上海市长宁区2023届高三下学期4月教学质量调研数学试卷 word版含答案.docx

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1、2022学年第二学期高三数学教学质量调研试卷考生注意:1答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有21道试题,满分150分,考试时间120分钟一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16题每题4分,第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 已知集合,则 .2. 若“”是“”的充分条件,则实数的取值范围为 .3. 已知事件与事件相互独立,如果,那么 .4. 当时,幂函数的图像总在的图像上方,则的取值范围为 .5. 已知圆锥侧面展开图的圆心

2、角为,底面周长为则这个圆锥的体积为 .6. 若函数为奇函数,则实数的值为 . 7. 设随机变量服从正态分布,若,则 .8. 某小学开展劳动教育,欲在围墙边用栅栏围成一个2平方米的矩形植物种植园,矩形的一条边为围墙,如图. 则至少需要 米栅栏. 9. 已知函数,满足,若,则 . 10. 若对任意,均有,则实数的取值范围为 .11.已知空间向量、满足:,则的最大值为 .12.已知是双曲线的左、右焦点,是的一条渐近线,以为圆心的圆与相切于点.若双曲线的离心率为,则 .二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位

3、置,将代表正确选项的小方格涂黑13. 在下列统计量中,用来描述一组数据离散程度的量是( )A.平均数 B.众数 C.百分位数 D.标准差14.设复平面上表示和的点分别为点和点,则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限15.已知正方体,点在直线上,为线段的中点.则下列说法不正确的是( )A. 存在点,使得;B. 存在点,使得; C. 直线始终与直线异面;D. 直线始终与直线异面. 16.设各项均为实数的等差数列和的前项和分别为和,对于方程,.下列判断正确的是( )A.若有实根,有实根,则有实根; B.若有实根,无实根,则有实根;C.若无

4、实根,有实根,则无实根 D.若无实根,无实根,则无实根三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分). 盒子中有5个乒乓球,其中2个次品,3个正品. 现从中不放回地随机摸取2次小球,每次一个.(1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件,求证:;(2)用表示摸出的2个小球中次品的个数,求的分布和期望18(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分).如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,分别为棱中点.(1)求证:平面平面;(2)若平面平面,直线与平面所成的角为,且,求二面角的大小.19(本题满分

5、16分,第1小题满分6分,第2小题满分8分).某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型,其中为自统计之日起,经过年后该地新能源汽车保有量,和为增长系数,为饱和量. 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量(万辆)的统计数据:年份2018201920202021202201234保有量9.612.917.123.231.4假设该地新能源汽车饱和量万辆.(1)若,假定2018年数据满足公式,计算的值(精确到0.01)并估算2023年年底该地新能源汽车保有量(精确到0.1万辆);(2)设,则与线性相关,请依据以上表格中相关数据,利用线性回归分析确定和的值(精确到0.01).附: 线性回归方程中回归系数

6、计算公式如下:, 20(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分).已知抛物线的焦点为,准线为,直线经过点且与交于点、.(1)求以为焦点,坐标轴为对称轴,离心率为的椭圆的标准方程;(2)若,求线段的中点到轴的距离;(3)设为坐标原点,为上的动点,直线、分别与准线交于点、.求证:为常数.21(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分).(1)求简谐振动的振幅、周期和初相位;(2) 若函数在区间上有唯一的极大值点,求实数的取值范围;(3)设,若函数在区间上是严格增函数,求实数的取值范围.参考答案一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第16

7、题每题4分,第712题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 2. 3. 4. 5. 6. 17. 8. 4 9. 3 10. 11.3 12.二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑13. D 14. A 15. C 16.B.三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17解:(1)记“第一次摸出的小球是正品”为事件, .2分, 4分因为,所以. 6分(2), 3分所以的分布为, .5分. .8分18解:(1)由

8、已知,且,所以为平行四边形, .2分因为分别为棱中点,所以, .4分所以平面平面. .6分(2)因为平面平面,且,所以平面, .2分所以即是直线与平面所成的角,即, .4 因为平面,所以,又因为,所以即是二面角的平面角, .6分因为,所以,因为,所以,所以,得,即二面角的大小为. .8分19解:(1)因为,所以 3分因为, 所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为万辆 .6分(2)设,则 01234 9.612.917.123.231.4 3.373.072.772.442.11 2分, 4分,所以 6分,所以 8分20解:, 1分设椭圆方程为,半焦距为,则, 2分所以, 3分所以椭圆的标准

9、方程为. 4分(2)设,因为,所以, 2分设直线的方程为, 将直线方程代入抛物线方程得,所以,得, 4分设线段的中点,则, 所以线段的中点到轴的距离为1 6分(3)准线方程, 1分设,直线的斜率为,直线的斜率为,直线的方程为,直线的方程为, 所以, , 4分设直线的方程为,代入抛物线方程得,所以, 6分所以 得为常数. 8分21解:(1)所以振幅为,周期为,初相为为. .4分(2), .2分设,则,当时,取得极大值, .4分由题意,方程在区间上有唯一解,所以,得. .6分解法二: 2分令,得,列表000极大值极小值极大值 4分函数在区间上有唯一的极大值点时, 6分(3), 2分当时,因为,所以,进而,此时,在区间上是严格增函数. 4分当时,不是严格增函数; 5分当时,设,则,进而,此时,在区间上是严格减函数. 7分综上,若函数在区间上是严格增函数,则. 8分

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