1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （福建卷） 数学 (文史 类 )答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 C 【解析】本题考查的知识点是复数的几何意义 由几何意义可知复数在第三象限 2.【答案】 A 【解析】本题考查的知识点是逻辑中充要条件的判定 因为 (2,1) 点代入直线方程，符合方程，即 “ 2x? 且1y? ” 可推出 “ 点 P 在直线 : 1 0l x y? ? ? 上 ” ；而点 P 在直线上，不一定就是 (2,1) 点，即 “ 点 P 在直线: 1 0l x y? ? ? 上 ” 推不出 “ 2x? 且 1y? ” 故 “ 2x? 且
2、 1y? ” 是 “ 点 P 在直线 : 1 0l x y? ? ? 上 ” 的充分而不必要条件 3.【答案】 C 【解析】本题考查的是集合的交集和子集 因为 1,3AB? ，有 2 个元素，所以子集个数为 224? 个 4.【答案】 B 【解析】本题考查的是双曲线的性质 因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为 (1,0) ，取一条渐近线为 yx? ，所以点 (1,0) 到直线 yx? 的距离为 22 5.【答案】 A 【解析】本题考查的是对数函数的图象 由函数解析式可知 ( ) ( )f x f x?，即函数为偶函数，排除 C；由函数过 (0,0) 点，排除
3、B， D 6.【答案】 B 【解析】本题考查的简单线性规划 如图，可知目标函数最大值和最小值分别为 4 和 2. 7.【答案】 D 1 22Oxy【 ;百万教育资源文库 】 【解析】本题考查的是均值不等式 因为 1 2 2 2 2 2x y x y? ? ? ，即 222xy? ，所以 2xy? ? ，当且仅当22xy? ，即 xy? 时取等号 8.【答案】 B 【解析】本题考查的是程序框图 循环前： 12Sk?， ；第 1 次判断后循环： 33Sk?， ；第 2 次判断后循环： 74Sk?， ；第 3 次判断后循环： 15 5Sk?， 故 4n? 9.【答案】 B 【解析】本题考查的三角函数
4、的图像的平移把 30,2P?代入 ( ) s in ( 2 )22f x x ? ? ? ? ?，解得 3? ，所以 ( ) s in 2 23g x x ? ? ?，把 30,2P?代入得， k? 或 6k?，观察选项，故选 B 10.【答案】 C 【解析】本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长因为 1 ( 4 ) 2 2 0A C B D ? ? ? ? ? ?，所以 AC BC? ，所以四边形的面积为 2 2 2 21 2 ( 4 ) 2| | | | 522A C B D ? ? ?，故选 C 11.【答案】 C 【解析】本题考查的是线性回归方程画出散点图，可大致的画出两条直线（如下
5、图），由两条直线的相对位置关系可判断 ? ?b b a a?， 故选 C 12.【答案】 D 【解析】本题考查的是函数的极值函数的极值不是最值， A 错误；因为 ()fx?和 ()fx关于原点对称，故 0x? 是 ()fx?的极小值点， D 正确 二 、 填空题 13.【答案】 2? 【解析】本题考查的是分段函数求值 3 t a n ( 1 ) 2 ( 1 ) 244f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1234123 456Oxy【 ;百万教育资源文库 】 14.【答案】 13 【解析】本题考查的是几何概型求概率 3 1 0a? ，即 13a? ，
6、所以 13 113P? 15.【答案】 31? 【解析】本题考查的是圆锥曲线的离心率由题意可知， 12MFF? 中， 1 2 2 1 1 26 0 3 0 9 0M F F M F F F M F? ? ? ? ? ? ? ? ?， ，所以有2 2 2 21 2 1 21221( 2 )23M F M F F F cM F M F aM F M F? ? ? ?，整理得 e 3 1ca? ? ? ，故答案为 31? 16.【答案】 【解析】本题考查的函数的性质由题意可知 S 为函数的一个定义域， T 为其所对应的值域，且函数 ()y f x?为单调递增函数对于集合对 ，可取函数 ( ) 2 (
7、 )xf x x?N，是 “ 保序同构 ” ；对于集合对 ，可取函数97( 1 3)22y x x? ? ? ? ?，是 “ 保序同构 ” ；对于集合对 ，可取函数 ta n ( 0 1)2y x x? ? ? ?，是 “ 保序同构 ” 故答案为 三 、 解答题 17.【答案】 （ 1）因为数列 na 的公差 1d? ，且 131, ,aa 成等比数列，所以 2111 ( 2)aa? ? ? ，即 21120aa? ? ? ，解得 1 1a? 或 1 2a? （ 2）因为数列 na 的公差 1d? ，且 5 1 9S aa? ，所以 21 1 15 10 8a a a? ? ? ； 即 211
8、3 10 0aa? ? ? ，解得 152a? ? ? 18.【答案】 （ 1）在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CE AB? ，垂足为 E ，由已知得，四边形 ADCE 为矩形， 3AE CD?在 Rt BEC 中，由 5BC? ， 4CE? ，依勾股定理得： 3BE? ， 从而 6AB? 又由 PD? 平面 ABCD 得， PD AD? 从而在 Rt PDA 中，由 4AD? ， 60PAD? ? ? ，得 43PD? 【 ;百万教育资源文库 】 正视图如图所示： （ 2）取 PB 中点 N ，连结 MN ， CN 在 PAB 中， M 是 PA 中点， MN AB ， 1 32MN A
9、B?， 又 CD AB ， 3CD? MN CD ， MN CD? 四边形 MNCD 为平行四边形， DM CN 又 DM? 平面 PBC ， CN? 平面 PBC DM 平面 PBC （ 3） 13D P B C P D B C D B CV V S P D? 又 6PBCs ? ， 43PD? ，所以 83D PBCV ? ? 19.【答案】 （ ）由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名， 25 周岁以下组工人 40 名 所以，样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有 60 0.05 3?（人）， 记为 1A ， 2A ， 3A ； 25 周岁以下组
10、工人有 40 0.05 2?（人），记为 1B ， 2B 从中随机抽取 2 名工人，所有可能的结果共有 10 种， 他们是： 12( , )AA ， 13( , )AA ， 23( , )AA ， 11( , )AB ， 12( , )AB ， 21( , )AB ， 22( , )AB ， 31( , )AB ， 32( , )AB ， 12( , )BB 其中，至少有名 “ 25 周岁以下组 ” 工人的可能结果共有 7 种， 它们是： 11( , )AB ， 12( , )AB ， 21( , )AB ， 22( , )AB ， 31( , )AB ， 32( , )AB ， 12( ,
11、)BB 故所求的概率： 710P? （ ）由频率分布直方图可知，在抽取的 100名工人中， “ 25 周岁以上组 ” 中的生产能手 60 0.25 15?（人） ，“ 25 周岁以下组 ” 中的生产能手 40 0.375 15?（人），据此可得 22? 列联表如下： 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 【 ;百万教育资源文库 】 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以得： 222 ( ) 1 0 0 ( 1 5 2 5 1 5 4 5 ) 2 5 1 . 7 9( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 4 0 3 0 7 0 1 4n a
12、d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为 1.79 2.706? ，所以没有 90% 的把握认为 “ 生产能手与工人所在的年龄组有关 ” 20.【答案】 （ ）抛物线 2 4yx? 的准线 l 的方程为 1x? ，由点 C 的纵坐标为 2 ，得点 C 的坐标为 (1,2) 所以点 C 到准线 l 的距离 2d? ，又 | | 5CO? 所以 22| | 2 | | 2 5 4 2M N C O d? ? ? ? ? （ ）设 200,4yCy?，则圆 C 的方程为 224220000()4 1 6yyx y y y? ? ? ?
13、?，即 200202yx x y y y? ? ? ? 由 1x? ，得 22 002 1 02yy y y? ? ? ?设 1( 1, )My? ， 2( 1, )Ny? ，则：22200020124 4 1 2 4 0212yyyyyy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由 2| | | | | |AF AM AN? ，得 12| | 4yy? 所以 20 142y ? ，解得 0 6y ? ，此时 0? 所以圆心 C 的坐标为 3,62?或 3,62?从而 2 33|4CO? ， 33|2CO?，即圆 C 的半径为 33221.【答案】 （ ）在 OMP? 中， 45OPM? ?
14、? ， 5OM? ， 22OP? ，由余弦定理得， 2 2 2 2 c o s 4 5O M O P M P O P M P? ? ? ? ? ? ?，得 2 4 3 0MP MP? ? ?，解得 1MP? 或 3MP? （ ）设 POM ?， 0 60? ? ? ，在 OMP 中，由正弦定理，得 s in s inO M O PO PM O M P?，所以? ?sin 45sin 45OPOM ? ?，同理 ? ?sin 45sin 75OPON ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 故 1 s i n2O M NS O M O N M O N? ? ? ? ? ? ? ? ?221 s in
15、 4 54 s in 4 5 s in 7 5OP ? ? ? ? ? ? ? ? ?1s in 4 5 s in 4 5 3 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 1221s i n 4 5 s i n 4 5 c o s 4 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23 122 1s i n ( 4 5 ) s i n ( 4 5 ) c o s ( 4 5 )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 14411 c o s ( 9 0 2 ) s i n ( 9 0 2 )? ? ? ? ? ? ?33 14 4 41s in 2 c o s 2? ?3 142 1si
16、n (2 3 0 )? ? ? ?因为 0 60? ? ? ， 30 2 30 150? ? ? ?，所以当 30?时， sin(2 30 )?的最大值为 1，此时 OMN? 的面积取到最小值即 2 30POM? ? ? 时， OMN? 的面积的最小值为 8 4 3? 22.【答案】 （ 1）由 ( ) 1 exaf x x? ? ?，得 ( ) 1 exafx? ? 又曲线 ()y f x? 在点 ? ?1, (1)f 处的切线平行于 x 轴，得 (1) 0f? ? ，即 10ea?，解得 ea? （ 2） ( ) 1 exafx? ?， 当 0a? 时， ( ) 0fx? ? ， ()fx
17、为 ( , )? 上的增函数，所以函数 ()fx无极值 当 0a? 时，令 ( ) 0fx? ? ，得 ex a? ， lnxa? ( ,ln )xa? ? ， ( ) 0fx? ? ； (ln , )xa? ? ， ( ) 0fx? ? 所以 ?fx在 ( ,ln )a? 上单调递减，在 (ln , )a? 上单调递增，故 ()fx在 lnxa? 处取得极小值，且极小值为 (ln ) lnf a a? ，无极大值 综上，当 0a? 时，函数 ()fx无极小值； 当 0a? ， ()fx在 lnxa? 处取得极小值 lna ，无极大值 （ 3）当 1a? 时， 1( ) 1 exf x x?
18、? ?令 1( ) ( ) ( 1 ) (1 ) exg x f x k x k x? ? ? ? ? ?， 则直线 l ： 1y kx?与曲线 ()y f x? 没有公共点，等价于方程 ( ) 0gx? 在 R 上没有实数解 假设 1k? ，此时 (0) 1 0g ? ，1 111101 kg k e ? ? ? ?，又函数 ()gx的图象连续不断，由零点存在定理，【 ;百万教育资源文库 】 可知 ( ) 0gx? 在 R 上至少有一解，与 “ 方程 ( ) 0gx? 在 R 上没有实数解 ” 矛盾，故 1k? 又 1k? 时， 1( ) 0exgx?，知方程 ( ) 0gx? 在 R 上没有实数解 所以 k 的最大值为 1
