1、第 1 页（共 12 页） 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（15） 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若全集UR，集合 2 |6 0AxR xx ，集合|(1)0BxR lg x，则 ()( RA B ) A( 1,2) B(1,2) C( 3,2) D( 3,1) 2 （5 分） 2 1sin70 ( 22sin 10 ) A2 B1 C1 D 1 2 3 （5 分）
2、 “0 x ， 4 2 a x x ”的充要条件是( ) A2a B2a C2a D2a 4 （5 分） 莱茵德纸草书(Rhind)Papyrus是世界上最古老的数学著作之一书中有这样 一道题目：把 93 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份 之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为( ) A3 B4 C8 D9 5（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0) cossin2 xy 的焦点到渐近线的距离等于 1 2 ， 则( ) A 3 B 4 C 6 D 12 6 （5 分）已知函数( )f x的部分图象如图所示，则( )f x可能为( ) A cos1
3、( ) 22 xx x f x B cossin ( ) 22 xx xxx f x C cossin ( ) 22 xx xxx f x D cossin ( ) 22 xx xxx f x 7 （5 分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A若l，则l B若/ /l，/ /，则l C若/ /l，则l D若l，/ /，则l 第 2 页（共 12 页） 8 （5 分）某种芯片的良品率X服从正态分布(0.95N， 2 0.01 )，公司对科技改造团队的奖励 方案如下： 若芯片的良品率不超过95%， 不予奖励； 若芯片的良品率超过95%但不超过96%， 每张芯片奖励 100
4、 元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励 200 元则每张芯片获得 奖励的数学期望为( )元 附 ： 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ，()0.6826P， (22 )0.9544P，(33 )0.9974P A52.28 B65.87 C50.13 D131.74 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得了分，有选错的得分，部分选对的得了分，有选错的得 0 分。
5、分。 9 （5 分）已知向量1,| 1,|3a baab，设, a b所成的角为，则( ) A| 2b B()aba C/ /ab D60 10（5 分） 定义在R上的函数( )f x满足：x为整数时，( )2021f x ；x不为整数时，( )0f x ， 则( ) A( )f x是奇函数 B( )f x是偶函数 CxR ，( ( )2021f f x D( )f x的最小正周期为 1 11 （5 分）已知函数( )sin()f xx（其中0，0)图象的两条相邻的对称轴 之间的距离,()1 26 f ，下列结论正确的是( ) A( )sin(2) 6 f xx B将函数( )yf x的图象向
6、右平移 6 个单位后得到函数sin2yx的图象 C当(0,) 2 x 时，( )f x有且只有一个零点 D( )f x在0, 6 上单调递增 12 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为2 3的等边三角形，侧棱长为4 3， 则( ) A直线 1 AC与直线 1 BB之间距离的最大值为 3 B若 1 A在底面ABC上的投影恰为ABC的中心，则直线 1 A A与底面所成角为60 C若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB与 1 AC所成的角为30 第 3 页（共 12 页） D若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每
7、小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知i是虚数单位，复数 1 1 zi i ，则| z 14 （5 分）若二项式 * (12 ) () n xnN的展开式中所有项的系数和为 243，则该二项式展开 式中含有 3 x的系数为 15 （5 分） 设函数( )(1) x f xex的图象在点(0,1)处的切线为yaxb， 若方程| x abm 有两个不等实根，则实数m的取值范围是 16 （5 分）如图所示，在平面直角坐标系中， 2 5 (0,), ( 3,0) 5 QL，圆Q过坐标原点O，圆 L与圆Q外切则： （1）圆L的半径等于 ； （2） 已知过点L和抛物线
8、2 2(0)xpy p焦点的直线与抛物线交于A，B， 且3O AO B ， 则p 第 4 页（共 12 页） 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（15） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 （5 分）若全集UR，集合 2 |6 0AxR xx ，集合|(1)0BxR lg x，则 ()( RA B ) A( 1,2) B(1,2) C( 3,2)
9、D( 3,1) 【解答】解：全集UR，集合 2 |6 0 |3AxR xxx x厔或2x， 集合|(1)0 |12BxR lg xxx， | 32 UA xx ， () |12(1 RA Bxx，2) 故选：B 2 （5 分） 2 1sin70 ( 22sin 10 ) A2 B1 C1 D 1 2 【解答】解： 2 222 1sin701cos201(1210 ) 1 22sin 1022102210 sin sinsin 故选：C 3 （5 分） “0 x ， 4 2 a x x ”的充要条件是( ) A2a B2a C2a D2a 【解答】解：0 x ， 444 222 (2)22 22
10、2 xxx xxx ， 当且仅当0 x 时才取到 2， “0 x ， 4 2 a x x ”的充要条件是2a 故选：D 4 （5 分） 莱茵德纸草书(Rhind)Papyrus是世界上最古老的数学著作之一书中有这样 一道题目：把 93 个面包分给 5 个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份 之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为( ) A3 B4 C8 D9 第 5 页（共 12 页） 【解答】解：设该等比数列为 n a，其公比为q， 由题意知， 5 1 5 (1) 93 1 aq S q ， 123 3 4 aaa 所以 2 111 3 4 aa qa q 因为 1 0a
11、， 所以 2 3 1 4 qq 解得2q 或 2 3 q （舍去） 当2q 时， 5 1(1 2 ) 93 12 a ， 解得 1 3a 故选：A 5（5 分） 已知双曲线 22 22 :1(0) cossin2 xy 的焦点到渐近线的距离等于 1 2 ， 则( ) A 3 B 4 C 6 D 12 【解答】解：由题意知，双曲线的焦点坐标为( 1,0)， 渐近线方程为 sin tan cos yxx ， 双曲线的焦点到渐近线的距离为 1 2 ， 2 | tan|1 2 1tan ， 解得 3 tan 3 ， 0 2 ， 3 tan 3 ，即 6 故选：C 6 （5 分）已知函数( )f x的部
12、分图象如图所示，则( )f x可能为( ) A cos1 ( ) 22 xx x f x B cossin ( ) 22 xx xxx f x 第 6 页（共 12 页） C cossin ( ) 22 xx xxx f x D cossin ( ) 22 xx xxx f x 【解答】解：函数的定义域为R，函数关于y轴对称，则函数为偶函数， 则C不成立，C函数的定义域为 |0 x x ，排除C； 对于B，函数 cossin ()( ) 22 xx xxx fxf x ， 则B函数为奇函数，不满足条件，排除B； 对于A，函数中，( ) 0f x 恒成立，不存在负值，排除A 故选：D 7 （5
13、分）设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( ) A若l，则l B若/ /l，/ /，则l C若/ /l，则l D若l，/ /，则l 【解答】解：若l，则l或/ /l，故A错误； 若/ /l，/ /，则l或/ /l，故B错误； 若/ /l，则l或/ /l，故C错误； 若l，/ /，由平面平行的性质，我们可得l，故D正确； 故选：D 8 （5 分）某种芯片的良品率X服从正态分布(0.95N， 2 0.01 )，公司对科技改造团队的奖励 方案如下： 若芯片的良品率不超过95%， 不予奖励； 若芯片的良品率超过95%但不超过96%， 每张芯片奖励 100 元；若芯片的良品率超过96%，
14、每张芯片奖励 200 元则每张芯片获得 奖励的数学期望为( )元 附 ： 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ，()0.6826P， (22 )0.9544P，(33 )0.9974P A52.28 B65.87 C50.13 D131.74 【解答】解：因为(0.95XN， 2 0.01 )，所以0.95，0.96， 所以(0.95)()0.5P XP X剟， 11 (0.950.96)()()0.68260.3413 22 PXPXPX剟?； 11 (0.96)1()(10.6826)0.1587 22 P XPX； 所以每张芯片获得奖励的数学期望为 第 7 页（共 12
15、 页） ( )0100 0.3413200 0.158765.87E Y （元) 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得了分，有选错的得分，部分选对的得了分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）已知向量1,| 1,|3a baab，设, a b所成的角为，则( ) A| 2b B()aba C/ /ab D60 【解答】解：根据题意，设|bt， 对于A，若1,| 1,|3a
16、 baab， 则 222 |23ababa b，即 2 312t ，解可得2t ，即| 2b ，A正确， 对于B， 2 ()1 10abaa ba ，则()aba，B正确， 对于C、D，又由| 1a ，| 2b ，1a b，则 1 cos 2| a b a b ， 又由0180剟，则60，则C错误，D正确 故选：ABD 10（5 分） 定义在R上的函数( )f x满足：x为整数时，( )2021f x ；x不为整数时，( )0f x ， 则( ) A( )f x是奇函数 B( )f x是偶函数 CxR ，( ( )2021f f x D( )f x的最小正周期为 1 【解答】解：根据题意，依次
17、分析选项： 对于A，对于( )f x，有f（1）2021，( 1)2021f ， ()( )fxf x 不恒成立，则( )f x不是奇函数，A错误， 对于B，对于( )f x，若x为整数，则x也是整数，则有( )()2021f xfx， 若x不为整数，则x也不为整数，则有( )()0f xfx， 综合可得( )()f xfx，( )f x是偶函数，B正确， 对于C，若x为整数，( )2021f x ，x不为整数时，( )0f x ， 总之( )f x是整数，则( ( )2021f f x，C正确， 对于D，若x为整数，则1x 也是整数， 第 8 页（共 12 页） 若x不为整数，则1x 也不为
18、整数，总之有(1)( )f xf x，( )f x的周期为 1， 若(01)tt 也是( )f x的周期， 而x和xnt可能一个为整数，另一个不是整数，则有( )()f xf xnt， 故( )f x的最小正周期为 1，D正确， 故选：BCD 11 （5 分）已知函数( )sin()f xx（其中0，0)图象的两条相邻的对称轴 之间的距离,()1 26 f ，下列结论正确的是( ) A( )sin(2) 6 f xx B将函数( )yf x的图象向右平移 6 个单位后得到函数sin2yx的图象 C当(0,) 2 x 时，( )f x有且只有一个零点 D( )f x在0, 6 上单调递增 【解答
19、】解：函数( )sin()f xx（其中0，0)图象的两条相邻的对称轴之间 的距离,()1 26 f ， 所以T， 对于A：根据周期公式，解得2 故sin(2)1 6 ，解得 6 故函数的关系式为( )sin(2) 6 f xx ，故A正确； 对于B： 函数的图象向右平移 6 个单位得到( )sin(2)sin(2) 366 g xxx 的图象， 故B 错误； 对于C：由于(0,) 2 x ，所以 7 2(,) 666 x ，当 5 12 x 时，函数 5 ()0 12 f ，故C正确； 对于D：当0, 6 x 时，2, 66 2 x ，故函数在该区间上单调递增，故D正确； 故选：ACD 12
20、 （5 分）在三棱柱 111 ABCABC中，ABC是边长为2 3的等边三角形，侧棱长为4 3， 则( ) A直线 1 AC与直线 1 BB之间距离的最大值为 3 第 9 页（共 12 页） B若 1 A在底面ABC上的投影恰为ABC的中心，则直线 1 A A与底面所成角为60 C若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB与 1 AC所成的角为30 D若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64 【解答】解：取AC的中点M， 1 AC的中点 1 M， 则 111 / / /MMAABB， 在正ABC中， 3 2 3 sin602 33 2 BM ， 直线 1 AC与直线 1 BB的距离点 1
21、 M与直线 1 BB的距离点M到直线 1 BB的距离3BM ， 故直线 1 AC与直线 1 BB之间距离的最大值为 3， 故选项A正确； 设 1 A在底面ABC上的投影为点O， 则O为ABC的中心，且 1 AO 平面ABC， 故 1 A AO为直线 1 A A与底面ABC所成角， 在正ABC中， 23 2 32 32 AO ， 所以 22 1 1 1 11 484333 sin 624 3 A AAOAO A AO A AA A ， 所以直线 1 A A与底面所成角不是60， 故选项B错误； 在三棱柱 111 ABCABC中， 11 / /ABAB， 所以 11 B AC为异面直线 11 AB
22、与 1 AC所成的角，连结 1 BC， 因为三棱柱的侧棱垂直于底面， 所以在Rt 1 A AC中， 22 11 48 122 15ACAAAC， 在Rt 1 B BC中， 2 11 48 122 15BCBBBC， 在 11 ABC中， 222 1111 11 111 1213 cos 24222 34 3 ABACBC B AC ABAC ， 所以异面直线AB与 1 AC所成的角不可能为为30， 故选项C错误； 由选项B中的分析可知，ABC的中心为O，向上作垂线，则垂线垂直平面ABC， 过平面 11 ACC A的中心作垂线，则垂线垂直平面 11 ACC A， 第 10 页（共 12 页） 设
23、两条垂线的交点为 O ，则 O 为外接球的球心， 故外接球的半径为 2222 1 1 ()()4 2 RO OOCAAAO， 所以外接球的表面积 2 464SR， 故选项D正确 故选：AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分）已知i是虚数单位，复数 1 1 zi i ，则| z 2 2 【解答】解：因为 11111 1(1)(1)222 ii ziiii iii ， 所以 22 112 |( )( ) 222 z 故答案为： 2 2 14 （5 分）若二项式 * (12 ) () n xnN的展开式中所有项的
24、系数和为 243，则该二项式展开 第 11 页（共 12 页） 式中含有 3 x的系数为 80 【解答】解：令1x ，可得(12)243 n ，解得5n ， 则二项式 5 (12 ) x的展开式的通项公式为 155 (2 )2 rrrrr r TCxC x ， 所以二项式 5 (12 ) x的展开式中含有 3 x的系数为 33 5 280C 故答案为：80 15 （5 分） 设函数( )(1) x f xex的图象在点(0,1)处的切线为yaxb， 若方程| x abm 有两个不等实根，则实数m的取值范围是 (0,1) 【解答】解：由( )(1) x f xex，得( )(2) x fxex，
25、 得(0)2af，且1b 作出函数|21| x y 的图象如图， 由图可知，要使方程| x abm有两个不等实根， 则实数m的取值范围是(0,1) 故答案为：(0,1) 16 （5 分）如图所示，在平面直角坐标系中， 2 5 (0,), ( 3,0) 5 QL，圆Q过坐标原点O，圆 L与圆Q外切则： （1）圆L的半径等于 5 ； （2） 已知过点L和抛物线 2 2(0)xpy p焦点的直线与抛物线交于A，B， 且3O AO B ， 则p 第 12 页（共 12 页） 【解答】解： （1）由已知可得圆Q的半径为 2 5 5 r ， 设圆L的半径为R，因为圆Q与圆L外切， 则|LQRr，即 22 2 52 5 ( 30)(0) 55 R ， 解得5R ； （2）由抛物线方程可得焦点F的坐标为(0,) 2 p ， 则过点( 3,0)L 和F的直线的斜率 0 2 0( 3)6 p p k， 则直线的方程为：(3) 2 p yx，代入抛物线方程可得： 222 30 xp xp，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2 12 xxp， 2 12 3x xp ，所以 222 12 12 2 9 44 x xp y y p ， 又 2 2 1212 9 33 4 p OA OBx xy yp ，解得2p ， 故答案为：5;2
