1、- 1 - 第 2 讲 磁场及带电粒子在磁场中的运动 析考情 明考向_考情分析_透视命题规律 一、构建体系 透析考情 思维导图 考情分析 1.高考对本讲的命题，以 选择题单独命题为主，考 查磁场的基本性质，难度 中等；也有计算题形式， 一般会考查带电粒子在有 界磁场中的运动，题目较 为综合。 2.从命题的知识点来看， 对与洛伦兹力有关的带电 粒子在有界匀强磁场中的 运动的考查最多，如 2020 年天津卷第 7 题，其次是 与安培力有关的通电导体 在磁场中的加速或平衡问 题及磁场的叠加问题。 3.命题趋势体现出更关注 学生综合分析能力和运用 数学知识解决物理问题的 能力。 二、熟记规律 高效突破
2、 1掌握“两个磁场力” (1)安培力：FBIL(IB)。 (2)洛伦兹力：FqvB(vB)。 2用准“两个定则” (1)对电流的磁场用安培定则。 (2)对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用左手定则。 3明确两个常用的等效模型 (1)变曲为直： 图甲所示通电导线， 在计算安培力的大小和判断方向时均可等效为 ac 直线电流。 (2)化电为磁：环形电流可等效为小磁针，通电螺线管可等效为条形磁铁，如图乙。 4画好“两个图” (1)对安培力作用下的静止、运动问题画好受力分析图。 (2)对带电粒子的匀速圆周运动问题画好与圆有关的几何图形。 5记住“两个注意” (1)洛伦兹力永不
3、做功。 (2)安培力可以做正功，也可以做负功。 6灵活应用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的关系式 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式：rmv qB。 - 2 - 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式：T2r v 2m qB 。 研考向 提能力_考向研析_掌握应试技能 考向一 磁场的性质及磁场对电流的作用 1电流磁场的合成 对于电流在空间某点的磁场，首先应用安培定则判出各电流在该点的磁场方向(磁场方向与该 点和电流连线垂直)，然后应用平行四边形定则合成。 2电流与电流的相互作用 通常画出一个电流的磁场方向，分析另一电流在该磁场中的受力，来判断电流的受力情况。 3求解导体棒运
4、动的方法 (1)分析：正确地对导体棒进行受力分析，应特别注意通电导体棒受到的安培力的方向，安培 力与导体棒和磁感应强度组成的平面垂直。 (2)作图：必要时将立体图的受力分析图转化为平面受力分析图，即画出与导体棒垂直的平面 内的受力分析图。 (3)求解：根据平衡条件或牛顿第二定律或动能定理列式分析求解。 典例 1 (多选)(2020 江西南昌二模)如图所示，三条长直导线 a、b、c 都通以垂直纸面的电 流， 其中 a、 b 两根导线中电流方向垂直纸面向外。 O 点与 a、 b、 c 三条导线距离相等， 且 Ocab。 现在 O 点垂直纸面放置一小段通电导线，电流方向垂直纸面向里，导线受力方向如图
5、所示， 则可以判断( ) AO 点处的磁感应强度的方向与 F 相同 B长导线 c 中的电流方向垂直纸面向外 C长导线 a 中电流 I1小于 b 中电流 I2 D长导线 c 中电流 I3小于 b 中电流 I2 解析 由左手定则可知，O 点处的磁感应强度方向与安培力 F 方向垂直且斜向右下方，故 A 错误；O 点处的磁场方向可沿水平向右和竖直向下分解，长导线 a 和 b 在 O 点处产生的磁场 方向均沿竖直方向，所以长导线 c 在 O 点处产生的磁场方向应水平向右，由右手螺旋定则可 知，长导线 c 中的电流方向垂直纸面向外，长导线 a 在 O 点产生的磁场方向竖直向上，长导 线 b 在 O 点产生
6、的磁场方向竖直向下，所以长导线 a 中电流 I1小于 b 中电流 I2，由于不知道 安培力的具体方向， 所以无法确定长导线 c 中电流 I3与 b 中电流 I2的大小关系， 故 B、 C 正确， D 错误。 答案 BC 1(2019 高考全国卷)如图，等边三角形线框 LMN 由三根相同的导体棒连接而成，固定于 匀强磁场中，线框平面与磁感应强度方向垂直，线框顶点 M、N 与直流电源两端相接。已知 导体棒 MN 受到的安培力大小为 F，则线框 LMN 受到的安培力的大小为( ) A2F B1.5F C0.5F D0 解析： 设每根导体棒的电阻为 R， 长度为 L， 则电路中， 上、 下两支路电阻之
7、比为 R1R22RR - 3 - 21，上、下两支路电流之比 I1I212。如图所示，由于上支路通电的导体受安培力的 有效长度也为 L，根据安培力计算公式 FILB，可知 FFI1I212，得 F0.5F，根 据左手定则可知，两力方向相同，故线框 LMN 所受的合力大小为 FF1.5F，选项 B 正确。 答案：B 2(2020 山东潍坊高三 4 月阶段检测)无限长载流直导线在其周围产生的磁场的磁感应强度 B kI d，其中 k210 7 N/A2，d 是距离导线中心轴线的距离。两根无限长的直导线 A、C 相距 L1 m，分别载有电流 I13 A 和 I28 A，方向如图所示，sin 37 0.
8、6，cos 37 0.8，则 图中 P 点的磁感应强度大小为( ) A110 6 T B210 6 T C310 6 T D 510 6 T 解析：作两电流在 P 点产生的磁感应强度如图所示，由题意，A 在 P 点产生的磁感应强度 B1 k I1 Lsin 37 110 6 T，C 在 P 点产生的磁感应强度 B 2k I2 Lsin 53 210 6 T，由平行四边 形定则知 P 点的磁感应强度大小 B B21B22 510 6 T，选项 D 正确。 答案：D 3(2020 福建泉州二中模拟)如图，光滑斜面上放置一根通有恒定电流的导体棒，空间有垂直 斜面向上的匀强磁场 B，导体棒处于静止状态
9、。现将匀强磁场的方向沿图示方向缓慢旋转到水 平方向，为了使导体棒始终保持静止状态，匀强磁场的磁感应强度应同步( ) A增大 B减小 C先增大，后减小 D先减小，后增大 解析：对导体棒进行受力分析如图所示，当磁场方向缓慢旋转到水平方向，安培力方向缓慢 从沿斜面向上旋转到竖直向上，因光滑斜面对通电导体棒的支持力方向始终不变，导体棒的 重力大小和方向也始终不变，初始时刻安培力沿斜面向上，与支持力方向垂直，此时安培力 - 4 - 最小，所以随着磁场方向的改变，若使导体棒始终保持静止状态，安培力逐渐增大，直到等 于导体棒的重力，而安培力 F安BIL，所以磁感应强度一直增大，B、C、D 错误，A 正确。
10、答案：A 考向二 带电粒子在匀强磁场中的运动 1常用公式 2“一画、三确定、一注意” (1)画轨迹：根据题意，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。 (2)圆心的确定：轨迹圆心 O 总是位于入射点 A 和出射点 B 所受洛伦兹力 F洛作用线的交点上 或 AB 弦的中垂线 OO与任一个 F洛作用线的交点上，如图所示。 (3)半径的确定：利用平面几何关系，求出轨迹圆的半径，如 r AB 2sin 2 AB 2sin ，然后再与半径 公式 rmv qB联系起来求解。 (4)时间的确定：t 2 T m qB或 t s v R v 。 (5)注意圆周运动中的对称规律：如从同一边界射入的粒子，从同一边界射出
11、时，速度方向与 边界的夹角相等；在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。 典例 2 (2019 高考全国卷)如图，边长为 l 的正方形 abcd 内存在匀强磁场，磁感应强度大 小为 B、方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外。ab 边中点有一电子发射源 O，可向磁场内沿垂 直于 ab 边的方向发射电子。已知电子的比荷为 k，则从 a、d 两点射出的电子的速度大小分别 为( ) - 5 - A.1 4kBl， 5 4 kBl B1 4kBl， 5 4kBl C.1 2kBl， 5 4 kBl D1 2kBl， 5 4kBl 解析 若电子从 a 点射出，运动轨迹如图线， 有 qvaBm
12、v 2 a Ra Ral 4 解得 vaqBRa m qBl 4m kBl 4 若电子从 d 点射出，运动轨迹如图线， 有 qvdBmv 2 d Rd R2d(Rdl 2) 2l2 解得 vdqBRd m 5qBl 4m 5kBl 4 选项 B 正确 答案 B 规律总结 “四点、六线、三角”巧解运动轨迹 (以粒子沿径向射入圆形磁场为例) (1)四点：入射点 B、出射点 C、轨迹圆圆心 A、入射速度直线与出射速度直线的交点 O。 (2)六线：圆弧两端点所在的轨迹半径 r、入射速度直线 OB 和出射速度直线 OC、入射点与出 射点的连线 BC、圆形磁场的圆心与轨迹圆圆心的连线 AO。 (3)三角：
13、速度偏转角COD、圆心角BAC、弦切角OBC，其中偏转角等于圆心角，也等 于弦切角的两倍。 4(2020 四川广元市调研)如图所示，半径为 R 的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。 两个质子 M、N 沿平行于直径 cd 的方向从圆周上同一点 P 射入磁场区域，P 点与直径 cd 间的 - 6 - 距离为R 2，质子 M、N 入射的速度大小之比为 12，ab 是垂直 cd 的直径，质子 M 恰好从 b 点射出磁场。不计质子的重力和质子间的作用力，则两质子 M、N 在磁场中运动的时间之比 为( ) A21 B31 C32 D34 解析：由题意作出两质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，质子
14、M 在磁场中运动的半 径为 R， 轨迹圆弧所对圆心角 1120 ；根据 eBvmv 2 r 得 rmv eB，则质子 N 的轨道半径为 2R， 再由几何关系得，轨迹圆弧所对圆心角 260 ；质子在磁场中做圆周运动的周期 T2r v 2m eB ，运动的时间满足 t 360 T，解得 t1t221，故 A 正确，B、C、D 错误。 答案：A 5(2020 高考全国卷)一匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，其边界如 图中虚线所示，ab 为半圆，ac、bd 与直径 ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为 m、电荷量为 q(q0)的粒子，在纸面内从 c 点垂直于 ac 射
15、入磁场，这些粒子具有各种速率。 不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( ) A.7m 6qB B.5m 4qB C.4m 3qB D3m 2qB 解析：粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。 设轨迹交半圆ab 于 e 点，ce 中垂线交 bc 于 O 点，则 O 点为轨迹圆心，如图所示。圆心角 2，当 最大时， 有最大值，当 ce 与ab 相切时， 最大，此时 4 3，则 t 2T 4m 3qB， 故选 C。 - 7 - 答案：C 6(2020 河北石家庄高三下学期 5 月二模)如图所示，边长为 L 的等边三角形 ABC 内、外
16、分布 着两方向相反的匀强磁场， 三角形内磁场方向垂直纸面向外， 两磁场的磁感应强度大小均为 B。 顶点 A 处有一粒子源，粒子源能沿BAC 的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为 m、 电荷量均为q，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度 v0为哪一值时粒子能通过 B 点( ) A.2qBL m B.3qBL 2m C.2qBL 3m DqBL 7m 解析：粒子带正电，且经过 B 点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为 60 ，所 以粒子运行半径 rL n(n1，2，3，)，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 牛顿第二定律得 qvBmv 2 r ，解得 vBqr
17、 m BqL mn (n1，2，3，)，由此可知，只有 vqBL 7m 的 粒子能通过 B 点，故 A、B、C 不符合题意，D 符合题意。 答案：D 考向三 带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值、多解问题 1常用结论 (1)刚好能穿出磁场边界的条件是粒子轨迹与边界相切。 (2)当速度 v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，粒子在有界磁场中的运动时间越长。 (3)当速度大小 v 变化时，仍然是运动轨迹所对圆心角大的粒子在磁场中运动的时间长。 2最小磁场区域面积的求解 在粒子运动过程分析(正确画出运动轨迹示意图)的基础上，借助几何关系先确定最小区域示意 图，再利用几何关系求有界磁场区域的最小
18、面积。注意对于圆形磁场区域： (1)粒子射入、射出磁场边界时的速度的垂线的交点即轨迹圆圆心； - 8 - (2)所求最小圆形磁场区域的直径等于粒子运动轨迹的弦长。 3动态圆模型 (1)从某点 O 向各个方向等速(异向)发射大量相同的粒子，画出某个方向粒子的轨迹圆，以 O 为轴“旋转”圆，从而找到临界条件，如图甲所示。 (2)从某点 O 向同一方向异速(同向)发射大量相同的粒子，按照半径从小到大的次序，画出不 同速度粒子的轨迹圆，从而找到临界条件，如图乙所示。 (3)从不同点向同一方向等速(同向)发射大量相同的粒子，画出某个方向粒子的轨迹圆，将该圆 平移，从而找到临界条件，如图丙所示。 典例 3
19、 如图所示，在 0 xa、0ya 2范围内有垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场，磁感 应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的 带正电粒子， 它们的速度大小相同， 速度方向均在xOy平面内， 与 y 轴正方向的夹角分布在 0 90 范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a 2a 之间，从发射粒子到粒子全部离开 磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求： (1)最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度的大小； (2)最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦值。 思路点拨 本题用到了处理临界问题
20、的思维方法定圆旋转法。具体思维过程如下： 解析 (1)设粒子的发射速度大小为 v，粒子做圆周运动的轨道半径为 R，由牛顿第二定律和 - 9 - 洛伦兹力公式得 qvBmv 2 R 由式得 Rmv qB 当a 2R0)的粒子，从 MN 上的 O 点以大小不同的速度沿纸面向各个方向射入磁场中。 忽略所有粒子的重力和粒子间相互作用，求： (1)能够通过 P 点的带电粒子的最小速度； (2)带电粒子从 O 点到达 P 点所用最长时间。 解析：(1)根据牛顿运动定律有 qvBmv 2 r 解得粒子做圆周运动的半径 rmv qB 可见，粒子的轨道半径跟速度大小成正比。根据题意，能够通过 P 点且速度最小的粒子，其 轨迹一定是以 OP 为直径的圆周，故带电粒子对应的轨道半径 rminL 2 解得 vminqBL 2m 。 (2)因带电粒子在磁场中运动的周期与速度无关，在所有能够到达 P 点的粒子中，运动中通过 的圆弧所对圆心角最大的粒子所用时间最长，此圆心角即粒子从 O 点运动到 P 点的过程中速 度的偏向角。分析粒子的运动轨迹可知，沿 OM 方向射入磁场的粒子过 P 点时圆弧所对圆心 角最大，为 2() 粒子从 O 点到达 P 点的时间 t 2T 粒子在磁场中运动的周期 T2m qB 解得最长时间 t2（）m qB 。 答案：(1)qBL 2m (2)2（）m qB
