1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 山东 卷） 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】由 ( 3)(2 i) 5z? ? ? ，得 5 ( 2 i) 3 5 i( 2 i)( 2 i)z ? ? ? ? ， 5iz?， 故选 D 【 提示 】 利用复数的运算法则求得 z，即可求得 z 的共轭复数 z 【 考点 】复数代数形式的四则运算 2.【答案】 C 【解析】当 0x? ， 0y? 时， 0xy?；当 0x? ， 1y? 时， 1xy? ? ；当 0x? ， 2y? 时， 2xy? ? ； 1x? ， 0y? 时， 1xy?；当
2、1x? ， 1y? 时， 0xy?；当 1x? ， 2y? 时， 1xy? ? ；当 2x? ， 0y?时， 2xy?，当 2x? ， 1y? 时， 1xy?；当 2x? ， 2y? 时， 0xy?根据集合中元素的互异性知，B中点的元素有 0 ， 1? ， 2? ， 1， 2 共 5 个 【 提示 】 依题意，可求得集合 2, 1,0,1,2B ? ，从而可得答案 【 考点 】集合的含义 3.【答案】 A 【解析】当 0x? 时， 2 1()f x x x?， (1) 2f?而 ()fx为奇函数， ( 1) (1) 2ff? ? ? ? ? ? 【 提示 】 利用奇函数的性质， ( 1) (1
3、)ff? ? ，即可求得答案 【 考点 】函数的奇偶性 4.【答案】 B 【解析】如图所示， P 为正三角形 1 1 1ABC 的中心，设 O 为 ABC 的中心，由题意知： PO ABC?平 面 ， 连接 OA，则 PAO? 即为 PA 与平面 ABC所成的角在正三角形 ABC中， 3AB BC AC? ? ?， 则 23 3 3( 3 )44S ? ? ?，1 1 194ABC A B CV S PO? ? ? ?3PO?又 3 313AO ? ? ?， tan 3POPAO AO? ? ?3PAO? ? 故选 B 【 ;百万教育资源文库 】 第 4 题图 【 提示 】给出几何体的相关性质
4、，求二面角的大小 【 考点 】二面角 ，棱 柱的体积 5.【答案】 B 【解析】 A 选项得到 sin2yx? 为奇函数； B 选项得到 cos2yx? 为偶函数 C 选项得到 sin 2 4yx?为非奇非偶函数 D 选项得到 sin2yx? 为奇函数故选 B 【 提示 】通过得到是偶函数求平移的距离 【 考点 】三角函数的平移问题 6.【答案】 C 【解析】画出如图可行域可知，由 2 1 03 8 0xyxy? ? ? ? ? ?， 得 (3, 1)C ? 当 M与 C重合时， OM的斜率最小， 13OMk ? 第 6 题图 【 提示 】 本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标
5、函数的最值，而是求可行域内的点与原点 (0,0) 构成的直线的斜率的最小值即可 【 考点 】二元线性规划求最值 7.【答案】 A 【解析】 p 是 q 的必要不充分条件，则 q 是 p 充分不必要条件 【 ;百万教育资源文库 】 【 提示 】 根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为 q是 p? 的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案 【 考点 】充分必要条件 8.【答案】 D 【解析】当 2x? 时， y=1，排除 C，当 2x? 时， 1y? ，排除 B，当 x? 时， 0y? ， 排除 A 故选D 【 提示 】 给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排
6、除 B，然后利用区特值排除 A 和 C，则答案可求 【 考点 】函数图象的判断 9.【答案】 A 【解析】设 (3,1),P 圆心 (1,0)C ，切点为 A， B，则 P， A， C， B四点共圆，且 PC为圆的直径， ?四边形 PABC的外接圆的方程为 22 15( 2 ) +24xy? ? ?，圆 C： 22( 1) 1xy? ? ? ，相减的 2 3 0xy? ? ? ，即为直线的方程 【 提示 】给出直线和圆的位置关系，求直线的方程 【 考点 】直线与圆的位置关系 10.【答案】 B 【解析】 9 位数一共可以组成 900 个数，其中无重复的三位数为 9 9 8 648? ? ? （
7、个）， ?有重复数字的三位数有 900 648=252? （个） 【 提示 】 求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可 【 考点 】排列组合的应用 11.【答案】 D 【解析】 双曲线 2:C 2 2 13x y?， ?又焦点为 (2,0)F ， 渐近线方程为 33yx?抛物线方程 1C：21 ( 0)2y x pp?， 焦点为 0 2pF?， 设 00( , )Mx y ， 则 20012yxp? 12kk? 201224opx ppx? ? ? 又 1yxp? ，0 0133xxyxp? ? ?， 联立解的 433p? 【 提示 】 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，
8、由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数21 ( 0)2y x pp?在 x取直线与抛物线交点 M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点【 ;百万教育资源文库 】 横坐标与 p的关系，把 M点的坐标代入直线方程即可求得 p的值 【 考点 】圆锥曲线的综合问题 12.【答案】 B 【解析】 223 4 ( 0 , 0 , 0 )x x xy y x y z? ? ? ? ? ?， 2211 143 4 4 33x y x y xyz x x y yyx? ? ? ? ? ? ?=， 当且仅当 4xyyx? 时 ， 即 2xy? 时等号成立， 此时 2 2 23 4 2z x x
9、y y y? ? ? ?， 222 1 2 2 1 2 1+ 1 122x y z y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ?， ?当 1y? 时， 2 1 1x y z?的最大值为 1 【 提示 】 依题意，当 xyz 取得最大值时 2xy? ，代入所求关系式 2 1 2x y z?，利用配方法即可求得其最大值 【 考点 】基本不等式最值 第 卷 二、填空题 13.【答案】 3 【解析】第一次运行： 1 1 2 3F ? ? ? ， 0 3 1 2F ? ? ? ， 1 1 2n? ? ? ，1113F ? ， 不满足要求，继续执行第二次运行： 1 2 3 5F ? ? ? ， 0 5
10、 2 3F ? ? ? ， 2 1 3n? ? ? ，1115F ? ， 满足条件结束运行，输出 3n? 【 提示 】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出 n的值 【 考点 】循环结构的程序框图 14.【答案】 13 【解析】 设 3 , 2| 1 | | 2 | 2 1 , 1 23 , 1xy x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?利用函数图象可知 | 1| | 2 | 1xx? ? ? ?的解集为 1,+)? 而【 ;百万教育资源文库 】 在 3,3? 上满足不等式的 x的取值范围为 1,3 ，故所求概率为 3 1
11、13 3 3? ? ? 【 提示 】 本题利用几何概型求概率先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间 3,3? 的长度求比值即得 【 考点 】解绝对值不等式、几何概型 15.【答案】 712 【 解 析 】 +AP AB AC? ， AP BC? ，又 BC AC AB?， ( ( ) ( + ) 0A C A B A C A B?. 22+0A C A B A C A B A C A B? ? ?，即 14 + 1 3 2 9 02() ? ? ? ? ? ? ? ?，即 7 12 0?， 712? 【 提示 】 利用 AB ， AC ，表示 BC 向量，通过数量积为 0，求出 的值即可
12、 【 考点 】平面向量的四则运算 16.【答案】 【解析】 解：对于 ，由定义，当 1a? 时， 1ba? ，故 ln ( ) ln ( ) lnbba a b a? ?，又 ln lnb a b a? ? ，故有ln ( ) lnba b a? ； 当 1a? 时， 1ba? ，故 ln ( ) 0ba? ? ，又 1a? 时 ln 0ba? ? ，所以此时亦有 ln ( ) lnbaba? 由上判断知 正确； 对于 ，此命题不成立，可令 2a? ， 13b? ，则 23ab? ，由定义 ln ( ) 0ab? ? ， ln +ln ln2ab? ，所以ln ( ) ln +lnab a b
13、? ? ? ；由此知 错误； 对于 ，当 0ab? 时， 1ab? ，此时 ll nn 0aabb? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，当 1ab?时， ln ln ln l nn la a b abb? ? ? ? ?，此时命题成立；当 1ab? 时， +ln ln lna b a?，此时 a ab? ，故命题成立；同理可验证当 10ab? ? ? 时，ln ln lnabab? ? ? ? 成立；当 1ab? 时，同理可验证是正确的，故 正确； 对于 ，可分 1a? ， 1b? 与两者中仅有一个小于等于 1、两者都大于 1 三类讨论，依据定义判断出 是正确的 故答案为 【 提示 】
14、由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 a， b分类讨论，判断出每个命题的真假 【 考点 】函数新定义 三 、 解答题 【 ;百万教育资源文库 】 17.【答案】 （ ） 3a? ， 3c? （ ） 10227 【解析】 （ ）由余弦定理 2 2 2+ 2 cosb a c ac B?，得 22( ) 2 (1 + c o s )b a c ac B? ? ? ，又 2b ? ， 6ac? ， 7cos 9B? ，所以 9ac? ，解得 3a? ， 3c? （步骤 1） （ ）在 ABC 中， 2 42s in 1 c o s
15、9BB? ? ?，由正弦定理得 sin 2 2sin3aBA b?， 因为 ac? ，所以 A 为锐角 所以 2 1cos 1 sin 3AA? ? ?，因此 1 0 2s i n ( ) s i n c o s c o s s i n27A B A B A B? ? ? ?（步骤 2） 【 提示 】 （ ）利用余弦定理列出关于新，将 b 与 cosB 的值代入，利用完全平方公式变形，求出 a， c， b的值，与 ac? 的值联立即可求出 a与 c的值即可； （ ）先由 cosB 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值，再由 a， b 及 sinB 的值，利用正弦定理求出 si
16、nA 的值，进而求出 cosA 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值 【 考点 】 正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦 18.【答案】 （ ）因为 D ， C ， E ， F 分别是 AQ ， BQ ， AP ， BP 的中点， 所以 EF AB ， DC AB ，所以 EF DC ， （步骤 1） 又 EF PCD?平 面 ， DC PCD?平 面 ， 所以 EF PCD 平 面 ， 又 EF EFQ?平 面 ， =E F Q P C D G H平 面 平 面 ，所以 EF GH ，（步骤 2） 又 EF AB ，所以 AB GH （步骤 3） （
17、 ）解法一：在 ABQ 中， 2AQ BD? ， AD DQ? 所以 =90ABQ?，即 AB BQ? ， 因为 PB ABQ?平 面 ，所以 AB PB? ，又 BP BQ B? ，所以 AB PBQ?平 面 由（ ）知 AB GH ，所以 GH PBQ?平 面 ， 又 FH PBQ?平 面 ，所以 GH FH? ， 同理可得 GH HC? ， 所以 FHC? 为二面角 D GH E?的平面角（步骤 4） 设 2BA BQ BP? ? ?，连接 FC ，在 Rt FBC 中，由勾股定理得 2FC? ，在 Rt PBC 中，由勾股定理得 5PC? 又 H 为 PBQ 的重心，所以 1533HC PC?，（步骤 5） 同理 53FH?在 FHC 中，由余弦定理得55 2499c o s5 529FHC? ? ? ?，即二面角 D GH E?的余弦值为 45? （步骤 6
