? ? ? ? ? ?， 故 ( ) 0ga? ， 即 2 4 ln 2 ln 0a a b a? ? ? ? ?， 即 n 2ab? 。 22.【答案】 ( ) 222 1x y+= （ ） 2t? 或 233t? 【解析】 ( )设椭圆 C 的方程为 22=1xyab? ， ( 0)ab? 。 由题意知2 2 22222a b ccab? ?解得 2a? ， 1b? 。 因此椭圆 C 的方程为 222 1x y+=。 （ ） 当 A ， B 两点关于 x 轴对称时，设直线 AB 的方程为 xm? ，由题意 20m? ? ? 或 02m? 。 将 xm? 代入椭圆方程 222 1x y+=，得 22|2my ?。 所以 22
