1、第 1 页（共 20 页） 2022 年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 |84 Ax yx， |(35)(27) 0Bxxx，则(AB ) A 5 3，2 B(， 5 3 C2， 7 2 D 5 3 ，2 2 （5 分）已知i为虚数单位，a、bR，zai， z i zb ，则( a b ) A1 B1 C 1 2 D2 3 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p上三点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3
2、(C x， 3) y到其焦点 的距离之和为 8，且 123 6xxx，则(p ) A 2 3 B1 C 4 3 D 8 3 4 （5 分） n a为等比数列，若 1 a， 3 a， 5 a成等差数列，则 35 13 ( aa aa ) A1 B2 C4 D8 5 （5 分） 聊斋志异中有这样一首诗： “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无 所阻，额上坟起终不悟 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 1515 ， 55 55 2424 则按照以上规律，若 88 88 nn 具有“穿墙术” ，则(n ) A7 B35 C4
3、8 D63 6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥的 体积为( ) A2 B3 C4 D6 第 2 页（共 20 页） 7 （5 分）若函数( )sin2cos()sin (0)f xxx在区间，3 2 上为增函数，则 的取值范围是( ) A(0， 4 B(0， 2 C 4 ， 2 D 4 ，) 8 （5 分）已知函数( )f x满足(2)(4)fxf x且当3x时， 2 ( )65f xxx，则f（1） ( ) A0 B1 C2 D3 9 （5 分）已知函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为220 xy，则f（1）f （1）( ) A
4、 3 2 B1 C 1 2 D0 10 （5 分）如图所示，A，B，C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过 原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且| |BFCF，则该双曲线的离心率是( ) A 10 2 B10 C 3 2 D3 11 （5 分）某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、 乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测： 甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上； 丙说：丁竞选成功； 丁说：丙竞选成功 若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 12 （5 分）在四
5、面体PABC中，PAPB，3PAPB，2 3AC ，6BC ，则该四面 体外接球的表面积为( ) 第 3 页（共 20 页） A12 B14 C16 D18 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知x，y满足约束条件 21 0 21 0 5 0 xy yx xy ，则 2 1 y z x 的最大值是 14 （5 分）数组 2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6 的中位数为 15 （5 分）已知实数x，y满足 0 0 1 34 x y xy ，则 45 22 xy x 的取值范围是 16（5 分） 设等差数列 n
6、a满足 1 3a ， 4 24S ， 1 1 n nn b a a ， 则数列 n b的前n项和为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2 2c ， sinsin 2cos AB C ab （1）求sinC的值； （2）若ABC的面积为2，求ab的值 18 （12 分）某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究， 记录了 2020 年 6 月份到 10 月份的广告费与纯利润，得到如下资料表： 月份 6 7 8 9 10 广告费u（万元） 10
7、 11 13 12 9 纯利润v（万元） 23 25 30 26 16 （1）根据 6 至 10 月份的数据，求出v关于u的线性回归方程； （2）该公司销售部门打算 11 月份对该地区投入广告费 15 万元，但公司决策部门规定，当 纯利润预测不低于 35 万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售 部门对该地区是否继续投入广告 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，90DAB，/ /ADBC， 第 4 页（共 2
8、0 页） AD 侧面PAB，PAB是等边三角形，2ADAB，E是线段AB的中点 （）求证：PE 平面ABCD； （）求三棱锥EPAD的体积 20（12分） 已知直线:1l xmy过椭圆 22 2 :1 3 xy C a 的右焦点F， 且直线l交椭圆C于A， B两点，点A，F，B在直线:4lx上的射影依次为点D，K，E （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交y轴于点M，且 12 ,MAAF MBBF，当m变化时，探究 12 的值是 否为定值？若是，求出 12 的值；否则，说明理由； （3）连接AE，BD，试探究当m变化时，直线AE与BD是否相交于顶点？若是，请求出 定点的坐标，并给予证明；否则
9、，说明理由 21 （12 分）已知函数( )2f xlnxax （1）求( )f x的极值； （2）当1x时，( ) a f x x ，求a的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） 以 坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()2 2 4 （1）求曲线C和直线l的直角坐标方程； （2）若点P为直线l上一动点，直线l与曲线C相交于A，B两点，且| | 16PAPB，求 点P的直角坐标 五
10、解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 第 5 页（共 20 页） 23已知函数( ) |1|2 |f xxxa （1）若1a ，解不等式( )4f x ； （2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 2 24( )mmf x，求实数a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2022 年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（年（全国卷）老高考文科数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若集合 |84 Ax yx， |(35)(27) 0Bxxx，则(AB ) A 5 3
11、，2 B(， 5 3 C2， 7 2 D 5 3 ，2 【解答】解： |840 |2Axxx x厔， 57 | 32 Bxx 剟， 5 ,2 3 AB 故选：D 2 （5 分）已知i为虚数单位，a、bR，zai， z i zb ，则( a b ) A1 B1 C 1 2 D2 【解答】解：由zai， z i zb ，得 ai i abi ， 1()aiab i ， 则 1 1 a ab ，即1a ，2b 1 1 2 2 a b 故选：C 3 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p上三点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y到其焦点 的距离之和为
12、 8，且 123 6xxx，则(p ) A 2 3 B1 C 4 3 D 8 3 【解答】解：抛物线 2 2(0)ypx p上三点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 3 (C x， 3) y到其焦点 的距离之和为 8， 且 123 6xxx， 由抛物线的定义可知： 123 8 222 ppp xxx，解得 4 3 p 故选：C 4 （5 分） n a为等比数列，若 1 a， 3 a， 5 a成等差数列，则 35 13 ( aa aa ) 第 7 页（共 20 页） A1 B2 C4 D8 【解答】解：设等比数列 n a的公比为q， 因为 1 a， 3 a， 5 a成等差数
13、列， 所以 315 2aaa，即 24 111 2aqaaq， 即 42 210qq ，解得 2 1q ， 所以 2 23513 1313 () 1 aaaa q q aaaa 故选：A 5 （5 分） 聊斋志异中有这样一首诗： “挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无 所阻，额上坟起终不悟 ”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术” ： 22 22 33 ， 33 33 88 ， 44 44 1515 ， 55 55 2424 则按照以上规律，若 88 88 nn 具有“穿墙术” ，则(n ) A7 B35 C48 D63 【解答】解 22 2222 2222 321321 ， 2
14、333 333 8318 ， 2 444 444 154115 ， 2 555 555 245124 则按照以上规律 88 88 nn ，可得 2 8163n ， 故选：D 6 （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 1，那么该三棱锥的 体积为( ) A2 B3 C4 D6 【解答】解：由题意扩展几何体的直观图如图： 第 8 页（共 20 页） 是长方体的一部分，是三棱锥， A，C分别在所在棱的 3 等分点， 三棱锥的体积为 11 3222 32 V 故选：A 7 （5 分）若函数( )sin2cos()sin (0)f xxx在区间，3 2 上为增函数，则 的取值范围
15、是( ) A(0， 4 B(0， 2 C 4 ， 2 D 4 ，) 【解答】解：( )sin2cos()sinf xxx sin2cos cos sin2sin sinsinxxx 2 sin2 cos(1 2sin)sinxx sin2 coscos2 sinxx sin(2 )x， 因为函数( )f x在区间， 3 2 上为增函数， 由正弦函数的图象和性质可得 3 2 2 35 2 22 0 ， 解得 42 剟，即的取值范围是 4 ， 2 故选：C 8 （5 分）已知函数( )f x满足(2)(4)fxf x且当3x时， 2 ( )65f xxx，则f（1） 第 9 页（共 20 页） (
16、 ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：根据题意，函数( )f x满足(2)(4)fxf x， 令1x 可得：f（1）f（5） ， 又由当3x时， 2 ( )65f xxx，则f（5）0， 则f（1）0， 故选：A 9 （5 分）已知函数( )f x在点(1，f（1）)处的切线方程为220 xy，则f（1）f （1）( ) A 3 2 B1 C 1 2 D0 【解答】解：因为切点(1，f（1）)在切线220 xy上， 12f （1）20 ，得f（1） 1 2 ， 又切线斜率为 1 2 ， 1 (1) 2 f 11 (1)(1)0 22 ff 故选：D 10 （5 分）如图所示，A，B，C是双
17、曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过 原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且| |BFCF，则该双曲线的离心率是( ) A 10 2 B10 C 3 2 D3 【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中， OF为斜边AB上的中线，即有| 2| 2| 2ABOAOFc， 设( , )A m n，则 222 mnc， 第 10 页（共 20 页） 又 22 22 1 mn ab ， 解得 22 a cb m c ， 2 b n c ， 即有 22 (a c b A c ， 2 ) b c ， 22 ( a cb B c ， 2 ) b c ， 又( ,0)F c，
18、 由于BFAC且| |BFCF， 可设( , )C x y，即有 2 222 1 yb xc ca cb ， 又 222 2222 ()()() a cbb cxcy cc ， 可得 22 bc x c ， 222 a cbc y c ， 将 22 (b c C c ， 222 ) a cbc c 代入双曲线方程，可得 2222222 2222 ()() 1 bca cbc c ac b ， 化简可得 22223 ()cbbaa， 由 222 bca， c e a ， 可得 222 (21)(2)1ee， 对照选项，代入检验可得 10 2 e 成立 另解：设双曲线的另一个焦点为E， 令| |
19、|BFCFAEm，|AFn， 由双曲线的定义有，| | 2CECFAEAFa， 在直角三角形EAC中， 222 ()(2 )mmnma， 代入2amn，化简可得3mn， 又2mna得na，3ma， 第 11 页（共 20 页） 在直角三角形EAF中， 222 (2 )mnc， 即为 222 94aac，可得 10 2 c e a 故选：A 11 （5 分）某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，甲、 乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测： 甲说：丙或丁竞选成功； 乙说：甲和丁均未竞选上； 丙说：丁竞选成功； 丁说：丙竞选成功 若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则成功
20、竞选学生会主席职位的是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件； 若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件； 若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件； 若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件， 所以被选派参加志愿者服务的是丁， 故选：D 12 （5 分）在四面体PABC中，PAPB，3PAPB，2 3AC ，6BC ，则该四面 体外接球的表面积为( ) A12 B14 C16 D18 【解答】解：由PAPB，3PAPB，可知3 2AB 因为2 3AC ，6BC ，所以 222 ABACBC，即ACBC 第 12 页（共 20 页
21、） 设AB的中点为O，则 3 2 2 OAOBOCOP， 即四面体的外接球半径为 3 2 2 ，外接球表面积为18 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知x，y满足约束条件 21 0 21 0 5 0 xy yx xy ，则 2 1 y z x 的最大值是 5 3 【解答】 解： 由题意， 约束条件的可行域如图阴影部分，(1A，1) (3B，2)，(2,3)C， 2 1 y z x 的几何意义是可行域内的点与( 1, 2) 点连线的斜率， 所以z取得最大值，只需斜率取得最大值， 由图形可知PC连线的斜率取得最
22、大值为 325 213 故答案为： 5 3 14 （5 分）数组 2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6 的中位数为 3.0 【解答】解：该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8； 所以这组数据的中位数为 1 (2.93.1)3.0 2 故答案为：3.0 第 13 页（共 20 页） 15 （5 分）已知实数x，y满足 0 0 1 34 x y xy ，则 45 22 xy x 的取值范围是 1， 21 2 【解答】解：不等式组所表示的可行域如图阴影部分， 45114411 2 222121 xyxyy xxx ， 而 1 1 y x 表示可行域内的动点
23、与点( 1, 1) 所确定直线的斜率， 且 101 134 minPB kk， 14 5 10 maxPA kk 1 1 y x 的取值范围是 1 ,5 4 ， 得 45 22 xy x 的取值范围是1， 21 2 故答案为：1， 21 2 16 （5 分）设等差数列 n a满足 1 3a ， 4 24S ， 1 1 n nn b a a ，则数列 n b的前n项和为 11 646n 【解答】解：等差数列 n a满足 1 3a ， 4 43 2412 2 Sd ，解得2d ， 所以32(1)21 n ann， 1 11111 () (21)(23)2 2123 n nn b a annnn ，
24、 数列 n b的前n项和为： 1 11111111111 () 2 355721232323646nnnn ， 故答案为： 11 646n 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2 2c ， 第 14 页（共 20 页） sinsin 2cos AB C ab （1）求sinC的值； （2）若ABC的面积为2，求ab的值 【解答】解： （1）由 sinsin 2cos AB C ab ，结合正弦定理得 2sin 2cos C C c ， 因为2 2c ，代入整理即得t
25、an2 2C ，可得 sin cos 2 2 C C ， 所以 2 2222 sin9 sincossin()1 82 2 Csin C CCC，可得 2 8 sin 9 C ， 又C为三角形内角，sin0C ，解得 2 2 sin 3 C （2）由 112 2 sin2 223 SabCab，得3ab 由 2 2 sin 3 C ，由题设得： 1 cos 3 C ， 由余弦定理知 22222 81 cos 263 abcab C ab ，即 22 10ab， 可得 2 ()210abab， 所以4ab 18 （12 分）某公司销售部门对某产品在某地区的广告投入与纯利润之间的关系进行研究， 记
26、录了 2020 年 6 月份到 10 月份的广告费与纯利润，得到如下资料表： 月份 6 7 8 9 10 广告费u（万元） 10 11 13 12 9 纯利润v（万元） 23 25 30 26 16 （1）根据 6 至 10 月份的数据，求出v关于u的线性回归方程； （2）该公司销售部门打算 11 月份对该地区投入广告费 15 万元，但公司决策部门规定，当 纯利润预测不低于 35 万元时才能对该地区继续投人广告，否则终止投入广告，试判断销售 部门对该地区是否继续投入广告 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ，
27、 a ybx 【解答】解： （1）由表中数据可得 1 (1011 13129)11 5 u ， 第 15 页（共 20 页） 1 (2325302616)24 5 v ， 5 1 52 22 1 5 13515 11 24 3.1 6155 11 5 ii i i i u vuv b uu ， 243.1 1110.1avbu ， 故v关于u的线性回归方程为3.110.1vu （2）当15u 时，3.1 1510.136.435v ， 所以该公司销售部门将对该地区继续投入广告 19 （12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，90DAB，/ /ADBC， AD 侧面PAB，PA
28、B是等边三角形，2ADAB，E是线段AB的中点 （）求证：PE 平面ABCD； （）求三棱锥EPAD的体积 【解答】 （）证明：AD 侧面PAB，PE 平面PAB，ADPE， PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，PEAB， 又ADABA，AD 平面ABCD，AB平面ABCD， PE平面ABCD（6 分） （）解：AD 侧面PAB， AD是三棱锥DPAE的高， PAB是等边三角形，2ADAB， 3PE ， 1113 132 3323 E PADD PAEPAE VVSAD （12 分） 第 16 页（共 20 页） 20（12分） 已知直线:1l xmy过椭圆 22 2 :1 3 xy C
29、a 的右焦点F， 且直线l交椭圆C于A， B两点，点A，F，B在直线:4lx上的射影依次为点D，K，E （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交y轴于点M，且 12 ,MAAF MBBF，当m变化时，探究 12 的值是 否为定值？若是，求出 12 的值；否则，说明理由； （3）连接AE，BD，试探究当m变化时，直线AE与BD是否相交于顶点？若是，请求出 定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由 【解答】解： （1）易知椭圆的右焦点为(1,0)F， 所以1c ， 抛物线 2 4 3x 的焦点坐标为(0, 3)， 所以3b ， 222 3 14abc ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （
30、2）易知，0m ，且l与y轴的交点为 1 (0,)M m ， 设直线l交椭圆于 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 22 1 1 43 xmy xy ，得 22 (34)690mymy， 所以 222 (6 )36(34)144(1)0mmm， 所以 12 2 6 31 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 又由 1 MAAF， 第 17 页（共 20 页） 所以 1 (x， 111 1 )(1yx m ， 1) y， 所以 1 1 1 1 my ，同理 2 2 1 1 my ， 所以 12 12 111 2() m yy ， 因为 2 12 2 121
31、2 116342 () 3493 yymmm yyy ym ， 所以 12 12 111128 2()2 33 m m yym ， 所以 12 的值为 8 3 （3）由（2）知 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 所以 1 (4,)Dy， 2 (4,)Ey， 所以直线AE方程为： 21 2 1 (4) 4 yy yyx x ， 当 5 2 x 时， 211221 2 11 2(4)3()3 () 422(4) yyx yyy yy xx 12212112 11 2(41)3()3()2 2(4)2(4) myyyyyymy y xx 22 1 69 32 3434 0 2(4
32、) m m mm x ， 所以点 5 ( 2 N，0)在直线AE上， 同理可证，点 5 ( 2 N，0)也在直线BD上， 所以m变化时，直线AE与直线BD相交于定点 5 ( 2 ，0) 21 （12 分）已知函数( )2f xlnxax （1）求( )f x的极值； （2）当1x时，( ) a f x x ，求a的取值范围 【解答】解： （1） 2 ( )fxa x (0)x 0a时，( ) 0fx，此时函数( )f x在(0,)上单调递增，此时，函数( )f x无极值 0a 时， 2 () ( ) a x a fx x ， 可得 2 x a 时，函数( )f x取得极大值，为 22 ( )2
33、2fln aa ，无极小值 第 18 页（共 20 页） （2）当1x 时，( )2 1 a f xlnxaxaa ，恒成立 当1x 时，( ) a f x x ，化为： 2 21 axlnx x ， 令 2 ( ) 1 xlnx g x x ，1x 2222 2222 (1)(1)21 ( ) (1)(1) lnx xx lnxx lnxlnxx g x xx 令 22 ( )1u xx lnxlnxx，1x u（1）0 22 121 ( )22 x lnxx u xxlnxx xx 令 22 ( )21v xx lnxx，v（1）0 ( )420v xxlnxx 函数( )v x在(1,)
34、上单调递减，( )v xv（1）0，即( )0u x 函数( )u x在(1,)上单调递减，( )u xu（1）0，即( )0g x 函数( )g x在(1,)上单调递减，1x 时， 11 ( ) 22 lnx g x x 1 ( ) 2 g x 1 22 a ，解得1a 综上可得：1a 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） 以 坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 sin()2 2 4 （1）求曲
35、线C和直线l的直角坐标方程； （2）若点P为直线l上一动点，直线l与曲线C相交于A，B两点，且| | 16PAPB，求 点P的直角坐标 【解答】解： （1）由题意知， 曲线C的直角坐标方程为 2222 (2)4sin4cos4xy， 第 19 页（共 20 页） 22 sincos2 2 22 ， l的直角坐标方程为40 xy； （2）设点( ,4)P aa，直线l上任意一点( , )x y满足： 2 2 ( 2 4 2 xta t yta 是参数） ， 曲线C的普通方程为： 22 (2)4xy， 代入曲线 22 (2)4xy， 得 22 2 2212160ttaa， 由 2 12 | | |
36、 2121616PAPBt taa， 解得0a 或 6，即点P的坐标为(0,4)或(6, 2) 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数( ) |1|2 |f xxxa （1）若1a ，解不等式( )4f x ； （2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 2 24( )mmf x，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 21,2 ( ) |1|2|3, 12 21,1 xx f xxxx xx 剟 ( )4f x ， 2 214 x x 或 12 34 x 剟 或 1 214 x x ， 5 2 2 x或12x 剟或 3 1 2 x ， 35 22 x， 不等式的解集为 35 | 22 xx （2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得 2 24( )mmf x， 2 24mm的取值范围是( )f x值域的子集 ( ) |1|2 |21|f xxxaa，( )f x的值域为|21|a ，)， 又 22 24(1)3 3mmm ，|21|3a， 第 20 页（共 20 页） 21a 剟， 实数a的取值范围为 2，1
