1、1 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（30） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合2A，3，4，6，7，2B ，3，5，7，则(AB ) A2，3，5 B2，3，7 C2，3，5，7 D2，3，4，5，6， 7 2 （5 分）复数 3 32 1 i z i 的虚部为( ) A 1 2 B1 C 5 2 D 1 2 3 （5 分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈
2、德黎曼发现提出，在 高等数学中有着广泛的应用其定义黎曼函数( )R x为：当( q xp p ，q为正整数， q p 是既 约真分数）时 1 ( )R x p ，当0 x 或1x 或x为0，1上的无理数时( )0R x 已知a、b、 ab都是区间0，1内的实数，则下列不等式一定正确的是( ) A()R abR（a）R（b） B()R a bR（a）R（b） C()R abR（a）R（b） D()R a bR（a）R（b） 4 （5 分）已知三棱锥的 6 条棱代表 6 种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工 产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险
3、的现用编号为 1，2，3 的三个仓库存放这 6 种化工产品，每个仓库放 2 种，那么安全存放 的不同方法种数为( ) A12 B24 C36 D48 5（5 分） 已知球O的半径为 8， 矩形ABCD的顶点都在球O的球面上， 球心O到平面ABCD 的距离为 4，则此矩形的最大面积为( ) A96 B48 C32 D24 6 （5 分）已知向量| 2AB ，| 1CD ，且|2| 2 3ABCD，则向量AB和CD的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 2 7 （5 分）在平面直角坐标系内，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y为不同的两点，直线l的方程 为0axby
4、c， 11 22 axbyc axbyc ，下面四个命题中的假命题为( ) A存在唯一的实数，使点N在直线l上 B若1，则过M，N两点的直线与直线l平行 C若1 ，则直线经过线段M，N的中点 D若1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交 8 （5 分）设 0.6 0.6a ， 1.5 0.6b ， 0.6 1.5c ，则a，b，c的大小关系( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得题目要
5、求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9（5 分） 记数列 n a的前n项和为 n S， 若存在实数H， 使得对任意的nN， 都有| n SH， 则称数列 n a为“和有界数列” 下列说法正确的是( ) A若 n a是等差数列，且公差0d ，则 n a是“和有界数列” B若 n a是等差数列，且 n a是“和有界数列” ，则公差0d C若 n a是等比数列，且公比| 1q ，则 n a是“和有界数列” D若 n a是等比数列，且 n a是“和有界数列” ，则 n a的公比| 1q 10 （5 分） 甲、 乙两类水果的质量 （单位：
6、)kg分别服从正态分布 1 (N， 2 1) ， 2 (N， 2 2) ， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( ) A乙类水果的平均质量 2 0.8kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 3 11 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段 1 CC上 的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是( ) A当 1 0 2 CQ时，S为四边形 B当 1 2 CQ 时，S不为等腰梯形 C当 3
7、4 CQ 时，S与 11 C D的交点R满足 1 1 3 C R D当1CQ 时，S的面积为 6 2 12（5 分） 已知定义域为A的函数( )f x， 若对任意的 1 x，2xA， 都有 1212 ()( )()f xxf xf x， 则称函数( )f x为“定义域上的优美函数” 以下函数是“定义域上的优美函数”的有( ) A 2 1 1 ( )1, 2 2 f xxx B( ) x f xe，xR C( )sinf xx，0 x， D 3 ( )logf xx，2x，) 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已
8、知复数z在复平面内对应点是(1, 2)，i为虚数单位，则 2 1 z z 14 （5 分）若函数( )f x是偶函数，对任意xR都有(2)( )f xf x，且 1x ，0时， ( )f xx ，则方程( )f xlgx的实根个数为 15 （5 分）已知四面体ABCD的棱都相等，G为ABC的重心，则异面直线AG与CD所成 角的余弦值为 16 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子） ，提出了计算体积的 祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截 面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线 2 :C yx，直线l为曲线C在点(1
9、,1) 处的切线如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图 形绕y轴旋转一周所得的几何体为 过(0，)(01)yy剟作的水平截面， 所得截面面积S 4 （用y表示） ，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为 新高考数学选填小题限时模拟练习（新高考数学选填小题限时模拟练习（30） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合2A，3，4，6，7，2
10、B ，3，5，7，则(AB ) A2，3，5 B2，3，7 C2，3，5，7 D2，3，4，5，6， 7 【解答】解：2A，3，4，6，7，2B ，3，5，7， 2AB，3，7 故选：B 2 （5 分）复数 3 32 1 i z i 的虚部为( ) A 1 2 B1 C 5 2 D 1 2 【解答】解： 3 3232(32 )(1)55 11(1)(1)222 iiiiii z iiii ， 复数 3 32 1 i z i 的虚部为 1 2 故选：A 3 （5 分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在 高等数学中有着广泛的应用其定义黎曼函数( )R x为：当(
11、q xp p ，q为正整数， q p 是既 约真分数）时 1 ( )R x p ，当0 x 或1x 或x为0，1上的无理数时( )0R x 已知a、b、 ab都是区间0，1内的实数，则下列不等式一定正确的是( ) A()R abR（a）R（b） B()R a bR（a）R（b） C()R abR（a）R（b） D()R a bR（a）R（b） 5 【解答】解：设 |, , q Ax xp q p 为正整数 是既约真分数， |0Bx x或1x 或x是0， 1上的无理数， 当aA，bA，则()R abR（a）R（b） ，()R a bR（a）R（b） ； 当aB，bB，则()R abR（a）R（b
12、） ，()R a bR（a）R（b）0； 当 aA bB 或 aB bA ，则()R abR（a）R（b） ，()R a bR（a）R（b） 综上，选项B一定正确 故选：B 4 （5 分）已知三棱锥的 6 条棱代表 6 种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工 产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险 的现用编号为 1，2，3 的三个仓库存放这 6 种化工产品，每个仓库放 2 种，那么安全存放 的不同方法种数为( ) A12 B24 C36 D48 【解答】解：根据题意，如图的三棱锥中，设 6 条棱为 1、2、3、4、5、6，分析可得 1、4， 2、
13、6，3、5 不能分到同一组， 分 2 步进行分析： ，将 6 种化工产品分成 3 组，其中 1、4，2、6，3、5 不能分到同一组， 有 222 642 3 3 3218 C C C A 种分组方法， ，将分好的三组全排列，对应 3 个仓库，有 3 3 6A 种情况， 则不同的安全存放的种数有8648种； 故选：D 6 5（5 分） 已知球O的半径为 8， 矩形ABCD的顶点都在球O的球面上， 球心O到平面ABCD 的距离为 4，则此矩形的最大面积为( ) A96 B48 C32 D24 【解答】解：球O的半径为 8，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上， 球心O到平面ABCD的距离为 4， 2
14、2 1 844 3 2 BD ， 8 3BD， 故 222 192 2ABADBDAB AD，当且仅当ABAD时取等号， 故当ABAD时，矩形ABCD的面积最大， 解得 22 96ABAD， 此矩形的最大面积 2 96SAB 故选：A 6 （5 分）已知向量| 2AB ，| 1CD ，且|2| 2 3ABCD，则向量AB和CD的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 7 【解答】解：据条件： 2 (2)ABCD 22 44ABAB CDCD 444AB CD 12； 1AB CD ； 1 cos, 2| AB CD AB CD AB CD ； 向量,AB CD的夹角为120 故选：C
15、 7 （5 分）在平面直角坐标系内，设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y为不同的两点，直线l的方程 为0axbyc， 11 22 axbyc axbyc ，下面四个命题中的假命题为( ) A存在唯一的实数，使点N在直线l上 B若1，则过M，N两点的直线与直线l平行 C若1 ，则直线经过线段M，N的中点 D若1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交 【解答】解：对于A，因为当点N在直线l上时， 22 0axbyc，所以不确定，所以A 错； 对于B，因为1， 22 0axbyc，即Nl， 2211 axbycaxbyc，所以 1212 ()()0a xxb
16、 yy， 即向量MN与直线l的法向量垂直，并且N不在l上，所以/ /MNl，所以B对； 对于C，因为1 ， 2211 0axbycaxbyc， 所以 1212 0 23 xxyy abc ，于是 12 ( 2 xx ， 12) 3 yy l ， 所以则直线l经过线段M，N的中点，所以C对； 对于D，因为10，则 22 axbyc与 11 axbyc，同号， 所以点M，N在直线l的同侧， 1122 axbycaxbyc或 1122 axbycaxbyc， 8 从而 1212 ()()0a xxb yy，或 1212 ()()0a xxb yy， 即 1212 ()()0a xxb yy，向量MN
17、与直线l的法向量不垂直， 所以直线MN与直线不平行或重合，所以直线l与线段M，N的延长线相交， 所以D对 故选：A 8 （5 分）设 0.6 0.6a ， 1.5 0.6b ， 0.6 1.5c ，则a，b，c的大小关系( ) Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：函数0.6xy 为减函数； 故 0.61.5 0.60.6ab， 函数 0.6 yx在(0,)上为增函数； 故 0.60.6 0.61.5ac， 故bac， 故选：C 二、多选题（本题共二、多选题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有
18、多项符合 题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分）分） 9（5 分） 记数列 n a的前n项和为 n S， 若存在实数H， 使得对任意的nN， 都有| n SH， 则称数列 n a为“和有界数列” 下列说法正确的是( ) A若 n a是等差数列，且公差0d ，则 n a是“和有界数列” B若 n a是等差数列，且 n a是“和有界数列” ，则公差0d C若 n a是等比数列，且公比| 1q ，则 n a是“和有界数列” D若 n a是等比数列，且 n a是“和有界数列” ，则 n a的公比| 1q 【解答】解：若
19、 n a是等差数列，且公差0d ， 当 1 0a ，可得0 n S ，数列 n a为“和有界数列” ； 当 1 0a ，可得 1n Sna，数列 n a不为“和有界数列” ，故A错误； 若 n a是等差数列，且数列 n a为“和有界数列” ， 可得存在实数H，使得对任意的nN，都有| n SH， 即 1 |naH恒成立，可得 1 0ad，故B正确； 9 若 n a是等比数列，且公比| 1q ， 11 (1) | | | 11 n n aqa S qq ， 则 n a是“和有界数列” ，故C正确； 若 n a是等比数列，且 n a是“和有界数列” ， 若1q ，即当n为奇数时， 1n Sa，当n
20、为偶数时，0 n S ， 可得存在实数H，使得对任意的nN，都有| n SH，故D错误 故选：BC 10 （5 分） 甲、 乙两类水果的质量 （单位：)kg分别服从正态分布 1 (N， 2 1) ， 2 (N， 2 2) ， 其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是( ) A乙类水果的平均质量 2 0.8kg B甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D乙类水果的质量服从的正态分布的参数 2 1.99 【解答】解：由图象可知甲图象关于直线0.4x 对称，乙图象关于直线0.8x 对称， 1 0.4， 2 0.8， 故A正确，C正确，
21、甲图象比乙图象更“高瘦” ， 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确； 乙图象的最大值为 1.99，即 2 1 1.99 2 ， 2 1.99，故D错误 故选：ABC 11 （5 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，P为BC的中点，Q为线段 1 CC上 的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S则下列命题正确的是( ) 10 A当 1 0 2 CQ时，S为四边形 B当 1 2 CQ 时，S不为等腰梯形 C当 3 4 CQ 时，S与 11 C D的交点R满足 1 1 3 C R D当1CQ 时，S的面积为 6 2 【解答】解：如图所示， 对
22、于B：当 1 2 CQ 时，即Q为 1 CC中点，此时可得 1 / /PQAD， 1 15 1 42 APQD， 故可得截面 1 APQD为等腰梯形，故B错误； 对于A： 由上图当点Q向C移动时， 满足 1 0 2 CQ， 只需在 1 DD上取点M满足/ /AMPQ， 即可得截面为四边形APQM，故A正确； 对于C：当 3 4 CQ 时，如图，延长 1 DD至N，使 1 1 2 D N ，连接AN交 11 AD于S，连接NQ 交 11 C D于R，连接SR， 可证/ /ANPQ，由 11 NRDQRC，可得 1111 :1:2C R D RCQ D N，故可得 1 1 3 C R ，故C 正确
23、； 对于D： 当1CQ 时，Q与 1 C重合， 取 11 AD的中点F， 连接AF， 可证 1/ / PCAF， 且 1 P CA F ， 可知截面为 1 APC F为菱形，故其面积为 1 116 32 222 ACPF，故D正确 综上可得：只有ACD正确 11 故选：ACD 12（5 分） 已知定义域为A的函数( )f x， 若对任意的 1 x，2xA， 都有 1212 ()( )()f xxf xf x， 则称函数( )f x为“定义域上的优美函数” 以下函数是“定义域上的优美函数”的有( ) A 2 1 1 ( )1, 2 2 f xxx B( ) x f xe，xR C( )sinf
24、xx，0 x， D 3 ( )logf xx，2x，) 【解答】解：对于A， 2 1 1 ( )1, 2 2 f xxx ， 222 12121212 ()()121f xxxxxxx x ， 22 1212 ( )()2f xf xxx， 1212 ()( )()f xxf xf x恒成立，满足定义； 对于B，( ) x f xe，xR， 12 12 () xx f xxe ， 12 12 ( )() xx f xf xee， 12 当 12 2xx时， 4 12 ()f xxe， 2 12 ( )()2f xf xe， 显然 1212 ()()()f xxf xf x，不满足定义； 对于C
25、，( )sinf xx，0 x， 12121212 ()sin()sincoscossinf xxxxxxxx， 1212 ()()sinsinf xf xxx， 1212 ()( )()f xxf xf x恒成立，满足定义； 对于D， 3 ( )logf xx，2x，)， 1212 xxx x恒成立， 12312 ()log ()f xxxx， 123132312 ( )()logloglog ()f xf xxxx x， 1212 ()( )()f xxf xf x恒成立，满足定义 故选：ACD 三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
26、）分） 13 （5 分）已知复数z在复平面内对应点是(1, 2)，i为虚数单位，则 2 1 z z 3 1 2 i 【解答】解：由题意，12zi ， 则 2 232(32 )3 1 1222 zii i i zii 故答案为： 3 1 2 i 14 （5 分）若函数( )f x是偶函数，对任意xR都有(2)( )f xf x，且 1x ，0时， ( )f xx ，则方程( )f xlgx的实根个数为 9 【解答】解：(1)f xx ， (2)( )f xf x，函数( )f x为周期为 2 的周期函数， 1x ，0时，( )f xx ， 函数( )f x的图象和ylgx的图象如图： 由图数形结
27、合可得函数( )yf x与函数ylgx的图象的交点个数为 9 个， 故答案为：9 13 15 （5 分）已知四面体ABCD的棱都相等，G为ABC的重心，则异面直线AG与CD所成 角的余弦值为 3 6 【解答】 解： 设四面体ABCD的棱长为a， 延长AG交BC于点E， 取BD的中点F， 连接EF、 AF， 由题意知，E为BC的中点， / /CDEF，故AEF即为异面直线AG与CD所成角 在AEF中， 3 2 AEAFa， 1 2 EFa， 由余弦定理知， 222 222 313 3 444 cos 2631 2 22 aaa AEEFAF AEF AE EF aa 异面直线AG与CD所成角的余
28、弦值为 3 6 故答案为： 3 6 16 （5 分）我国南北朝时期的数学家祖暅（杰出数学家祖冲之的儿子） ，提出了计算体积的 祖暅原理： “幂势既同，则积不容异 ”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截 面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线 2 :C yx，直线l为曲线C在点(1,1) 处的切线如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图 14 形绕y轴旋转一周所得的几何体为 过(0，)(01)yy剟作的水平截面， 所得截面面积S 2 (1) 4 y （用y表示） ，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为 【解答】解：过点(0, )y的直线与抛物线 2 :C yx的交点为( y，) y，01y剟 直线l为曲线C在点(1,1)处的切线，则切线的斜率为 1 |2 x y ， 切线方程为21yx 过点(0, )y的直线与切线21yx的交点为 1 ( 2 y ，) y， 用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环， 截面面积为 2 2 21 ()(1) 44 yy yy ； 取底面直径与高均为 1 的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆， 圆的半径为 1 (1) 2 y ，截面面积为 2 (1) 4 y ，符合题意 则体积等于圆锥的体积等于 2 11 ( )1 3212 故答案为： 2 (1) 4 y ， 12
