1、1 2021 年全国年全国 100 所名校高考数学示范试卷（三）所名校高考数学示范试卷（三） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知 z2;4 1: ，则 =（ ） A1+2i B12i C1+3i D13i 2 （5 分） 已知集合 Ax| （2x+3） （x2） 0， Bx|4x10， 则 A （RB） （ ） Ax|1 4 x2 Bx|3 2 x1 4 Cx|3 2 x1 4 Dx|2x1 4 3 （5 分
2、）已知非零向量 ， 满足| | |，若2 2 与 垂直，则与 的夹角 （ ） A 6 B 4 C 3 D2 3 4 （5 分）已知 x 为锐角，则“sinx1 2”是“cos2x0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）某大型金字形墙体如图所示，最上层码有 2 块长方体石块，第 2 层 6 块石块，第 3 层 10 块石块，以下每层都比其上一层多 4 块石块已知总层数为奇数，其中中间一层 有 310 块石块，则该建筑的总层数为（ ） A157 B153 C155 D151 6 （5 分）已知倾斜角为 3的直线 l 过抛物线 C1：x 2
3、2py（p0）的焦点 F，若 l 与圆 C2： x2+（y2）24 相切，则 p（ ） A12 B10 C8 D6 2 7 （5 分）据水利部消息，受降雨影响，嫩江尼尔基水库 9 月 4 日 2 时入库流量 3510 立方 米每秒， 依据水利部 全国主要江河洪水编号规定 ， 编号为 “嫩江 2020 年第 1 号洪水” 现 有 7 名消防员志愿者到 A，B，C 三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A 社 区要分配三名志愿者，B，C 两个社区各 2 名志愿者，则不同的分配方法共有（ ） A210 种 B240 种 C420 种 D105 种 8 （5 分）已知函数 f（x）（xxm+ml
4、nx）ex+1（m0） ，当 x（1，+）时，恒有 f（x） 0，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，1 Be，0） Ce， D2e，0） 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）射频前端芯片是无线产品中的关键部件，在进入 5G 时代后，其背后牵动的经济 和社会价值尤为重要射频前端芯片包括射频开关、射频低噪声放大器、射频功率放
5、大 器、双工器、射频滤波器等芯片，是移动智能终端产品的核心组成部分，我国是全球最 大的射频前端芯片市场，但国内企业占比较小，国产化任重而道远如图是 20112023 年全球射频前端芯片市场规模及预测（其中年份后带字母“E”为预测） 由图可知，下 列说法中正确的是（某年至某年包含两端年份） （ ） A从 2014 年至 2019 年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长 13%以上 B预测从 2020 年至 2023 年全球射频前端芯片市场规模的增量在逐年上升 C从 2015 年至 2019 年全球射频前端芯片市场规模每年较上一年增长率的平均值为 13.348% D 预测 2019 年至 20
6、21 年全球射频前端芯片市场规模波动比 2013 年至 2015 年的波动大 3 10 （5 分）已知 a0，b0，且 ab2，则（ ） Aa+b22 Ba2+b28（log2a+log2b） Ca+2b4 D2a+4b16 11 （5 分）如图，这是函数 f（x）Asin（x+） （A，0，| 2）的部分图象，将 f （x）的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则（ ） Af（x）的最小正周期为 2 B 3 Cg（x）的一条对称轴方程为 x2 3 Dg（x）的单调递增区间为k 3，k+ 6（kZ） 12 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABC 3，AB 4 3BC4，二面
7、角 ABCD 的大小为 6， 在侧面ABC 诸边及内部有一动点 P，满足点 P 到直线 AB 的距离等于点 P 到平面 BCD 的距离，则（ ） A点 P 到直线 AB 的距离等于点 P 到直线 BC 的距离 B点 P 的轨迹为一段圆弧 CAC13 D点 P 的轨迹长为67 5 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知函数 f（x） (:1)(2:)为奇函数，则实数 a 4 14 （5 分） 在本届秋季运动会中， 同学们热情高涨， 踊跃报名， 有不少同学报了多个
8、项目 高 三（四）班有 50 名学生，报了 100 米短跑或 1500 米长跑的有 16 人，其中报了 100 米短 跑的同学有10名， 报了1500米长跑的同学有12名， 则该班既报了100米短跑又报了1500 米长跑的的学生数占该班学生总数的比例是 15 （5 分） 九章算术卷五商功中，记载一个问题“今有圆堡瑽（cong） ，”这里 所说的圆堡瑽就是圆柱体形土筑小城堡如图，一圆堡瑽的轴截面是边长为 4 的正方形 ABCD，点 E 为上底圆周上一个动点（与 C、D 点不重合） ，三棱锥 BACE 外接球的表 面积为 16 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点
9、为 A，左、右焦点分别为 F1， F2， 点 P 是双曲线右支上一点， PF1交左支于点 Q， 交双曲线的渐近线 y x 于点 R， M为PQ的中点， 若RF2PF1， 且AMPF1， |RF2|23， 则双曲线C的标准方程为 5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （10 分）从2a1a3a2，a4a38，a3a916a52这三个条件中任选一个，补充 在下列问题中，并作答 问题：已知数列an为等比数列，且_ 若 an0，a12，求数列an+log2an的前 n 项和 Tn 1
10、8 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 2sin2（B+C）sinBsinC 2（sinBsinC）2 （1）求 sinA； （2）若 a22，求ABC 面积的最大值 6 19 （12 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1的中点，F 为 DD1的中点 （1）求证：平面 BC1F平面 AD1E； （2）记BC1F 的重心为 G，求直线 GB1与平面 AD1E 所成角的正弦值 7 20 （12 分）学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距 离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加
11、网上学 习某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取 100 名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示 （1）若此次学习数学时间 X 整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设 ，分别 为这 100 名学生学习数学时间的平均值和标准差， 并求得 76， 11 该校共有 1000 名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过 87 分钟的学生人数（结果四舍五人取 整数） ； （2）若从全市学生中（利用电脑抽取学籍号的方式）有放回地随机抽取 3 次，每次抽取 1 人，用频率估计概率，设其中数学学习时间在 80 分钟及以上的次数为 ，求随机变量 的分布列和均
12、值 参考公式：若随机变量服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6827， P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973 8 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）ex，g（x）mx2（m（1 2，1） （1）判断 f（x）的单调性； （2）求函数 F（x）f（x）g（x）在0，m上的最大值 9 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（2， 6 2 ）关于原点 O 对称，且 A、B 及它们关于 x 轴对称的点都在曲线 T 上，P 是曲线 T 上不同于上述四点的一动点，且直 线 AP 与 BP 的斜率之积等于3 4 （1）求曲线 T 的方程，并说明
13、是什么曲线； （2）设直线 l：ykx+m 与曲线 T 相交于 M、N 两点，以线段 CM，ON 为邻边作平行四 边形 CMEN，其中顶点 E 在曲线上，求|OE|的取值范围 10 2021 年全国年全国 100 所名校高考数学示范试卷（三）所名校高考数学示范试卷（三） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）已知 z2;4 1: ，则 =（ ） A1+2i B12i C1+3i
14、D13i 【解答】解：z2;4 1: = (2;4)(1;) (1:)(1;) = ;2:6 2 = 1 + 3， 所以 = 13i， 故选：D 2 （5 分） 已知集合 Ax| （2x+3） （x2） 0， Bx|4x10， 则 A （RB） （ ） Ax|1 4 x2 Bx|3 2 x1 4 Cx|3 2 x1 4 Dx|2x1 4 【解答】 解： 集合 Ax| （2x+3）（x2） 0 x| 3 2 2， Bx|4x10 x| 1 4， 所以RBx| 1 4，故 A（RB）x| 3 2 x1 4 故选：B 3 （5 分）已知非零向量 ， 满足| | |，若2 2 与 垂直，则与 的夹角
15、（ ） A 6 B 4 C 3 D2 3 【解答】解：2 2 与 垂直， (2 2 ) = 2 2 2 = 0， = 2 2 2，且| = | |， = | | |= 2 2 2 2 = 2 2 ，且 0， = 4 故选：B 4 （5 分）已知 x 为锐角，则“sinx1 2”是“cos2x0”的（ ） 11 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：因为 x 为锐角，且 sinx1 2， 所以 0 x 6， 因为 cos2x0，所以 0 x 4， 所以 x 为锐角， “sinx1 2”能推出“cos2x0” ， “cos2x0”不能推出“sinx1
16、2” ， 所以 x 为锐角，则“sinx1 2”是“cos2x0”的充分不必要条件 故选：A 5 （5 分）某大型金字形墙体如图所示，最上层码有 2 块长方体石块，第 2 层 6 块石块，第 3 层 10 块石块，以下每层都比其上一层多 4 块石块已知总层数为奇数，其中中间一层 有 310 块石块，则该建筑的总层数为（ ） A157 B153 C155 D151 【解答】解：设从上至下各层的石块数构成数列an， 由题设知数列an是首项为 2，公差为 4 的等差数列， 设中间一层的石块数为 an，则 an2+4（n1）310，解得：n78， 该建筑的总层数为 2781155， 故选：C 6 （5
17、 分）已知倾斜角为 3的直线 l 过抛物线 C1：x 22py（p0）的焦点 F，若 l 与圆 C2： x2+（y2）24 相切，则 p（ ） A12 B10 C8 D6 【解答】解：设倾斜角为 3的直线过抛物线 C：x 22py（p0）的焦点 F， 如图，切点为：B，连接 BC2，则|BC2|2， 直线 l 的倾斜角为： 3，所以BFO= 6， 12 |C2F|2|BC2|4，故 F（0，6） 所以 2 = 4 + 2，可得 p12， 故选：A 7 （5 分）据水利部消息，受降雨影响，嫩江尼尔基水库 9 月 4 日 2 时入库流量 3510 立方 米每秒， 依据水利部 全国主要江河洪水编号规
18、定 ， 编号为 “嫩江 2020 年第 1 号洪水” 现 有 7 名消防员志愿者到 A，B，C 三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A 社 区要分配三名志愿者，B，C 两个社区各 2 名志愿者，则不同的分配方法共有（ ） A210 种 B240 种 C420 种 D105 种 【解答】解：由题意可得：先从 7 名消防员志愿者选择 3 名到 A 社区，再从剩下的 4 名 志愿者中选出 2 名到 B 社区，剩下的 2 名志愿者中到 C 社区， 根据分步乘法原理可得不同的分配方法共有： 7 3 4 2 2 2 = 765 321 43 21 1210 种 故选：A 8 （5 分）已知函数 f
19、（x）（xxm+mlnx）ex+1（m0） ，当 x（1，+）时，恒有 f（x） 0，则实数 m 的取值范围是（ ） A2，1 Be，0） Ce， D2e，0） 【解答】解:当 x(1,+)时,恒有(xxm+mlnx)ex+10, 恒有 + 1 xmmlnx(x1),即恒有 e xlnexxmlnxm(x1) 构造函数 g(x)xlnx,() = 1 1 , yg(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增 x1,m0,0e x1,0 xm1, g(e x)g(xm),exxm, 13 两边取自然对数得 mlnxx, , 令() = ,则() = 1 ()2, yh(x)在(1,e)上
20、单调递增,在(e,+)上单调递减, 当 xe 时,h(x)maxh(e)e,em0, m 的取值范围为e,0) 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9 （5 分）射频前端芯片是无线产品中的关键部件，在进入 5G 时代后，其背后牵动的经济 和社会价值尤为重要射频前端芯片包括射频开关、射频低噪声放大器、射频功率放大 器、双工器、射频
21、滤波器等芯片，是移动智能终端产品的核心组成部分，我国是全球最 大的射频前端芯片市场，但国内企业占比较小，国产化任重而道远如图是 20112023 年全球射频前端芯片市场规模及预测（其中年份后带字母“E”为预测） 由图可知，下 列说法中正确的是（某年至某年包含两端年份） （ ） A从 2014 年至 2019 年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长 13%以上 B预测从 2020 年至 2023 年全球射频前端芯片市场规模的增量在逐年上升 C从 2015 年至 2019 年全球射频前端芯片市场规模每年较上一年增长率的平均值为 13.348% D 预测 2019 年至 2021 年全球射频前端
22、芯片市场规模波动比 2013 年至 2015 年的波动大 【解答】解：由折线图可知， 从 2014 年至 2019 年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长 13%以上，所以选项 A 正确； 14 因为根据预测从 2020 年至 2023 年全球射频前端芯片市场规模的增量依次为 19.22% 169.5732.59 亿美元， 16.53%202.1633.41 亿美元，15.55%235.5740.89 亿美元，故增量在逐年上升，所 以选项 B 正确； 因为13.28:13.42:13.43:14.43:13.73 5 = 13.658， 所以从 20015 年至 2019 年全球射频前端芯
23、片市场规模每年比上一年增长率的平均值为 13.658%， 所以选项 C 不正确； 从折线图可以看成波动较大，所以选项 D 正确 故选：ABD 10 （5 分）已知 a0，b0，且 ab2，则（ ） Aa+b22 Ba2+b28（log2a+log2b） Ca+2b4 D2a+4b16 【解答】 解： 对于 A： a0， b0， 且 ab2， 故 a+b 2 = 22，（当且仅当 ab= 2时， 等号成立）故 A 正确； 对于 B：a2+b22ab4，由于 8（log2a+log2b）8log2ab8，故 B 错误； 对于 C： + 2 22 = 4（当且仅当 a2b2 等号成立） ，故 C 正
24、确； 对于 D：2a+4b2a+22b 22:2 2222= 8（当且仅当 a2b2 时等号成立） ， 故 D 错误 故选：AC 11 （5 分）如图，这是函数 f（x）Asin（x+） （A，0，| 2）的部分图象，将 f （x）的图象向左平移 4个单位长度后得到函数 g（x）的图象，则（ ） 15 Af（x）的最小正周期为 2 B 3 Cg（x）的一条对称轴方程为 x2 3 Dg（x）的单调递增区间为k 3，k+ 6（kZ） 【解答】解：对于选项 A，由图可知，最小正周期 T= 4 3（ 5 12 + 3），即选项 A 错误； 对于选项 B，A2，= 2 =2，f（x）2sin（2x+）
25、， 又点（5 12，2）在 f（x）的图象上， 2sin（2 5 12 +）2，即5 6 +2k+ 2，kZ， 2k 3，kZ， | 2，= 3，即选项 B 正确； 对于选项 C，由上可知，f（x）2sin（2x 3） ， g（x）2sin2（x+ 4） 32sin（2x+ 6） ， 令 2x+ 6 = 2 +k，kZ，则 x= 6 + 2 ，kZ， 当 k1 时，x2 3 ，即选项 C 正确； 对于选项 D，令 2x+ 6 2 +2k， 2 +2k，kZ，则 x 3 +k， 6 +k，kZ， 函数 g（x）的单调递增区间为 3 +k， 6 +k，kZ，即选项 D 正确 故选：BCD 12 （
26、5 分）在四面体 ABCD 中，ABC 3，AB 4 3BC4，二面角 ABCD 的大小为 6， 在侧面ABC 诸边及内部有一动点 P，满足点 P 到直线 AB 的距离等于点 P 到平面 BCD 的距离，则（ ） A点 P 到直线 AB 的距离等于点 P 到直线 BC 的距离 B点 P 的轨迹为一段圆弧 CAC13 D点 P 的轨迹长为67 5 16 【解答】解：过点 P 作 PHAB 于 H，作 PM平面 BCD 于 M，过点 M 作 MNBC 于 N，连接 PN， 二面角 ABCD 的大小为 6， PNM= 6，PN2PM， PMPH，PN2PH， 点 P 的轨迹是一端点为点 B，另一端点
27、在 AC 上的线段，即选项 A 和 B 均错误； 在ABC 中，ABC 3，AB 4 3BC4， 由余弦定理知，AC2AB2+BC22ABBCcosABC16+9243cos 3 =13， AC= 13，即选项 C 正确； 在ABC 中，由余弦定理知，cosBCA= 2+22 2 = 13+916 2133 = 13 13 ， 当点 P 在 AC 上时， = = = 2 3， PC= 3 5AC= 313 5 ， CNPCcosBCA= 313 5 13 13 = 3 5，PN= 2 2 = 63 5 ， BP= 2+ ( )2=(6 3 5 )2+ (3 3 5) 2 = 67 5 ， 点
28、P 的轨迹长度为67 5 ，即选项 D 正确 故选：CD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上. 13 （5 分）已知函数 f（x） (:1)(2:)为奇函数，则实数 a 2 【解答】解：根据题意，函数 f（x） (:1)(2:)为奇函数，则 f（x）f（x） ， 即 ; (1;)(;2) = (:1)(2:)， 17 变形可得（a+2）x0，必有 a2， 故答案为：2 14 （5 分） 在本届秋季运动会中， 同学们热情高涨， 踊跃报名， 有不少同学报了多个项目 高 三（四）班有
29、50 名学生，报了 100 米短跑或 1500 米长跑的有 16 人，其中报了 100 米短 跑的同学有10名， 报了1500米长跑的同学有12名， 则该班既报了100米短跑又报了1500 米长跑的的学生数占该班学生总数的比例是 12% 【解答】 解： 该班既报了 100 米短跑又报了 1500 米长跑的的学生数10+12166 人， 占该班学生总数的比例= 6 50 =12% 15 （5 分） 九章算术卷五商功中，记载一个问题“今有圆堡瑽（cong） ，”这里 所说的圆堡瑽就是圆柱体形土筑小城堡如图，一圆堡瑽的轴截面是边长为 4 的正方形 ABCD，点 E 为上底圆周上一个动点（与 C、D
30、点不重合） ，三棱锥 BACE 外接球的表 面积为 32 【解答】解：圆堡瑽的轴截面是边长为 4 的正方形 ABCD，点 E 为上底圆周上一个动点 （与 C、D 点不重合） ， 取 AC 的中点为 O，则 CAOBOEOC22， 所以三棱锥 BACE 的外接球的半径为 22， 所以三棱锥 BACE 外接球的表面积为 4 (22)2=32 故答案为：32 18 16 （5 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的右顶点为 A，左、右焦点分别为 F1， F2， 点 P 是双曲线右支上一点， PF1交左支于点 Q， 交双曲线的渐近线 y x 于点 R， M 为 PQ 的中点，若 R
31、F2PF1，且 AMPF1，|RF2|23，则双曲线 C 的标准方程为 2 3 2 9 = 1 【解答】解：因为 PF1RF2，所以|CR|c，设 R（x 0， 0） ， 所以0 2 + ( 0) 2 = ，解得 x0a，所以 R（a，b） ， 所以直线 PF1的斜率为 :，设 M（x1，y1） ，P（x2，y2） ，Q（x3，y3） ， 因 为 x 2 2 2 2 2 2 = 1 3 2 2 3 2 2 = 1 ， 所 以 1 1 : = 2 2 ， 因为 1 1; : = 1 ， 1 1: = : ， 联立，解得 x 1= 3 2 ，用可得1: 1 : = 2 2 : ， 结合可得 = 2
32、，从而 =3，所以2= 3， 所以 c23，因为 = 3 2+ 2= 12 ，所以 a= 3，b3， 所以双曲线的方程为 2 3 2 9 = 1， 故答案为： 2 3 2 9 = 1 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 （10 分）从2a1a3a2，a4a38，a3a916a52这三个条件中任选一个，补充 在下列问题中，并作答 问题：已知数列an为等比数列，且_ 19 若 an0，a12，求数列an+log2an的前 n 项和 Tn 【解答】解：若选，设等比数列an的公比为 q
33、， 因为 2a1a3a2，所以 2a1a1q2a1q，又 a12， 所以 q2q20，即（q+1） （q2）0， 解得 q1 或 q2， 由于 an0，所以 q2， 所以 an2n， 于是 log2anlog22nn， 所以 Tn（a1+a2+a3+an）+（1+2+3+n）= 2(12) 12 + (+1) 2 =2n+1+ (+1) 2 2 若选，设等比数列an的公比为 q， 因为 a12，a4a38，所以 2q32q28，即 q3q240，即（q2+q+2） （q2）0， 解得 q2，所以 an2n， 于是 log2anlog22nn， 所以 Tn（a1+a2+a3+an）+（1+2+3
34、+n）= 2(12) 12 + (+1) 2 =2n+1+ (+1) 2 2 若选，设等比数列an的公比为 q， 因为 a3a916a52，an0，所以 a64a5，所以 q4， 所以 an24n 122n1， 于是 log2anlog222n 12n1， 所以 Tn （a1+a2+a3+an） + （1+3+5+2n1） = 2(14) 14 + (1+21) 2 = 2 3 （4n1） +n2 18 （12 分）在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 2sin2（B+C）sinBsinC 2（sinBsinC）2 （1）求 sinA； （2）若 a22，求ABC 面积的
35、最大值 【解答】解： （1）2sin2（B+C）sinBsinC2（sinBsinC）2， 2sin2AsinBsinC2（sin2B2sinBsinC+sin2C） ， sin2B+sin2Csin2A= 3 2sinBsinC， 由正弦定理知， = = ， 20 b2+c2a2= 3 2bc， 由余弦定理知，cosA= 2+22 2 = 3 2 2 = 3 4， A（0，） ，sinA= 1 2 = 7 4 （2）由（1）知，b2+c2a2= 3 2bc， b2+c2a2+ 3 2bc8+ 3 2bc2bc， bc16，当且仅当 bc4 时，等号成立， ABC 面积 S= 1 2bcsin
36、A 1 2 16 7 4 =27， 故ABC 面积的最大值为 27 19 （12 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BB1的中点，F 为 DD1的中点 （1）求证：平面 BC1F平面 AD1E； （2）记BC1F 的重心为 G，求直线 GB1与平面 AD1E 所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：取 CC1中点 M，连接 ME、MD， 因为 E 为 BB1中点，所以 MEBC，MEBC， 又因为 ADBC，ADBC，所以 MEAD，MEAD， 所以四边形 ADME 为平行四边形，所以 AEDM， 又因为 FC1DM，所以 FC1AE， 又因为 FBD1E，C1FFBF，D
37、1EEAE， 所以平面 BC1F平面 AD1E （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 AB6， 由已知得各点坐标如下： B（0，6，0） ，F（6，0，3） ，C1（6，6，6） ，B1（0，6，6） ， 所以 G（4，4，3） ， 21 1 =（4，2，3） ， =（6，6，3） ，1 =（6，0，6） ， 设平面 AD1E 的法向量为 =（x，y，z） ， 又因为平面 BC1F平面 AD1E， = 6 6 + 3 = 0 1 = 6 + 6 = 0 ，令 z2， =（2，1，2） 所以 sin= |1 | |1 | | = 12 293 = 429 29 故直线 GB1与平面 A
38、D1E 所成角的正弦值为429 29 20 （12 分）学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距 离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学 习某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取 100 名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示 （1）若此次学习数学时间 X 整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设 ，分别 为这 100 名学生学习数学时间的平均值和标准差， 并求得 76， 11 该校共有 1000 名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过 87 分钟的学生人数（结果四舍五人取
39、 整数） ； （2）若从全市学生中（利用电脑抽取学籍号的方式）有放回地随机抽取 3 次，每次抽取 1 人，用频率估计概率，设其中数学学习时间在 80 分钟及以上的次数为 ，求随机变量 的分布列和均值 参考公式：若随机变量服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6827， P（2X+2）0.9545，P（3X+3）0.9973 22 【解答】解： （1）76，11，+87， P（X87） 10.6827 2 =0.15865， 0.158651000159（人） ， 估计该校学生中学习数学时间超过 87 分钟的学生数为 159 人 （2）从全市学生中有放回地抽取 1 名学生，该学生学习数学
40、时间在 80 分钟及以上的概 率为2 5， 随机变量 B（3，2 5） ， P（0）= 3 0(2 5) 0(3 5) 3 = 27 125， P（1）= 3 1(2 5)( 3 5) 2 = 54 125， P（2）= 3 2(2 5) 2(3 5) = 36 125， P（3）= 3 3(2 5) 3(3 5) 0 = 8 125， 的分布列为： 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 E（）= 0 27 125 + 1 54 125 + 2 36 125 + 3 8 125 = 6 5 21 （12 分）已知函数 f（x）（x1）ex，g（x）mx2（m
41、（1 2，1） （1）判断 f（x）的单调性； （2）求函数 F（x）f（x）g（x）在0，m上的最大值 【解答】解： （1）f（x）（x1）ex，则 f（x）xex， 令 f（x）0，解得：x0，令 f（x）0，解得：x0， 故 f（x）在（，0）递减，在（0，+）递增； 23 （2）F（x）f（x）g（x）（x1）exmx2， 则 F（x）x（ex2m） ， 令 F（x）0，解得：x10，x2ln（2m） ， 令 h（m）ln（2m）mlnmm+ln2， 则 h（m）= 1 1= 1 0， 故 h（m）在（1 2，1上单调递增， 故 h（m）ln21ln2 0， 从而 ln（2m）m，故
42、ln（2m）（0，m） ， 故当 x（0，ln（2m） ）时，F（x）0， 当 x（ln（2m） ，m）时，F（x）0，故 F（x）maxmax1， （m1）emm3， 令 H（m）（m1）emm3+1，则 H（m）m（em3m） ， 令 （m）em3m，则 （m）em3e30， 故 （m）在（1 2，1单调递减，而 （ 1 2） （1）（ 3 2） （e3）0， 故存在 x0（1 2，1，使得 （x0）0，当 m（ 1 2，x0）时，（m）0，当 m（x0，1） 时，（m）0， 故 H（m）在（1 2，x0）递增，在（x0，1）递减， H（1 2）= 7 8 2 0，H（1）0， 故 H（m
43、）0 在（1 2，1上恒成立， （当且仅当 m1 时“”成立） 综上：函数 F（x）在0，m上的最大值是（m1）emm3 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（2， 6 2 ）关于原点 O 对称，且 A、B 及它们关于 x 轴对称的点都在曲线 T 上，P 是曲线 T 上不同于上述四点的一动点，且直 线 AP 与 BP 的斜率之积等于3 4 （1）求曲线 T 的方程，并说明是什么曲线； （2）设直线 l：ykx+m 与曲线 T 相交于 M、N 两点，以线段 CM，ON 为邻边作平行四 边形 CMEN，其中顶点 E 在曲线上，求|OE|的取值范围 【解答】解： （1）设
44、点 P 的坐标为（x，y） ， 24 因为直线 AP 与 BP 的斜率之积为 3 4，且点 B 与点 A（2， 6 2 ）关于原点 O 对称， 所以 ; 6 2 ;2 : 6 2 :2 = 3 4， 化简得 2 4 + 2 3 =1（x2） ， 所以曲线 T 的方程为 2 4 + 2 3 =1（x2） ，该曲线为一个椭圆（除去横坐标为2的 四点） （2）当 k0 时，E（0，2m）在椭圆 T 上，解得 m 3 2 ，所以|OE|= 3， 当 k0 时，则由 = + 2 4 + 2 3 = 1，消去 y 化简得（3+4k 2）x2+8kmx+4m2120， 所以64k2m24（3+4k2） （4
45、m212）48（3+4k2m2）0， 设 M，N，E 点的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x0，y0） ， 则 x0 x1+x2= 8 3+42，y0y1+y2k（x1+x2）+2m= 6 3+42， 由于点 E 在椭圆 T 上， 所以0 2 4 + 02 3 =1， 从而 1622 (3:42)2 + 122 (3:42)2 =1， 化简得 4m23+4k2，满足0， 所 以 |OE| = 02+ 02= ( 8 3+42) 2+ ( 6 3+42) 2 = 4 2(162+9) (3+42)2 =16 2+9 42+3 = 4 3 42+3， 因为 4k2+33， 有 0 3 42+3 1，故3|OE|2， 综上，所以|OE|的取值范围为3，2）
