1、山西省阳泉市 2021 届高三上学期 期末考试（文）试题 第第卷卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 |20Ax xx， |Bx yx，则AB （ ） A 1|2xx B |02xx C 1|x x D |0 x x 2.设 i 是虚数单位，若复数 10 3i aaR 是纯虚数，则a的值为 ( ) A3 B1 C1 D3 3.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为
2、 60 秒.若一名行人来到 该路口遇到红灯，则至少需要等待 25 秒才出现绿灯的概率为（ ） A. 5 12 B. 5 8 C. 7 12 D. 7 8 4.如图，AB 是单位圆 O 的直径，且满足DBCDAC，则（ ） A1 B 3 2 C 3 2 D 5.“二万五千里长征”是 1934 年 10 月到 1936 年 10 月中国工农红军进行的一次战略转移， 是人类历史上的伟大奇迹， 向世界展示了中国工农红军的坚强意志， 在期间发生了许多可歌 可泣的英雄故事.在中国共产党建党 100 周年之际，某中学组织了“长征英雄事迹我来讲” 活动，已知该中学共有高中生 2700 名，用分层抽样的方法从该
3、校高中学生中抽取一个容量 为 45 的样本参加活动，其中高三年级抽了 14 人，高二年级抽了15人，则该校高一年级学 生人数为（ ） A720 B960 C1020 D1680 AC AD 3 6.双曲线0, 01 2 2 2 2 ba b y a x 的左、 右焦点分别为 21,F F.过 1 F作斜率为1的直线交y轴 于点A，交双曲线右支交于点B，若ABAF 1 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. 3 B.2 C. 5 D.21 7.设变量 , x y 满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则 22 13yx的最小值为（ ） A2 B3 C4 D10 8.在等差数列
4、 n a中， 3 a， 9 a满足不等式 2 24120 xx的解集为 93 axax，则 数列 n a的前 11 项和等于（ ） A66 B132 C-66 D-132 9.执行下边的程序框图，如果输入的为 0.001，则输出 S 的值等于 A 7 1 2 2 B 8 1 2 2 C 9 1 2 2 D 10 1 2 2 10.已知函数 3 (1) ,1 ( ) ln ,1 xx f x x x ， ， 若12log, 8log, 4log 963 cba,则( ) A. ( )( )( )f af bf c B. ( )( )( )f bf af c C. ( )( )( )f cf af
5、 b D. afcfbf 11.若一个几何体的三视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A. 3 20 B. 3 19 C. 3 17 D. 3 16 12.已知函数 11 sinsin sinsin f xxx xx ，现有命题： f x的最大值为 0 ； f x的图像关于y轴对称； f x的周期为； f x的图像关于直线 2 x 对称. 其中真命题的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 第第 II 卷卷（非选择题 共 90 分） 本试卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题第 23 题为选考题，考生根
6、据要求作答. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13.已知曲线 xxyln 在点 00, y x 处的切线与直线 012 yx 垂直，则 0 x _. 14.已知21,F F为椭圆1 59 22 yx 的两个焦点，过点 1 F的直线交椭圆于BA,两点，若 5AB，则三角形 2 ABF的面积为_. 15.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家 赵爽的“弦图”设计的.会标图案如图所示，它是由四个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中较小锐角 为，当小正方形的面积是大正方形面积
7、的一半时，tan _. 16.已知数列 n a的首项 1 aa，其前n项和为 n S，且满足 2* 1 2,N nn SSnnn ， 若对任意 * 1 N , nn naa 恒成立，则a的取值范围是_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 12 分）某工厂为生产一种标准长度为40cm的精密器件，研发了一台生产 该精密器件的车床，该精密器件的实际长度为cma， “长度误差”为40 cma，只要“长 度误差”不超过 0.03cm 就认为合格已知这台车床分昼
8、、夜两个独立批次生产，每天每批 次各生产 1000 件已知每件产品的成本为 5 元，每件合格品的利润为 10 元在昼、夜两个 批次生产的产品中分别随机抽取 20 件，检测其长度并绘制了如下茎叶图： （）分别估计在昼、夜两个批次的产品中随机抽取一件产品为合格品的概率； （）以上述样本的频率作为概率，求这台车床一天的总利润的平均值. 18.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中， 三边a，b，c的对角分别为A，B，C， 已知 3a ， . 33 cossin coscoscos bCB CAB （）若 2 3c ，求sin A； （）若AB边上的中线长为 37 2 ，求AB的长. 19 （本小题
9、满分 12 分）如图，在棱长为a的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，P 分别 为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点 （）求证：ACNP； （）求四面体 DMNP 的体积 20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 2 3 的直线 l 与 C 的交点 为 A，B，与 x 轴的交点为 P （）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （）若，求 FAB OAB S S 的值 21.（本小题满分 12 分）已知函数 eln1ln x f xmxm （）若 ( )f x 在0 x处取到极值，求m的值及函数 ( )f x 的单调区间； （）若 1xf，求
10、m的取值范围 请考生在第请考生在第 22，23 两两题中任选一题作答题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做如果多做，则按所做 3APPB 的第一个题目计分的第一个题目计分.满分满分 10 分分. 选修 44：坐标系与参数方程 22 （本小题满分 10 分）已知曲线 1 C 的参数方程为 45cos 55sin xt yt （t为参数） ，以坐标原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C 的极坐标方程为 2sin （1）把 1 C 的参数方程化为极坐标方程，并求曲线 2 C 的直角坐标方程； （2）求 1 C 与 2 C 交点的极坐
11、标（ 0, 02 ） 选修 45：不等式选讲 23 （本小题满分 10 分）已知a，b，c为正数，函数 ( ) |f xxaxbxc . （1）若 1abc ，求函数 ( )f x 的最小值； （2）若 01f 且a，b，c不全相等，求证： 333 b cc aa babc . 【参考答案】 一一.选择题（选择题（本大题共本大题共 12 个小题，个小题，每小题每小题 5 分，共分，共 60 分分 ） ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C B B D A D C A B A 二、二、填空题填空题（本大题共本大题共 4 个小题，个小题，每每小题小题 5
12、分，共分，共 20 分）分） 13e 145 15 23 16 24 33 a 三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分 ） 17.解： （）由样本数据可知，在昼批次的 20 个样本中有 2 个不合格品，有 18 个合格品， 合格品的比率为 18 0.9 20 ，因此昼批次合格品概率估计值为 0.9. 在夜批次的 20 个样本中有 4 个不合格品，有 16 个合格品，合格品的比率为 16 0.8 20 ，因此 夜批次合格品概率估计值为 0.8； （）昼批次合格品的概率为 0.9，不合格品的概率为 0.1，所以 1000 件产品中合格品的均 值为 900 件，不合
13、格品的均值为 100 件，所以利润为900 10 100 58500 （元） ； 夜批次合格品的概率为 0.8，不合格品的概率为 0.2，所以 1000 件产品中合格品的均值为 800 件，不合格品的均值为 200 件，所以利润为800 10 200 57000 （元） 故这台车床一天的总利润的平均值为8500 7000 15500（元）. 18.解： （） coscoscos3 33 = sincos BACa BCbb ， 由正弦定理，得 coscoscos3sin sincossin BACA BCB ， cos()coscos3sin sincossin ACACA BCB . sin
14、 sin3sincosACAC . 又sin 0A ，tan 3C . (0, )C ， 3 C ， 又 sinsin ac AC ， 32 3 sin3 2 A ， 3 sin 4 A （）设AB边上的中线为CD，则2CD CA CB ， 2 222 4()2cosCDCACBbaabC ， 即 2 3793bb ， 2 3280bb ，解得 4b ，或 7b （舍去） ， 1312169cos2 222 Cabbac，= 13AB 19.（）证明：如图所示： Q 为 CD 的中点，连接 NQ，PQ，M，N，P 分别为棱 A1D1，C1D1，BC 的中点 所以 QPAC，ACNQ，QPNQQ
15、，所以 AC平面 NPQ， NP平面 NPQ，ACNP； （）解：如图所示： 连接 PB1，B1M，四边形 MDPB1是平行四边形，则 11 MNBPPMBNMDPNMNPD VVVV 8222 1 2 22 1 3 1 3 1 3 2 1 11 a a aa a a a BBSV MNBMNBP 四面体 DMNP 的体积为 8 3 a 20.解：（）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx ， 由题设可得 12 5 2 xx ，由 2 3 2 3 yxt yx ， 可得 22 912(1)40 xtxt ，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92
16、t ，得 7 8 t l的方程为 37 28 yx （）由 3APPB ，可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，得 2 220yyt 12 2yy 从而 22 32yy ，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 代入直线l方程可得 2 3 2 3 xy . 设直线l与x轴交于点P，则 01，P . 4 4 1 1 FP OP S S FAB OAB 21.解： （）由 eln1ln x f xmxm，得 1 e 1 x fxm x ， 00 f ，1, 01mm 1 11 1 1 x xe x exf x x ， 令 11 xexg x ，则 02 x
17、exg x ， xg在 , 1 上单调递增 又 00 g，当01x时， 0 xg， 当0 x时， 0 xg 令 0 x f，解得0 x， 0 x f，解得01x， xf的单调递减区间为0 , 1，单调递增区间为，0 （）当10m时， 1ln0mmf，不合题意 当1m时，由（1）知 10 min fxf，故 1xf，满足题意 当1m时， 111lnln1lnxxxemxmexf xx ，满足题意 综上，m的取值范围是1, ) 22解： （1）将 45cos 55sin xt yt 消去参数t， 化为普通方程 22 (4)(5)25xy ， 即 22 1: 810160Cxyxy ， 将 cos
18、sin x y 代入 22 810160 xyxy ， 得 2 8 cos10 sin160 ， 所以 1 C 的极坐标方程为 2 8 cos10 sin160 ； 2: 2sinC ， 2 2 sin ， 22 2xyy ， 所以 2 C 的普通方程为 22 20 xyy . （2）由 22 22 810160 20 xyxy xyy ，解得 1 1 x y 或 0 2 x y ， 所以 1 C 与 2 C 的交点的极坐标分别为 2, 4 ， 2, 2 23解： （1）因为 1abc ， 所以 ( ) | 2|1|1|f xxaxbxcxx 法 1：由上可得： 31,1, ( )3, 11,
19、 31,1, xx f xxx xx 所以，当 1x 时，函数 ( )f x 的最小值为 2 法 2： ( ) | |1|1|1|f xxaxbxcxxx |1|11| 2 |1| 2xxxx 当且仅当 (1)(1)0 10 xx x ，即 1x 时取得最小值 2 （2）证明：因为a，b，c为正数，所以要证 333 b cc aa babc 即证明 222 1 bca abc 就行了 法 1：因为 222222 bcabca abcabc abcabc 222 2222()bcaabc （当且仅当a bc 时取等号） 又因为 (0)1f 即 1a b c 且a，b，c不全相等， 所以 222 1 bca abc ，即 333 b cc aa babc . 法 2：因为 222 () bca abc abc 2 2 () bca abcabc abc 当且仅当 abc bca 时取等号 又因为 (0)1f 即 1a b c 且a，b，c不全相等， 所以 222 1 bca abc ，即 333 b cc aa babc
