1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 数学（文科） 答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 解： 1 , 2 , 4 , 6 , 8 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 1 , 2 , 6 MN ?， MN 1,2,6? ，即 MN中元素的个数为 3. 【提示】 根据 M与 N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可 . 【考点】 交集及其运算 ， 集合中元素个数的最值 . 2.【答案】 D 【解析】 解： 角 的终边经过点 (4,3)? ， 4x? ， 3y? ， 225r x y? ? ? . 44cos 55xr? ? ? ? ?
2、，故选： D 【提示】 由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cos? 的值 . 【考点】 任意角的三角函数的定义 . 3.【答案】 C 【解析】 解：由不等式组 ( 2) 0| | 1xxx ? ?可得 2011xxx? ? ? ? 或，解得 01x?，故选： C 【提示】 解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求 . 【考点】 一元二次不等式的解法 ， 绝对值不等式 的 解法，不等式组 的 解法 . 4.【答案】 B 【解析】 解：如图，取 AD中点 F，连接 EF， CF， E为 AB的中点， EF BD ，则 CEF? 为异面直线BD与
3、 CE所成的角， ABCD为正四面体， E， F分别为 AB， AD的中点， CE CF? . 设正四面体的棱长为 2a，则 EF a? ， 22( 2 ) 3C E C F a a a? ? ? ?. 在 CEF 中，由余弦定理得： 2 2 2 3c o s 26C E E F C FC E F C E E F? ? ?. 故选： B 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由 E为 AB的中点，可取 AD中点 F，连接 EF，则 CEF? 为异面直线 CE与 BD所成角，设出正四面体的棱长，求出 CEF 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线 CE与 BD所成角的余弦值 . 【考点】 异面直
4、线及其所成的角 . 5.【答案】 D 【解析】 解： 3ln( 1)yx?， 3 1exy? ，即 3 e1xy?， 3(e 1)yx?， 所求反函数为 3(e 1)xy?，故选： D 【提示】 由已知式子解出 x，然后互换 x、 y的位置即可得到反函数 . 【考点】 反函数 . 6.【答案】 B 【解析】 解：由题意可得， 11 1 co s 6 0 2ab ? ? ? ? ?， 2 1b? ， 2 2( 2 ) 2 2 | | | | | 0a b b a b b a b b? ? ? ? ? ?，故选： B 【提示】 由条件利用两个向量的数量积的定义，求得 ab、 2b 的值，可得 (2
5、 )a b b? 的值 . 【考点】 平面向量数量积的运算 . 7.【答案】 C 【解析】 解：根据题意，先从 6名男医生中选 2人，有 26 15C ? 种选法，再从 5名女医生中选出 1人，有 15 5C?种选法，则不同的选法共有 15 5 75? 种 .故选 C 【提示】 根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案 . 【考点】 排列、组合及简单计数问题 ， 排列、组合的实际应用 . 8.【答案】 C 【解析】 解：由等比数列的性质可得 2S ， 42SS? ， 64SS?
6、成等比数列，即 3， 12， 6 15S? 成等比数列，可得 2 612 3(S 15)?，解得 6 63S? .故选： C 【提示】 由等比数列的性质可得 2S ， 42SS? ， 64SS? 成等比数列，代入数据计算可得 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 等比数列的前 n项和 . 9.【答案】 A 【解析】 解： 1AFB 的周长为 43， 4 4 3a? ， 3a? ， 离心率为 33， 1c? ， 22 2b a c? ? ? ， 椭圆 C的方程为 22132xy?. 【提示】 利用 1AFB 的周长为 43，求出 3a? ，根据离心率为 33，可得 1c? ，求出 b，即可得
7、出椭圆的方程 . 【考点】 椭圆的简单性质 . 10.【答案】 A 【解析】 解：设球的半径为 R，则 棱锥的高为 4，底面边长为 2， 2 2 2(4 ) ( 2 )RR? ? ? ， 94R? ， 球的表面积为 29 81444?. 故选： A 【提示】 正四棱锥 P ABCD? 的外接球的球心在它的高 1PO 上，记为 O，求出 1PO ， 1OO ，解出球的半径，求出球的表面积 . 【考点】 球内接多面体 ， 球的体积和表面积 . 11.【答案】 C 【解析】 解： ： 22 1( 0 0 )xy abab? ? ? ?，的离心率为 2， 2ce a?，双曲线的渐近线方程为 byxa?
8、 ，不妨取 byxa? ，即 0bx ay?，则 2ca? ， 22 3b c a a? ? ? ， 焦点 (,0)Fc 到渐近线 0bx ay?的距离为 3 ， 22 3bcd ab?，即223 3 3 3223a c a c caaa ? ? ? ，解得 2c? ，则焦距为 24c? ，故选： C. 【提示】 根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论 . 【考点】 双曲线的简单性质 . 12.【答案】 D 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 解： ( 2)fx? 为偶函数， ()fx是奇函数， ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )f x f x f x? ? ?
9、? ? ? ?，即 ( 4) ( )f x f x? ? ，( 8) ( )f x f x? ，则 (8) (0) 0ff?， (9) (1) 1ff?， (8 ) ( )f x f x? ，故选： D 【提示】 根据函数的奇偶性的性质，得到 (8 ) ( )f x f x? ，即可得到结论 . 【考点】 函数的值 ， 函数 的 奇偶性 ， 函数的周期性 . 二、填空题 13.【答案】 160- 【解析】 解：根据题意， 6( 2)x? 的展开式的通项为 661 6 6( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 2r r r r r r r rrT C x C x? ? ? ? ? ? ?，令 63r
10、?可得 3r? ，此时 3 3 3 3 346( 1 ) 2 1 6 0T C x x? ? ? ?，即 3x 的系数是 160- .故答案为 160- . 【提示】 根据题意，由二项式定理可得 6( 2)x? 的展开式的通项，令 x的系数为 3，可得 3r? ，将 3r? 代入通项，计算可得 34 160Tx? ，即可得答案 . 【考点】 二项式定理 . 14.【答案】 32 【解析】 解： 函数 22 13c o s 2 2 s i n 2 s i n 2 s i n 1 2 s i n22y x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 1sin 2x? 时，函数y取得
11、最大值为 32 ，故答案为： 32 . 【提示】 利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 2132 sin22yx? ? ? ?，再根据正弦函数的值域、二次函数的性质求得函数的最大值 . 【考点】 正弦函数的定义域和值域 ， 二次函数在闭区间上的最值 . 15.【答案】 5 【解析】 解：由约束条件 02321xyxyxy?作出可行域如图， 【 ;百万教育资源文库 】 联立 023xyxy? ?，解得 (1,1)C . 化目标函数 4z x y? 为直线方程的斜截式，得 144zyx? ? . 由图可知，当直线 144zyx? ? 过 C点时，直线在 y轴上的截距最大， z最大 . 此时 ma
12、x 1 4 1 5z ? ? ? ?.故答案为： 5. 【提示】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 . 【考点】 简单线性规划 . 16.【答案】 43 【解析】 解：设 1l 与 2l 的夹角为 2? ，由于 1l 与 2l 的交点 (1,3)A 在圆的外部，且点 A与圆心 O之间的距离为1 9 10OA ? ? ? ，圆的半径为 2r? ， 2sin 10rOA? ?， 22cos 10? ， sin 1tan cos 2? ?， 2 142 ta n 1 4ta n 2 1 ta n 1 3? ? ? ?，
13、故答案为： 43 . 【提示】 设 1l 与 2l 的夹角为 2? ，由于 1l 与 2l 的交点 (1,3)A 在圆的外部，由直角三角形中的变角关系求得sin rOA? 的值，可得 cos? 、 tan? 的值，再根据 22 tantan 2 1 tan? ? ? ，计算求得结果 . 【考点】 两直线的夹角与到角问题 . 三、解答题 17.【答案】 （ ）由 2122n n na a a? ? ?得， 2 1 1 2n n n na a a a? ? ? ? ? ?，由 1n nb a a?得， 1 2nnbb? ?，即1 2nnbb? ?，又 1 2 1 1b a a? ? ? ，所以 n
14、b 是首项为 1，公差为 2的等差数列 . （ ）由（ ）得， 1 2 ( 1) 2 1nb n n? ? ? ? ?，由 1n n nb a a? ? 得， 1 21nna a n? ? ? ?，则 211aa? ? ， 323aa? ? ，435aa? ? ， ， 1 2( 1) 1nna a n? ? -，所以， 21 ( 1 ) ( 1 + 2 n 3 )1 3 5 . . . 2 ( 1 ) 1 ( 1 )2n na a n n? ? ? ? ? ? ? ? ?-，又 1 1a? ，所以 na 的通项公式 22( 1) 1 2 2na n n n? ? ? ?. 【提示】 （ ）将
15、2122n n na a a? ? ?变形为： 2 1 1 2n n n na a a a? ? ? ? ? ?，再由条件得 1 2nnbb? ?，根据条件求出 1b ，由等差数列的定义证明 nb 是等差数列； 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）由（ ）和等差数列的通项公式求出 nb ，代入 1n n nb a a?并令 n从 1开始取值，依次得 1n?( ） 个式子，然后相加，利用等差数列的前 n项和公式求出 na 的通项公式 na . 【考点】 数列递推式 ， 等差数列的通项公式 ， 等差关系的确定 . 18.【答案】 34 【解析】 解： 3 cos 2 cosa C c A? ，由正弦
16、定理可得 3 s in c o s 2 s in c o sA C C A? ， 3tan 2tanAC? ， 1tan 3A? ， 12 tan 3 13C ? ? ?，解得 1tan 2C? . 11ta n ta n32ta n ta n ( ) ta n ( ) 1111 ta n ta n 132ABB A C A CAB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， (0)B? , ， 34B? 【提示】 由 3 cos 2 cosa C c A? ，利用正弦定理可得 3 s in c o s 2 s in c o sA C C A? ，再利用同角的三角函数基本关系式可得 tan
17、C ，利用 ? ?t a n t a n ( ) t a nB A B A B? ? ? ? ? ?即可得出 . 【考点】 正弦定理的应用 ， 三角函数中的恒等变换应用 . 19.【答案】 （ ） 1AD ABC?平 面 ， 1 1 1A D AAC C?平 面 ， 11AA C C ABC?平 面 平 面，又 BC AC? 11BC AAC C?平 面 ，连结 1AC，由侧面 11AACC 为菱形可得 11AC AC? ，由三垂线定理可得 11AC AB? ； （ ） 11BC AAC C?平 面 ， 11BC BCC B?平 面 ， 1 1 1 1A A C C B C C B?平 面 平 面，作 11AE C? ， E为垂足，可得 1 1 1A E BCC B?平 面 ，又直线 1 1 1AA BCC B平 面 ， 1AE为直线 1AA 与平面 11BCCB 的距离，即 1 3AE? ， 1AC为 1ACC? 的平分线， 11 3AD AE?，作 DF AB? ， F为垂足，连结 1AF，由三垂线定理可得 1AF AB? ， 1AFD? 为二面角 1A AB C? ? 的平面角，由 2211 1AD AA A D? ? ?可知 D为 AC中点， 1525AC BCDF ? ? ?， 11ta n 1
