1、陕西省部分学校2021届高三下学期2月联考数学（文）试题 第第I卷卷 一一选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 |2Ax x，则 UA （ ） A.2x x B.2x x 或2x C. 02xx D.22xx 2.若复数 42i 1i z ，则| z （ ） A.3 2 B.18 C. 10 D.10 3.已知向量,3 ,2,1amb ，且 abb，则m（ ） A.0 B.4 C.-6 D.10 4.函数 1
2、 2 1 f xx x 的定义域是（ ） A.2, B. 2, 1)1, C.1, D. 2, 1 5.在等比数列 n a中， 37 9a a ，则 5 a （ ） A.3 B.3 C. 3 D. 3 6.某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法篮球信息技术器乐这 4 个 兴趣小组，小华和小明各自参加了一个兴趣小组，则他们参加了同一个兴趣小组的概率是 （ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 3 4 D. 1 4 7.已知 0.7 0.40.7 log0.3,log0.4,0.3abc，则（ ） A.cba B.cab C.acb D.bca 8.已知F是双曲线 22 22 :1(
3、0,0) xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点，y kx与双曲 线C交于M(M在第一象限)，N两点，3 |MFNF，且 2 3 MFN ，则该双曲线 的离心率为（ ） A. 2 B.3 C.7 D. 7 2 9.算法统宗古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人 多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.“意为：996 斤棉花，分别赠 送给 8 个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多 17 斤，直到第八个孩子为止.分配时 一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为（ ） A.65 B.99 C.133 D.150 10.清华大学
4、通过专业化精细化信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生 涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业，2019 年该校毕 业生中，有本科生 2971 人，硕士生 2527 人，博士生 1467 人，毕业生总体充分实现就业， 就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质世稳步提升，根据下图， 下列说法不正确的是（ ） A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业 B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业 C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多 D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的 12.8% 11.已知,M N是函
5、数 2cos(0)f xx图像与直线3y 的两个不同的交点. 若MN的最小值是, 12 则（ ） A.6 B.4 C.2 D.1 12. 在 三 棱 锥 ABCD 中 ， ,2A CB C A CB C A B ， 面 ABD 平 面,A C B 2B DD A ，则三棱锥A BCD 体积的最大值为（ ） A. 4 9 B. 4 3 C. 4 2 3 D. 2 第第卷卷 二二填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知实数 , x y满足 1 1 1 xy x y ，则3zxy的最小值为_. 14.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之
6、一，它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱 锥的高与斜高的比值为 4 5 ，则该四楼锥的底面面积与侧面面积的比值是_. 15.已知抛物线 2 :4C yx，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，则直线,OA OB(O为 坐标原点)的斜率之积为_. 16.已知函数( )exf xax，当0 x时， ( ) 0f x 恒成立，则a的取值范围_. 三三解答题：共解答题：共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题；每题为必考题；每 道试题考生都必须作答，第道试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答
7、题为选考题，考生根据要求作答. (一一)必考题：共必考题：共 60 分分. 17.(12 分) 在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，sin2 2sinBB . （1）求B； （2）若 3 8,cos 5 aA，求BC边上的中线AD的长. 18.(12 分) 某商店在 2020 年上半年前 5 个月的销售额如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售额(千元) 8 13 17 22 25 （1）若从这 5 个月中随机选取 1 个月计算销售纯收入，求选取月份的销售额不低于 2 万元 的概率； （2）求销售额y(千元)关于月份x的回归直线方程，并预测该商店 2020 年上半
8、年的销售总 额. 附：回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx 19.(12 分)如图， 在多面体ABCDFE中， 四边形ABCD是边长为 2 的正方形， 四边形ABEF 是直角梯形，其中90 ,/ /ABEAFBE，且33.DEAFBE （1）证明：平面ABEF 平面.ABCD （2）求点A到平面DEF的距离. 20.(12 分) 椭圆 22 22 :1(0) xv Cab ab 的离心率为 3 2 ，长轴长与短轴长之积为 16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）在直线30 xyt 上存在一点P.过
9、P作两条相互垂直的直线均与椭圆C相切求t 的取值范围. 21.(12 分) 已知函数( )sin2cosf xxxxx，( )fx 为( )f x的导函数. （1）证明：( )fx 在,2 2 内存在唯一零点. （2）当,2 2 x 时，( )f xax，求a的取值范围. (二二)选考题：共选考题：共 10 分，请考生从第分，请考生从第 22， ，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一个题目计分一个题目计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 2sin x y ，(
10、为参数)，已知点 (6,0)Q， 点P是曲线 1 C上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系. （1）求点M的轨迹 2 C的极坐标方程； （2）若直线: l ykx与曲线 2 C交于A，B两点，若 2OAAB ，求k的值. 23.选修 4-5：不等式选讲(10 分) 已知函数( ) |2| 3|(0)f xxxaa. （1）求( )f x的最小值； （2）当1a 时，求函数( )( ) 10g xf x的图象与x轴围成封闭图形的面积. 参考答案 一一选择题选择题 1.D 【解析】由题意可得22Ax xx或剠，则22 R C Axx. 2.C 【解析】由题意
11、可得 42i(42i)(1i) 13i 1i(1i)(1 1) z ，则 22 |1310z . 3.B 【解析】由题意可得(2,4)abm，()2(2) 10abbm ，解得4m. 4.B 【解析】由题意可得 10 2 0 x x 解得21x 或1x. 5.A 【解析】由等比数列的性质得 2 357 9aaa，则 5 3a . 6.D 【解析】由题意可得小华和小明参加兴趣小组的情况有 16 种，其中，他们参加了同一个兴 趣小组的情况有 4 种，故所求概率 11 164 P . 7.B 【解析】 0.40.40.4 1log0.4log0.3log0.162,a 0.70 0.70.7 log
12、0.4log0.492,0.30.31bc. 故.cab 8.C 【解析】设双曲线的左焦点为 F (图略).则 MFNF为平行四边形， | |NFMF.因为 3| |MFNF，所以3| |MFNFMF，所以3|MFa MFa.因为 2 3 MFN .所以 3 F MF .所以 222 11 9237 42 caaaa ，得 7 2 ca ， 故离心率 7 2 e . 9.C 【解析】设这八个孩子分得棉化的斤数构成等差数列 n a，则公差17d ， 从而 12341 8 7 817996 2 aaaua ，解得 1 65a ， 故 51 465 1 17133aad . 10.D 【解析】由图可
13、知，博士生有 52.1%选择在北京就业，故 A 正确：本科生和硕士生人数多， 留京比例低估算可知 B 正确：到四川省就业的硕士毕业生人数约为 2527 3.2%81，博士 毕业生人数约为 1467 3.7%54故 C 正确：不能用本科生硕士生博士生毕业人数相加的 方法计算，故 D 错误. 11.B 【解析】由题意可得 min | 312 MN ，解得4. 12.A 【解析】如图，由题意知ABC是等腰直角二角形，其面积 1 221 2 ABC S，因 为平面ABD 平面 ACB.所以此三棱锥的体积取决于 D 点到 AB 的距离.在平面 DAB 内， 以 A 为坐标原点.AB的方向为轴的正方向建立
14、平面直角坐标系xAy.则(0,0), (2,0)AB.设 ( , )D x y.因为 2BDDA，所以 2222 (2)2xyxy ，得 2 2 216 (0) 39 xyy ，所以点 D 到 AB 距离的最大值为 4 3 ，故三棱锥 A-BCD 体积的 最大值为 144 339 ABC S . 13.1 【解析】画出可行域(图略)，由图可知，直线：3zxy过点(0，1)时，取得最小值-1. 14. 3 5 【解析】设该四棱锥底面的边长为2a高为h，斜高为 1 h，则 1 222 1 4 5 h h hah ，则 1 3 5 ah， 从而该四棱锥底面面积 22 1 36 4 25 ah，侧面面
15、积为 22 111 1312 424 255 ahhh， ，故该四 棱锥的底面面积与侧面面积的比值是 22 11 36123 2555 hh. 15.2 【解析】设点, BBAA A xyB xy设l的方程为2xty，则 2 2 4 xty yx 得 2 480yty ，则8 AB yy ，所以 22 12 4 16 BA yy xx ，从而 8 2 4 AB AB yy xx 16. e,) 【解析】由题意可得( )exfxa因为：0 x.所以( )1fxa 时，( ) 0fx ，则( )f x 在0.)上单调递增， 从而 min ( )(0)10f xf 恒成立， 故1a符合题意.当1a时
16、， 令( )0fx ，得ln()xa，因为( )fx 在 R 上单调递增，所以( )f x在(0.ln()a上单 调递减，在(ln()a上单调递增，则 min ( )(ln()ln()f xfaaaa ，因为 ( ) 0f x ，所以ln() 0aaa ，即ln() 1a，解得1e a ，综上.的取值范围为 e,). 三三解答题解答题 17.解： （1）由题意可得2sin cos2sinBBB 因为0B，所以sin0B，则 2 cos 2 B 因为0B，所以 4 B （2）因为 3 cos 5 A .所以 4 sin 5 A . 因为ABC， 所以 42327 2 sinsin()sincos
17、cossin 525210 CABABAB ， 由正弦定理可得 sinsin ac AC ，则 7 2 8 sin 10 7 2 4 sin 5 aC c A ， 由余弦定理可得 222 2 2cos98 162 7 2458 2 ADABBDAB BDB ， 则58AD . 18.解： （1）因为这 5 个月中销售额不低于 2 万元的只有 4 月和 5 月， 所以所求概率 2 5 P . （2） 11 (12345)3,(8 13 172225)17 55 xy 5 1 1 82 133 174 225 25298 ii i x y 5 222222 1 1234555 i i x 2 29
18、85 3 17 4.3 555 3 b ， 174.3 34.1aybx ， 故销售额 y(千元)关于月份的回归直线方程为4.3.1 4yx . 当6x时，4.3 64.9 129y (千元). 故该商店 2020 年上半年的销售总额为 8+13+17+22+25+29.9=114.9 千元， 即 11.49 万元.(注： 单位写千元或万元都可以) 19.（1）证明：连接.BD 因为 ABCD 是边长为 2 的正方形所以 2 2BD 因为33,DEBE所以1,3,BEDE 所以 222, BEBDDE则.BEBD 因为90 ,ABE所以.BEAB 因为.ABBDB所以BE 平面.ABCD 因为
19、BE 平面 ABEF，所以平面 ABEF 上平面 ABCD. （2）解：连接.AE 因为3,2,AFABAD则三棱锥：DAEF的体积为 11 3 2 22. 32 由（1）知AD 平面.ABEF则.ADAE ADAF 因为2,3,ADAF所以13DF . 因为2,1,90 ,ABBEABE所以5,AE 则543.DE 过点E作EHAF，垂足为H.则2.2,EHHF从而 2 2EF . 在DEF中，由余弦定理可得 98 132 cos 62 3 2 2 DEF ，则 34 sin 6 DEF 从而DEF的面积为 134 3 2 217. 26 因为三棱锥ADEF的体积与三棱锥DAEF的体积相等，
20、所以 1 172 3 d 解得 6 17 17 d ，即点A到平面DEF的此离为 6 17 17 . 20.解： （1）由题意得 222 3 , 2 2216 c a abc ab 解得 2 2 8, 2, a b 所以椭圆C的标准方程为 22 1. 82 xy （2）当过点 P 的椭圆 C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为 0， 易得2 2,2P ， 过点 P 的椭圆 C 的切线的斜率均存在时，设 000 ,2 2P xyx ， 设切线方程为 00, yk xxy 代人椭圆方程得 2 22 0000 418480,kxk kxyxkxy 由 2 2 2 0000 84 41480,
21、k kxykkxy 可得 222 0000 8220 xkx y ky， 设过点 P 与椭圆 C 相切的切线斜率分别为 12 ,k k，则 2 0 12 2 0 2 8 y k k x ， 因为两条切线相互垂直，所以 2 0 2 0 2 1, 8 y x 即 22 000 102 2xyx ， 结合知，P在圆 22 10 xy上， 又因为点P在直线30 xyt 上， 所以直线30 xyt 与圆 22 10 xy有公共点， 则10, 1 9 t 得1010.t剟 综上所述，t的取值范围为10,10 . 21.（1）证明：因为 sin2cos,f xxxxx所以 cossin1.fxxxx 记 c
22、ossin1,g xfxxxx 则 singxxx ， 当, 2 x 时 ,0;g x 当,2x时 0.gx ( )g x在, 2 上单调递减，在(2 单调递增， 即( )fx 在, 2 上单调递减，在(2 上单调递增. 因为 0,10,221 2 fff ， 所以存在唯一 0 ,2,x 使得 0,fx即 fx在,2 2 内存在唯一零点 （2）解：由（1）可知当 0 , 2 xx 时，( )0fx ； 当 0,2 xx时，( )0fx. 所以 f x在 0 , 2 x 上单调递减，在 0,2 x上单调递增. 因为当,2 2 x 时，( )f xax恒成立， 则至少满足,222 2, 22 fa
23、 fa 剟即2a 当 3 , 22 x 时， max 3 0,( ) 22 ff xf ，满足( ) 2f xx 当 3 ,2 2 x 时， max ( )(2 )22f xf 而 3 223 2 x ，满足( ) 2f xx 即,2 2 x 时，都有( ) 2f xx.， 又当22 2 ax 时.2axx. 从而2a时，( )f xa，x对一切,2 2 x 恒成立. 故a的取值范围为2) 22. 解： （1）设(2cos2sin ), ( , )PM x y， 则 2cos6 3cos 2 2sin sin 2 x y ，消去得 22 (3)1xy 即 22 680 xyx，化为极坐标方程为
24、 2 6 cos80. （2）由题意可得直线: l ykx的极坐标方程为. 设 12 ,AB ， 因为 2OCAB ，即3 2OAOB ，所以 12 32. 联立 2 6cos80 ，整理得 2 6 cos80， 则 2 12 1 12 6cos 8 32 ，解得 5 3 cos 9 ， 故 22 2 12 tan1 cos25 k .即 2 5 k . 23. 解： （1） 432,2 ( ) |2| 3|232, 2 432, xax f xxxaxaxa xaxa ， 则( )f x在(, )a上单调递减，在( ,)a单调递增， 故 min ( )( )2f xf aa； （2）因为1a ，所以 49,2 ( )25, 21 411,1 xx g xxx xx ， 令490 x ，得 9 4 x ；令250 x ，得 5 2 x ；令4110 x，得 11 4 x ， 因为( 2)1, (1)7gg ， 所以所求图形的面积为 111519573 71 2422424 .
