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1、第 1 页（共 16 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（4）一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 22 |230Ax xaxa， 2 |30Bx xx，若AB，则实数a的取值范围为( ) A0 B 1，3 C(，0)(3，) D(，1)(3，) 2 （5 分）i是虚数单位，在复平面内复数 2 3 3 i i 对应的点的坐标为( ) A 3 3 ( 2 ， 1) 2 B 3 3 ( 2 ， 3) 2 C 3 ( 2 ， 1) 2 D 3 ( 2 ， 3) 2 3 （5 分）设a，b为正实

2、数，则“ 11 1 ab ”是“4ab ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4（5 分）设函数 2 ( )f xalnxbx，若函数( )f x的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为yx，则函数( )yf x的增区间为( ) A(0,1) B 2 (0,) 2 C 2 ( 2 ，) D 2 ( 2 ，1) 5 （5 分）用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为( ) A 3 3 4 5 B 4 3 4 5 C 3 4 4 5 D 4 4 4 5 6（5

3、分）如果在一次实验中，测得( , )x y的四组数值分别是(1,2.2)，(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，则y对x的线性回归方程是( ) A0.154.05yx B1.45yx C1.051.15yx D1.151.05yx 7 （5 分）若 728 0128 (1)(1 2 )xxaa xa xa x，则 0127 aaaa的值是( ) A1 B2 C126 D130 第 2 页（共 16 页） 8 （5 分）函数( )sin(2)f xAxxbk，0A ，0，k，bR，则函数( )f x在区间(, ) 上的零点最多有( ) A4 个 B5 个 C6 个 D7 个

4、二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列关于平面向量的说法中，正确的有( ) A已知a，b均为非零向量，则/ /ab存在唯一的实数，使得ba B若向量,AB CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 C若点G为ABC的重心，则0GAGBGC D若a cb c且0c ，则ab 10 （5 分）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布(110,81)N，其中 90 分为及格线，则下列结论中正确的有附：随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则(22 )0.9545(P ) A该校学生成绩的期望为 110 B该校学生成

5、绩的标准差为 9 C该校学生成绩的标准差为 81 D该校学生成绩及格率超过95% 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 n a称为“斐波那契数列” ，记 n S为数列 n a的前n项和，则下列结论中正确的有( ) A 8 21a B 7 32S C 135212nn aaaaa D 222 122021 2022 2021 aaa a a 12 （5 分）已知函数 1 ( ) 21 x f xa ，则( ) A对于任意实数a，( )f x在(,0)上

6、均单调递减 B存在实数a，使函数( )f x为奇函数第 3 页（共 16 页） C对任意实数a，函数( )f x在(0,)上函数值均大于 0 D存在实数a，使得关于x的不等式( )1f x 的解集为(0,2) 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 500 3 的球面上，圆柱底面直径为 8，则该圆柱的表面积为 14 （5 分）函数tan(2) 3 yx ，() 122 xZ k k的最小正周期为 15 （5 分）已知椭圆 22 1: 1 1 xy C mm 的右焦点F也是抛物线 2 2

7、: Cynx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为 5 3 ，则实数n ，椭圆 1 C的离心率e 16 （5 分）设偶函数( )f x在(,0)上为增函数，且f（3）0，则不等式( )0 x f x 的解集为四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）设等比数列 n a的公比为(1)q q ，前n项和为 n S （1）若 1 1a ， 63 9 8 SS，求 3 a的值；（2）若1q ， 21 5 2 mmm aaa ，且 2 9 mm SS， * mN，求m的值 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cosc

8、oscAaCa （1）求 a b 的值；（2）若1a ，3c ，求ABC的面积 19 （12 分）复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取 12 名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65， 78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于 80 的为优良（）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全

9、体高二学生中任选 3 人进行体质健康测试，求至少有 1 人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期望第 4 页（共 16 页） 20（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，PAPD，PAPD，2AD ， ACCD （1）求证：PD 平面PAB；（2）若直线PA与平面PDC所成的线面角的正弦值 2 6 5 ，为求CD长 21 （12 分）已知函数( )f xlnx （）试判断函数( )( ) a g xf x x 的单调性；（）若函数 1 ( )( )( )(0)h xfxf xax a 在(0

10、,)上有且仅有一个零点， ( ) i求证：此零点是( )h x的极值点；（）求证： 3 2 2 1 3 eae （本题可能会用到的数据：1.65e ， 3 2 4.48e ，20.7ln ，31.1)ln 22 （12 分）已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为2 3，焦距为2 5 （1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线 3 :1 3 l yx与双曲线C交于A，B两点，求弦长|AB 第 5 页（共 16 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5

12、 3 3 i i 对应的点的坐标为( ) A 3 3 ( 2 ， 1) 2 B 3 3 ( 2 ， 3) 2 C 3 ( 2 ， 1) 2 D 3 ( 2 ， 3) 2 【解答】解： 22( 3) 33 3( 3)( 3) i ii iii 22 2( 3)33 31 33 2222( 3)1 ii iii ，在复平面内复数 2 3 3 i i 对应的点的坐标为 3 3 ( 2 ， 1) 2 故选：A 3 （5 分）设a，b为正实数，则“ 11 1 ab ”是“4ab ”的( ) 第 6 页（共 16 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】

13、解：取4a ， 1 2 b ，满足 11 1 ab ，但 1 44 2 ab；反之，若4ab ，则 2 4ab ab剟，得4ab， 11 4ab 1111 221 4abab 厖； “ 11 1 ab ”是“4ab ”的必要不充分条件故选：B 4（5 分）设函数 2 ( )f xalnxbx，若函数( )f x的图象在点(1，f（1）)处的切线方程为yx，则函数( )yf x的增区间为( ) A(0,1) B 2 (0,) 2 C 2 ( 2 ，) D 2 ( 2 ，1) 【解答】解：由 2 ( )f xalnxbx，得( )2 a fxbx x ，又函数( )f x的图象在点(1

14、，f（1）)处的切线方程为yx， (1)21 (1)1 fab fb ，则1a ，1b 1 ( )2fxx x ，由 1 ( )20fxx x ，得 2 1 2 x ，又0 x ， 2 2 x，即函数( )yf x的增区间为 2 ( 2 ，) 故选：C 5 （5 分）用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为( ) 第 7 页（共 16 页） A 3 3 4 5 B 4 3 4 5 C 3 4 4 5 D 4 4 4 5 【解答】解：用红，黄，蓝，绿，黑这 5 种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，基

15、本事件总数 4 5n ，其中“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”包含的基本事件个数： 3 54m ，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为 33 43 5 44 55 m P n 故选：A 6（5 分）如果在一次实验中，测得( , )x y的四组数值分别是(1,2.2)，(2,3.3)，(4,5.8)，(5,6.7)，则y对x的线性回归方程是( ) A0.154.05yx B1.45yx C1.051.15yx D1.151.05yx 【解答】解： 1 (1245)3 4 x ， 1 (2.23.35.86.7)4.5 4 y ， 1 22 1 2.26.64 5

16、.85 6.74 3 4.511.5 1.15 1416254 910 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 4.5 1.15 31.05aybx ，线性回归方程为1.151.05yx 故选：D 7 （5 分）若 728 0128 (1)(1 2 )xxaa xa xa x，则 0127 aaaa的值是( ) A1 B2 C126 D130 【解答】解：令1x ，得 0128 2aaaa 又 77 87( 2) 128aC，所以 01127 2128126aaaaa 故选：C 8 （5 分）函数( )sin(2)f xAxxbk，0A ，0，k，bR，则函数( )f x在

17、区间(, ) 上的零点最多有( ) A4 个 B5 个 C6 个 D7 个【解答】解：根据题意，函数( )sin(2)f xAxxbk在区间(, ) 上的零点，就是函数sin(2)yAx和函数yxb k在区间(, ) 的交点，第 8 页（共 16 页）对于sin(2)yAx，其周期 2 2 T ，区间(, ) 包含 2 个周期，如图：两个函数在两个周期中最多有 5 个交点，即函数( )f x在区间(, ) 上的零点最多有 5 个，故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列关于平面向量的说法中，正确

18、的有( ) A已知a，b均为非零向量，则/ /ab存在唯一的实数，使得ba B若向量,AB CD共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 C若点G为ABC的重心，则0GAGBGC D若a cb c且0c ，则ab 【解答】解：由平行向量的基本定理可知，选项A是正确的；向量共线的意思是向量所在的基线平行或共线，只有当向量,AB CD所在的基线共线时，点A， B，C，D才在同一直线上，即B不正确；设线段AB的中点为M，若点G为ABC的重心，则2GAGBGM，而2GCGM ，所以0GAGBGC，即C正确；由平面向量的数量积可知，若a cb c且0c ，反例0a cb c，此时向量a，b共线

19、，但是不一定相等，即D不正确；故选：AC 10 （5 分）已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布(110,81)N，其中 90 分为及格线，则下列结论中正确的有附：随机变量服从正态分布 2 ( ,)N ，则(22 )0.9545(P ) A该校学生成绩的期望为 110 第 9 页（共 16 页） B该校学生成绩的标准差为 9 C该校学生成绩的标准差为 81 D该校学生成绩及格率超过95% 【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为110 x ，9 该市学生数学成绩的期望为 110，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为 9，故B正确，C错误； (92128)0.9545P， 11

20、 (92)(128)1( (92128)(10.9545)0.02275 22 PPP P剠，则(90)0.02275P，(90)0.977250.95P，故D正确故选：ABD 11 （5 分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1， 2，3，5，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列 n a称为“斐波那契数列” ，记 n S为数列 n a的前n项和，则下列结论中正确的有( ) A 8 21a B 7 32S C 135212nn aaaaa D 222 122021 2022 2021 aaa a a 【解答】解：

21、由题设知：数列 n a的前 8 项为：1，1，2，3，5，8，13，21， 8 21a， 7 33S ，故选项A正确，选项B错误；又 12 aa， 342 aaa， 564 aaa， 21222nnn aaa ，将以上式子相加可得： 135212nn aaaaa ，故C选项正确；斐波那契数列总有 21nnn aaa ， 2 12 1 aa a， 2 2231232 1 ()aa aaa aa a， 2 33423 aa aa a， 2 20192018201920172018201920172018 ()aaaaaaaa，第 10 页（共 16 页） 2 201920192020201

22、92018 aaaaa， 2 20202020202120202019 aaaaa， 2 20212021202220212020 aaaaa，将以上式子相加可得： 222 12202120212022 aaaaa，故选项D正确，故选：ACD 12 （5 分）已知函数 1 ( ) 21 x f xa ，则( ) A对于任意实数a，( )f x在(,0)上均单调递减 B存在实数a，使函数( )f x为奇函数 C对任意实数a，函数( )f x在(0,)上函数值均大于 0 D存在实数a，使得关于x的不等式( )1f x 的解集为(0,2) 【解答】解：对于A，当(,0)x ， 2 22 ( )0

23、 (21) x x ln fx ，所以，对于任意实数a，( )f x在(,0)上均单调递减，A正确；对于B，函数定义域为(，0)(0，)，定义域关于原点对称，由()( )fxf x 可得， 11 () 2121 xx aa ，变形可得，21a ，解得 1 2 a ，即存在实数a，使函数( )f x为奇函数，B正确；对于C，取10a ，f（1）90 ，C不正确；对于D，当 2 3 a 时，不等式( )1f x 的解集为(0,2)，D正确故选：ABD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）圆柱上、下底面的圆周

24、都在一个体积为 500 3 的球面上，圆柱底面直径为 8，则该圆柱的表面积为 80 【解答】解：由题意球的体积为： 500 3 ，所以球的半径为R， 3 4500 33 R ，解得5R ，所以圆柱底面直径为 8，圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 500 3 的球面上，所以圆柱的高为： 22 1086 第 11 页（共 16 页）可得圆柱的表面积： 2 862 480 故答案为：80 14 （5 分）函数tan(2) 3 yx ，() 122 xZ k k的最小正周期为 2 【解答】解：函数的周期 2 T 故答案为： 2 15 （5 分）已知椭圆 22 1: 1 1 xy C mm 的

25、右焦点F也是抛物线 2 2: Cynx的焦点，且椭圆与抛物线的交点到F的距离为 5 3 ，则实数n 4 ，椭圆 1 C的离心率e 【解答】解：椭圆 22 1: 1 1 xy C mm 的右焦点(1,0)F，所以抛物线 2 2: Cynx的焦点(1,0)，所以4n ；椭圆与抛物线的交点到F的距离为 5 3 ，不妨设在第一象限的交点为A，则 2 ( 3 A， 8 ) 3 ，由椭圆定义，可得 22 2828 2(1)(1)4 3333 a ，所以椭圆的离心率为 1 2 c e a 故答案为：4； 1 2 16 （5 分）设偶函数( )f x在(,0)上为增函数，且f（3）0，则不等式( )

26、0 x f x 的解集为 ( 3，0)(3，) 【解答】解：不等式( )0 x f x ， 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x ，偶函数( )f x在(,0)上为增函数，且f（3）0，函数( )f x在(0,)上为减函数，且( 3)0f ， 0 33 x xx 或或 0 33 x x ，解得3x 或30 x ，不等式( )0 x f x 的解集为( 3，0)(3，) 故答案为：( 3，0)(3，) 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）第 12 页（共 16 页） 17 （10 分）设等比数列 n a的公比为(1)q q ，前n项和

27、为 n S （1）若 1 1a ， 63 9 8 SS，求 3 a的值；（2）若1q ， 21 5 2 mmm aaa ，且 2 9 mm SS， * mN，求m的值【解答】解：（1）等比数列 n a的公比为(1)q q ，前n项和为 n S 1 1a ， 63 9 8 SS， 33 63333 9 (1) 8 SSq SSqS，解得 1 2 q ， 2 31 1 4 aa q （2）1q ， 21 5 2 mmm aaa ，且 2 9 mm SS， * mN， 2 5 2 mmm aa qa q， 2 5 10 2 qq ，由1q ，解得2q ， 2 9 mm SS， 2 11 (

28、12)(12 ) 9 1212 mm aa ， 1 0a ， 2 1 29(1 2 ) mm ，解得3m 18 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足coscoscAaCa （1）求 a b 的值；（2）若1a ，3c ，求ABC的面积【解答】解：（1）由正弦定理，coscoscAaCa可化为： sincoscossinsinCACAA，也就是sin()sinACA 由三角形内角和定理得sin()sin()sinACBB 即sinsinBA 由正弦定理可得ba，故1 a b （2）由1a 可知1b 而3c ，由余弦定理可知 222 1 cos 22 abc

29、 C ab 第 13 页（共 16 页）又0C，于是 2 3 C 1123 sin1 1 sin 2234 ABC SabC 19 （12 分）复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取 12 名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65， 78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于 80 的为优良（）将频

30、率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选 3 人进行体质健康测试，求至少有 1 人成绩是“优良”的概率；（）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期望【解答】解：（1）抽取的 12 人中成绩是优良的频率为 2 3 ，故从该校全体高二学生中任选 1 人，成绩是“优良”的概率是 2 3 ，设“在该校全体高二学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩优良”为事件A，则 03 3 2126 ( )1(1)1 32727 P AC （2）由题意可知，X的可能取值为 0，1，2，3， 3 4 3 12 41 (0) 22055 C

31、 P X C ， 12 84 3 12 4812 (1) 22055 C C P X C ， 21 84 3 12 11228 (2) 22055 C C P X C ， 3 8 3 12 5614 (3) 22055 C P X C ，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 55 12 55 28 55 14 55 1122814 01232 55555555 EX 20（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，AB 平面PAD，PAPD，PAPD，2AD ， ACCD （1）求证：PD 平面PAB；第 14 页（共 16 页）（2）若直线PA与平面PDC所成的线面角的正弦值

32、2 6 5 ，为求CD长【解答】（1）证明：AB 平面PAD，PD平面PAD，PDAB PDPA，PA，AB平面PAB，PAABA，PD平面PAB （2）PAPD，PAAD，PAD为等腰直角三角形，ACCD， ACD为等腰三角形以AD中点O为原点，OC，OA，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系设OCm，则(0A，1，0)，(0P，0，1)，(C m，0，0)，(0D，1，0)， (0,1, 1)PA，设平面PDC的法向量为( , , )nx y z， ( ,1,0)DCm，(0,1,1)DP ， 0 0 mxy yz ，令1x ，则ym ，zm，(1,)nm m 2 22 si

33、n|cos,| |6 5 221 m PA n m ，解得2 3m 22 13CDOCOD 21 （12 分）已知函数( )f xlnx （）试判断函数( )( ) a g xf x x 的单调性；（）若函数 1 ( )( )( )(0)h xfxf xax a 在(0,)上有且仅有一个零点， ( ) i求证：此零点是( )h x的极值点；（）求证： 3 2 2 1 3 eae 第 15 页（共 16 页）（本题可能会用到的数据：1.65e ， 3 2 4.48e ，20.7ln ，31.1)ln 【解答】解：( ) ( ) a I g xlnx x ， 22 1 ( ) axa g

34、x xxx ， 0 x ，0a 时，( )0g x恒成立， ( )g x在(0,)单调递增，没有单调递减区间 0a 时，解不等式( )0g x，得xa，此时( )g x在(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增综上0a 时，( )g x在(0, )a单调递减，在( ,)a 单调递增， 0a时，( )g x在(0,)单调递增，没有单调递减区间（）( ) ( )i f xlnx，则 1( )x fxe ， 1 ( )( )( ) x h xfxf xaxelnxax ，(0)x ，函数( ) x h xelnxax，(0)a 在(0,)上有且仅有一个零点， 1 ( ) x h xea

35、x 在(0,)单调递增，又 1 2 1 ( )20 2 hea， () 11 ( ()0 ()() ln a e h ln aeeae ln aeln ae 且 1 () 2 ln aelne， 0 1 ( ,() 2 xln ae，使得 0 ()0h x，且 0 (0,)xx时，( )0h x， 0 (xx，)时，( )0h x， ( )h x在 0 (0,)x单调递减， 0 (x，)单调递增 ( )h x在(0,)上有且仅有一个零点，此零点为极小值点 0 x ( )ii由( ) i得 0 0 ()0 ()0 h x h x ，即 0 0 0 00 1 0 0 x x ea x elnx

36、ax ，解得 0 0 1 x ae x ，且 0 00 (1)10 x xelnx 设( )(1)1 x u xx elnx，(0)x ， 1 ( )0 x u xx e x ，则( )u x在(0,)单调递减 u（1）00110 ， 3 2 333 ( )10 222 ueln ，第 16 页（共 16 页） 0 3 (1, ) 2 x ，又 1 ( ) x v xe x 在(0,)单调递增， 0 3 (1, ) 2 x ，v（1）1e， 3 2 32 ( ) 23 ve， 3 2 0 2 1() 3 ev xe ， 3 2 2 1 3 eae 22 （12 分）已知焦点在x轴上的双曲线

37、C的实轴长为2 3，焦距为2 5 （1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线 3 :1 3 l yx与双曲线C交于A，B两点，求弦长|AB 【解答】解：（1）焦点在x轴上的双曲线C的方程设为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，由题意可得22 3a ，即3a ，由22 5c ，可得5c ，则 222 532bca，可得双曲线的方程为 22 1 32 xy ；（2）联立直线 3 :1 3 l yx和双曲线的方程 22 236xy，可得22 390 xx，设A，B的横坐标分别为 1 x， 2 x，可得 12 2 3xx ， 12 9x x ，则 2 12 14 |1|( 2 3)4( 9)8 33 ABxx

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