1、【 ;百万教育资源文库 】 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国 新课标卷 1） 理科数学答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 D 【解析】 ? ? ? ?2A x x 4 x 3 0 x 1 x 3? ? ? ? ? ? ?， ? ? 3B x 2 x 3 0 x x2? ? ? ? ?，故 3A B x x 32? ? ? 【提示】 解不等式求出集合 A ， B ，结合交集的定义，可得答案 【考点】 交集及其运算 2.【答案】 B 【解析】 (1 i)x 1 yi? ? ? ， x xi 1 yi? ? ? ? ，即 x1xy?，解得 x1y1?，即 x yi 1 i
2、2? ? ? ? 【提示】 根据复数相等求出 x ， y 的值，结合复数的模长公式进行计算即可 【考点】 复数求模 3.【答案】 C 【解析】 等差数列 an前 9 项的和为 27， 1 9 5959 (a a ) 9 2 aS 9 a22? ? ?， 5a 27?， 5a3? ，又 10a8? ，d1?， 100 10a a 90d 98? ? ? ? 【提示】 根据已知可得 5a3? ，进而求出公差，可得答案 【考点】 等差数列的性质 4.【答案】 B 【解析】 设小明到达时间为 y ，当 y 在 7： 50 至 8： 00，或 8： 20 至 8： 30 时，小明等车时间不超过 10 分
3、钟，故 20 1P 40 2? 【提示】 求出小明等车时间不超过 10 分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案 【考点】 几何概型 5.【答案】 A 【解析】 双曲线两焦点间的距离为 4， c2?，当焦点在 x 轴上时，可得 224 (m n ) (3 m n )? ? ? ?，解得2m1? ， 方程 22xy 1m n 3m n?表示双曲线， 22(m n )(3 m n ) 0? ? ? ?，可得 (n 1)(3 n) 0? ? ? ，解得1 n 3? ? ，即 n 的取值范围是 (1,3)? ， 当焦点在 y 轴上时，可得 224 ( m n ) (3 m n )? ? ?
4、? ?，解得 2m1? ，【 ;百万教育资源文库 】 无解 【提示】 由已知可得 c2? ，利用 224 (m n ) (3 m n )? ? ? ?，解得 2m1? ，又 22(m n )(3m n ) 0? ? ?，从而可求 n 的取值范围 【考点】 双曲线的标准方程 6.【答案】 A 【解析】 由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉 18 后的几何体，如图 ： 可得 37 4 28R8 3 3?， R2? ， 它的表面积是 22714 2 + 3 2 = 1 7 84? ? ? ? 【提示】 判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积 【考点】 由三
5、视图求面积、体积 7.【答案】 D 【解析】 2x|f (x ) y 2 x e? ? ?， 2 x 2 x| | | |f ( x ) 2 ( x ) e 2 x e? ? ? ? ? ? ?，故函数为偶函数，当 x2? 时，2y 8 e (0,1)? ? ? ，故排除 A， B；当 x 0,2? 时， 2xf (x) y 2x e? ? ?， xf (x ) 4x e 0? ? ? ? ?有解，故函数2x|y 2x e?在 0,2 不是单调的，故排除 C 【提示】 根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答 【考点】 函数的图象 8.【答案】 C 【解析】
6、 a b 1?， 0 c 1?， ?函数 cyx? 在 (0, )? 上为增函数，故 ccab? ，故 A 错误；函数 c1yx? 在(1, )? 上为减函数，故 c 1 c 1ab? ，故 ccba ab? ，故 B 错误； alog c 0? ，且 blog c 0? ， alogb 1? ，即caablog b log c 1log a log c ? ，即 ablog c log c? ， 故 D错误； ab0 log c log c? ? ? ? ，故 abblog c alog c? ? ，即 abblog c alog c? ，即 baalog c blog c? ，故 C 正确
7、 【提示】 根据已知中 a b 1?， 0 c 1?，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案 【考点】 不等式比较大小 ， 对数值大小的比较 【 ;百万教育资源文库 】 9.【答案】 C 【解析】 输入 x0? ， y1? ， n1? ，则 x0? ， y1? ，不满足 22x y 36?，故 n2? ，则 1x 2? ， y2? ，不满足 22x y 36?，故 n3? ，则 3x 2? ， y6? ，满足 22x y 36?， 故 y 4x? 【提示】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x ， y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变
8、量值的变化情况，可得答案 【考点】 程序框图 10.【答案】 B 【解析】 设抛物线为 2y 2px? ， 如图： AB 4 2? ， AM 2 2? ， DE 2 5? ， DN 5? ， pON 2? ，2A (2 2)x 42p p?， OD OA? ， 2216 p85p4? ? ?， 解得 p4? ， C 的焦点到准线的距离为 4 【提示】 画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可 【考点】 圆与圆锥曲线的综合 ， 抛物线的简单性质 11.【答案】 A 【解析】 如图 ， ? 平面 11CBD ， ? 平面 ABCD m? ， ? 平面 11ABAB n?
9、，可知： 1n CD ， 11m BD ，11CBD 是正三角形 ， m 、 n 所成角就是 11CD B 60?， 则 m 、 n 所成角的正弦值为 32 【提示】 画出图形，判断出 m 、 n 所成角，求解即可 【考点】 异面直线及其所成的角 12.【答案】 B 【解析】 x 4? 为 f(x) 的零点， x 4? 为 y f(x)? 图象的对称轴， 2n 1 T42?，即 2n 1 2 (n ) N42? ? ，【 ;百万教育资源文库 】 即 2n 1 )N(n? ? ? ，即 ? 为正奇数， f(x) 在 5,18 36?上单调，则 5 T36 18 12 2? ? ? ?，即 2 T
10、 6? ，解得 12? ，当 11? 时 ， 11 k4? ? ， k?Z ， 2? ， 4? ，此时 f(x) 在 5,18 36?不单调，不满足题意；当 9? 时， 9 k4? ? ， k?Z ， 2? ， 4? ，此时 f(x) 在 5,18 36?单调，满足题意；故 ? 的最大值为 9 【提示】 根据已知可得 ? 为正奇数，且 12? ，结合 x 4? 为 f(x) 的零点， x 4? 为 y f(x)? 图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合 f(x) 在 5,18 36?上单调，可得 ? 的最大值 【考点】 正弦函数的对称性 第 卷 二、填空题 13.【答案】 2? 【解析】
11、2 2 2a b a b? ? ? ，可得 ab 0? ， 向量 a (m,1)? ， b (1,2)? ， m 2 0? ，解得 m2? 【提示】 利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可 【考点】 平面向量数量积的运算 14.【答案】 10 【解析】 5(2x x)? 的展开式中，通项公式为 r25r 5 r r r 5 rr 1 5 5T C ( 2 x ) ( x ) C 2 x ? ?，令 r532?，解得 r4? ，3x? 的系数 452C 10? 【提示】 利用二项展开式的通项公式求出第 r1? 项，令 x 的指数为 3，求出 r ，即可求出展开式中 3x
12、的系数 【考点】 二项式定理的应用 15.【答案】 64 【解析】 等比数列 na 满足 13a a 10?， 24a a 5?，可得 13q(a a ) 5?，解得 1q 2? ， 211a q a 10?，解得 1a8? ， 则 22n1 nn2 3 n 1 n17 n n32n n()1 1 n ( n 1 ) 222a a a q 8 2a ? ? ? ? ? ? ， 当 n3? 或 4 时，表达式取得最大值 12 622 2 64? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 求出数列的等比与首项，化简 1 2 naa a ， 然后求解最值 【考点】 数列与函数的综合 ， 等比数列的性质
13、16.【答案】 216000 元 【解析】 设 A ， B 两种产品分别是 x 件和 y 件，获利为 z 元 ， 由题意得x N,y N1.5 x 0.5 y 150x 0.3 y 905x 3y 600? ? ? ?， z 2100x 900y?，不等式组表示的可行域如图 ， 由题意可得 x 0.3y 905x 3y 600? ?，解得 x 60y 100? ?， A(600,100) ，目标函数z 2100x 900y?经过 A 时，直线的截距最大，目标函数取得最大值 2 1 0 0 6 0 9 0 0 1 0 0 2 1 6 0 0 0? ? ? ?元 【提示】 设 A ， B 两种产品
14、分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可 【考点】 简单线性规划的应用 三、解答题 17.【答案】（ ） 在 ABC 中， 0C?， sinC 0?， 已知等式利用正弦定理化简得 2 c o s C ( s i n A c o s B s i n B c o s A ) s i n C?， 整理得 2 c o s C sin ( A B ) sin C?，即 ? ?2 c o s C s in ( A B ) s in C? ? ?， 2 cos C sin C sin? ， 1cosC 2?， C
15、3?； （ ）由余弦定理得 22 17 a b 2ab 2? ? ? ， 2(a b) 3ab 7? ? ? ?， ab 6?， 2(a b) 18 7? ? ? ?， a b 5? ? ? ，ABC? 的周长为 57? 【提示】（ ） 已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC 不为 0 求出 cosC 的值，即可确定出出 C 的度数； （ ）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出 ab? 的值，即可求 ABC 的周长 【考点】 解三角形 【 ;百万教育资源文库 】 18.【答案】（ ） ABEF 为正方形， AF EF?，
16、AFD 90?， AF DF?， DF EF F? ， AF?平面 EFDC ， AF? 平面 ABEF ， ?平面 ABEF? 平面 EFDC ； （ ）由 AF DF? ， AF EF? ，可得 DFE? 为二面角 D AF E?的平面角 ， 由 ABEF 为正方形， AF? 平面 EFDC ， BE EF? ， BE?平面 EFDC ， 即有 CE BE? ，可得 CEF? 为二面角 C BE F?的平面角 ， 可得 D FE C EF 60? ? ? ? AB EF ， AB? 平面 EFDC ， EF? 平面 EFDC ， AB? 平面 EFDC ， 平面 EFDC 平面 ABCD
17、CD? ， AB? 平面 ABCD ， AB CD? ， CD EF? ， ?四边形 EFDC 为等腰梯形 ， 以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 FDa? ，则 E(0,0,0) ， B(0,2a,0) ，a3C ,0, a22?， A(2a,2a,0) ， EB (0,2a,0)? ， a3B C , 2a , a22?， AB ( 2a,0,0)? ， 设平面 BEC 的法向量为 1 1 1m (x ,y ,z )? ，则 mEB 0mBC 0? ?，则 11 1 12 a y 0a3x 2 a y a z 022? ? ? ?，取 m ( 3,0, 1)?， 设平面 ABC 的法向量为 2 2 2n (x ,y ,z )? ，则 n BC=0n AB 0?，则，取 n (0, 3,4)? ， 设二面角 E-BC-A 的大小为 ? ， 则 m n 4 2 1 9c o s19| m | | n | 3 1 3 1 6? ? ? ? ?，则二面角 E-BC-A 的余弦值为 21919? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】（ ） 证明 AF? 平面 EFDC ，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEF? 平面 EFDC
