1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年普通高等学校招生全国统一考试 （福建卷） 数学试题（理工 农 医 类 ）答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 C 【解析】 因为 2(3 2 i)i= 3 i 2 i 2 3 iz ? ? ? ?，所以 2 3iz? .故选 C. 【提示】 直接由复数代数形式的乘法运算化简 z ，则其共轭可求 . 【考点】 复数代数形式的乘除运算 2.【答案】 A 【解析】 因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选 A. 【提示】 直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可 . 【考点】
2、三视图还原实物图 3.【答案】 C 【解析】 因为31 3 ( 3 1 ) 3 23 3 2 1 222S a d d? ? ? ? ? ? ? ?，所以 2d? ， 所以 61 ( 6 1 ) 2 5 2 1 2a a d? ? ? ? ? ? ?，故选 C. 【提示】 由等差数列的性质和已知可得 2a ，进而可得公差，可得 6a . 【考点】 等差数列的前 n项和 4.【答案】 B 【解析】 由图象可知 log 3 1a ? ，所以 3a? . A选项， 133xxy ? ?为指数函数，在 R 上单调递减，故 A不正确 . B选项， 3yx? 为幂函数，图象正确 . C选项， 33()y
3、x x? ? ? ，其图象和 B选项中 3yx? 的图象关于 x 轴对称，故 C不正确 . D选项， 3log ( )yx?，其图象与 logayx? 的图象关于 y 轴对称，故 D选项不正确 .综上，可知选 B. 【提示】 由题意可得 3a? ，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可 . 【考点】 对数函数的图像与性质 5.【答案】 B 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 该程序框图为循环结构，由 01Sn?， 得 10 2 1 3 1 1 2Sn? ? ? ? ? ?， ，判断 3 15S? 不成立，执行第二次循环， 23 2 2 9 2 1 3Sn? ? ? ? ? ?，判断 9
4、15S? 不成立，执行第三次循环，39 2 3 2 0 3 1 4Sn? ? ? ? ? ?，判断 20 15S?成立，输出 20S? .故选 B. 【提示】根据 程序框图将 01Sn?， 代入 执行第一次运算，不满足则 进行 第二次循环，以此类推，计算满足条件的 S值，可得答案 . 【考点】 带有循环结构的程序框图 6.【答案】 A 【解析】 由直线 l与圆 O相交，得圆心 O到直线 l的距离21 11d k?，解得 0k? . 当 1k? 时， 12d?， 22| | 2 2A B r d? ? ?，则 OAB 的面积为 11 22 122? ?； 当 1k? 时，同理可得 OAB 的面积
5、为 12 ，则 “ 1k? ” 是 “ OAB 的面积为 12 ” 的充分不必要条件 . 【提示】 根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论 . 【考点】 必要条件 、 充分条件与充要条件的判断 7.【答案】 D 【解析】 由题意，可得函数图象如下： 所以 ()fx不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为 1, )? .故选 D. 【提示】 由三角函数和二次函数的性质， 将 函数图像 画出 ，即可分别对各个选项判断 . 【考点】 函数的奇偶性，单调性，周期性，值域 8.【答案】 B 【解析】 根据 12ee? ? ?，选项 A： (3, 2) (0 0)
6、(1, 2)?, ，则 3 2 2?， ，无解，故选项 A不能 . 选项 B： (3, 2 ) ( 1, 2 ) (5 , 2 )? ? ? ?，则 3 5 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ?， ，解得， 21?， ，故选项 B能 . 选项 C： (3, 2 ) (3, 5 ) (6 ,1 0 )?，则 3 3 6 2 5 1 0? ? ? ? ? ? ?， ，无解，故选项 C不能 . 选项 D： (3, 2 ) ( 2 , 3 ) ( 2 , 3 )? ? ? ?，则 3 2 2 2 3 3? ? ? ? ? ? ? ?， ，无解，故选项 D不能 . 故选： B. 【提示】 根据向里的
7、坐标运算， 12ee? ? ?，计算判别即可 . 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【 ;百万教育资源文库 】 9.【答案】 D 【解析】 ： 设 Q（ x， y），则该点到圆心的距离 2 2 2 2 2 2 20 6 6 1 0 ( 1 ) 6 9 1 2 4 6d x y x y y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1,1y? ， 当 12 22 ( 9 3y ? ? ? ? ? ? 时， 2m a x 229 1 2 4 6 5 0 5 233d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8、 ? ?. 圆上点 P和椭圆上点 Q的距离的最大值为 m a x 5 2 2 6 2dr? ? ? ?.故选 D. 【提示】 求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出 P， Q两点间的最大距离 . 【考点】 椭圆的简单性质 ， 圆的标准方程 10.【答案】 A 【解析】 本题可分三步：第一步，可取 0， 1， 2， 3， 4， 5个红球，有 23451 a a a a a? ? 种取法；第二步，取 0或 5个 篮球 ，有 1 b5种取法；第三步，取 5个有区别的黑球，有 5(1 )c? 种取法 .所以共有 2 3 4 5 5 5( ) ( ) (1 1 1 )a a a a a b
9、c? ? ? ? ? ?种取法 .故选 A. 【提示】 根据 “ 1 a b ab? ? ? ” 表示出来，如： “ 1” 表示一个球都不取、 “ a ” 表示取出一个红球，而 “ ab ” 则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决 . 【考点】 归纳推理 ， 进行简单的合情推理 第 卷 二、填空题 11.【答案】 1 【解析】 由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示 . 由线性目标函数 3z x y?，得 3y x z? ? ，可知其过 )(0,1A 时 z取最小值，故 min 3 0 1 1z ? ? ? . 故答案为 1.
10、 【提示】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最小值 【考点】 简单线性规划 【 ;百万教育资源文库 】 12.【答案】 23 【解析】 由题意及余弦定理得 2 2 2 2 1 6 1 2 1c o s 2 2 4 2b c a cA b c c? ? ? ? ? ?，解得 2c? . 所以 1s i n 4 2 2s i n 62 30S b c A? ? ? ? ? ? ?.故答案为 23. 【提示】 利用三角形中的正弦定理求出角 B，再利用三角形的面积公式求出 ABC 的面积 【考点】 正弦定理 13.【答案】 160 【解析】 设池底长 mx ，宽 m
11、y ，则 4xy? ， 所以 4y x? ，则总造价为： 2 0 2 1 1 0 8 0 8 0 4( ) ( ) 2 0 8 0 (020 ,)x y x y xf x x xxx ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 所以 4( ) 2 0 2 8 0 1 6 0f x xx? ? ? ?，当且仅当 4x x? ，即 2x? 时，等号成立 . 所以最低总造价是 160元 . 【提示】 此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为 ab， ，成本为 y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求 . 【考点 】 棱柱 ， 棱锥 ， 棱台的侧面积
12、和表面积 14.【答案】22e【解析】 根据题意 exy? 与 lnyx? 互为反函数，图象关于 yx? 对称，所以两个阴影部分的面积相等 .联立ey? 与 exy? 得 1x? ，所以阴影部分的面积 1 1002 (e e ) 2 (e e ) | (2e ) ( )e 0 1 2xxS d x x? ? ? ? ? ? ，由几何概型可知所求概率为22e.故答案为22e. 【提示】 利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率 【考点】 几何概型 15.【答案】 6 【解析】 根据题意可分四种情况： （ 1）若 正确，则 1 1 2 4a b c d? ? ? ?， ， ，符
13、合条件的有序数组有 0个； （ 2）若 正确，则 1 1 2 4a b c d? ? ? ?， ， ，符合条件的有序数组为 (2,3,1,4) 和 (3,2,1,4) ； （ 3）若 正确，则 1 1 2 4a b c d? ? ? ?， ， ，符合条件的有序数组为 (3,1,2,4) ； （ 4）若 正确，则 1 1 2 4a b c d? ? ? ?， ， ，符合条件的有序数组为 (2,1,4,3) ， (4,1,3,2) ， (3,1,4,2) . 所以共有 6个 . 【 ;百万教育资源文库 】 故答案为 6. 【提示】 利用集合的相等关系，结合 1a? ； 1b? ； 2c? ； 4d
14、? 有且只有一个是正确的，即可得出结论 . 【考点】 集合的相等 三、解答题 16.【答案】 （ ） 1()2f ? ? （ ） ()fx的单调递增区间为 3 , 88kk?， k?Z 【解析】 （ ）因为 0 2?， 2sin2?，所以 2cos2?. 所以 2 2 2 1 1()2 2 2 2 2f ? ? ? ? ?（ ）因为 2 1( ) s in c o s c o s 2f x x x x? ? ? 1 1 c o s 2 1s in 22 2 2xx ? ? ? 11sin 2 cos222xx? 2 sin 2 24x?，所以 2 2T?. 由 2 22 2 4 2k x k?
15、 ? ? ? ?， k Z，得 3 88k x k? ? ? ?， k?Z . 所以 ()fx的单调递增区间为 3 , 88kk?， k?Z . 【提示】 （ ）利用同角三角函数关系求得 cos? 的值，分别代入函数解析式即可求得 ()fa的值 （ ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间 . 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 ， 三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（） 平面 ABD? 平面 BCD ，平面 ABD 平面 BCD BD? ， AB? 平面 ABD ， AB BD? ， AB? 平面 BCD . 又
16、 CD? 平面 BCD ， AB CD? . （） 过点 B在平面 BCD 内作 BE BD? ，如图 ： 【 ;百万教育资源文库 】 由（ ）知 AB? 平面 BCD ， BE? 平面 BCD ， BD? 平面 BCD AB BE AB BD?， . 以 B为坐标原点，分别以 BE ， BD ， BA 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 . 依题意，得 ( ) ( )0 , 0 , 0 1 , 1 , 0 0 , 1 , 0 0 , 0 , 1( ) ( )B C D A， ， ， 110, ,22M?， 则 ? ?1,1,0BC? ， 110, ,22BM ?，
17、 (0,1, 1)AD?. 设平面 MBC 的法向量 0 0 0( , , )n x y z? ，则 0,0,n BCn BM? ?， 即 00000,11022xyyz? ?取 0 1z? ，得平面 MBC的一个法向量 1, 1()1,n? 设直线 AD 与平面 MBC所成角为 ? ，则 | | 6s i n | c o s ,3| | |n A Dn A D n A D? ? ? ?，即直线 AD与平面 MBC 所成角的正弦值为 63. 【提示】（） 利用面面垂直的性质定理即可得出 . （） 建立如图所示的空间直角坐标系 .设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 ，利用线面角的计算公式|s in | c o s , | | |n A Dn A D n A D? ?即可得出 . 【考点】 直线与平面所成的角 ， 空间中直线与直线之间的位置关系 18.【答案】 （ ）设顾客所获的奖励额为 X . 依题意，得 111324CC 1( 6 0 ) C2PX ? ? ?，即顾客所获的奖励额为 60元的概率为 12
