1、- 1 - 高中三年级学情诊断考试 数学试题 本试卷共 6 页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式：V 1 3 Sh(其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出
2、的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.设集合 Ax|x2x60，Bx|x10，则 AB A.x|x3 B.x|3x1 C.x|2x1 D.x|2x0，b0)的左、右顶点分别为 A，B，其中一条渐近线与以线 段 AB 为直径的圆在第一象限内的交点为 P，另一条渐近线与直线 PA 垂直，则 C 的离心率为 A.3 B.2 C.3 D.2 8.已知函数 f(x)a(x1)exx，若存在唯一的正整数 x0，使得 f(x0)0，则实数 a 的取值范围 是 A. 1 2e ， 3 3 4e ) B. 3 3 4e ， 2 2 3e ) C. 2 2 3e ， 1 2e ) D. 1 2e ， 1
3、 2 ) 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.为落实山东省学生体质健康促进条例的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志， 某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分 钟)进行了调研。根据统计数据制成折线图如下： 下列说法正确的是 A.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30 B.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 72 C.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D.班级甲该周每天
4、的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 - 3 - 10.已知函数 f(x)asin(2x1)bcos(2x2)(其中 a，b 不全为 0)，若 f( 6 )0，则下列说法 一定正确的是 A.f(x 12 )为奇函数 B.f(x)的最小正周期为 C.f(x)在区间 12 ， 5 12 上单调递增 D.f(x)在区间0，2021上有 4042 个零点 11.如图，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，点 P 为线段 AD1上一动点，则下 列说法正确的是 A.直线 PB1/平面 BC1D B.三棱锥 PBC1D 的体积为 1 3 C.三棱锥 D1BC1D 外接球的表面积为 3 2
5、 D.直线 PB1与平面 BCC1B1所成角的正弦值的最大值为 5 3 12.已知红箱内有 5 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、5 个白球，所有小球大小、形状完 全相同。第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子 内取出一球，然后再放回去，依次类推，第 k1 次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取 出一球，然后再放回去。记第 n 次取出的球是红球的概率为 Pn，则下列说法正确的是 A.P2 17 32 B.Pn1 1 2 Pn 7 32 C.P2n1Pn1PnPn2 1 2 (PnPn2) D.对任意的 i，jN且 1i0 的解集 为 。 16.已知
6、直线 l 与抛物线 C：y28x 相切于点 P，且与 C 的准线相交于点 T，F 为 C 的焦点，连 接 PF 交 C 于另一点 Q，则PTQ 面积的最小值为 ；若|TF|5，则|PQ|的值 为 。(本小题第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分) 在平面四边形 ABCD 中，AB2，BC5，ABC120 ，AD13，ADC2ACD， 求ACD 的面积。 18.(12 分) 已知数列an的前 n 项和 Snn2。 (1)求数列an的通项公式； (2)在bn 2 nn 1 8n (aa) ，bnan2
7、n，bn(1)nSn这三个条件中任选一个，补充在下面 的问题中，并求解该问题。 若 ，求数列bn的前 n 项和 Tn。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 19.(12 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC2，D 为 BC 的中点，平面 BB1C1C平面 ABC， 设直线 l 为平面 AC1D 与平面 A1B1C1的交线。 (1)证明：l平面 BB1C1C； (2)已知四边形 BB1C1C 为边长为 2 的菱形，且B1BC60 ，求二面角 DAC1C 的余弦值。 - 5 - 20.(12 分) 习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战。确保到 2020
8、年在我国现行标准下 农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽。某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树 种植项目。该县种植的枣树在 2020 年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收 购。为了更好地实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取 100 千克，进行质量检测， 根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图。右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级 品统称为优质品。 经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取 4 个进行检测，若 4 个 均为优质品，则该箱红枣定为 A 类；若 4 个中仅有 3 个优质品，则再从该箱中任意取出 1 个， 若这一个为优质品，则该箱红枣
9、也定为 A 类；若 4 个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为 C 类；其它情况均定为 B 类。已知每箱红枣重量为 10 千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分 别为每千克 20 元、16 元、12 元。现有两种装箱方案； 方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱； 方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为 1 元。 以频率代替概率解决下面的问题。 (1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为 A 类的概率； (2)根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由。 21.(12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 6 3 ，
10、过椭圆焦点的最短弦长为 2 3 3 。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若折线 yk|x2|(k0)与 C 相交于 A， B 两点(点 A 在直线 x2的右侧)， 设直线 OA， OB 的斜率分别为 k1，k2，且 k2k12，求 k 的值。 - 6 - 22.(12 分) 已知函数 f(x)axln(x1)。 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x) 1 1x e x对任意的 x(0，)恒成立，求实数 a 的取值范围。 2021 年 1 月高三模拟考试数学评分细则 三、填空题 - 7 - 13 1 3 ； 144； 15(51)(0 3)，； 16 25 16 2 ，（本小题
11、第一空 2 分，第二空 3 分） 注：15 题也可用集合表示： | 5103xxx 或;不写成集合或区间形式的不给分. 16 题第二空也可写 12.5 或 1 12 2 . 17 （10 分） 在平面四边形 ABCD中， 25120ABBCABC， ， 13AD ， 2ADCACD ，求 ACD 的面积 17 【解析】 【解法一】 在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cosACABBCAB BCABC 425225 cos120 39 ， 所以 39AC ； . 3 分 在 ACD 中，由正弦定理可得： sinsin ACAD ADCACD ， 即 sin2sin ACAD ACDACD
12、， 所以 3913 2sincossinACDACDACD ， 所以 3 cos 2 ACD； 因为 (0 )ACD，所以 6 ACD； . 6 分 所以 3 ADC， 2 CAD， . 8 分 所以 113 3 22 ACD SAC AD . 10 分 注：注：6 分点处，分点处，“ 3 cos 2 ACD ”和和“ 6 ACD ”两式只要有一个出现即得分两式只要有一个出现即得分. 【解法二】 在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cosACABBCAB BCABC 425225 cos120 39 ， 所以 39AC ； . 3 分 - 8 - 由已知 2,ADCACD 所以sin si
13、n2 sin2sincos ADCACD ADCACDACD 在 ACD 中，由正弦定理可得 2cosACADACD 所以 3 cos 2 ACD 因为 (0 )ACD，所以 6 ACD； . 6 分 所以 3 ADC， 2 CAD， . 8 分 所以 113 3 22 ACD SAC AD . 10 分 【解法三】在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cosACABBCAB BCABC 42522 5 cos12039 ， 所以 39AC ； . 3 分 在 ACD 中，由正弦定理可得： sinsin ACAD ADCACD ， 即 sin2sin ACAD ACDACD ， 所以 391
14、3 2sincossinACDACDACD ， 所以 3 cos 2 ACD； . 6 分 又 222 2cosADCDACCD ACACD 即 2 3 1339239 2 CDCD 所以2 13CD 或13CD （舍） （不满足 2ADCACD ） . 8 分 所以 113 3 sin 22 ACD SAC CDACD . 10 分 注：注：6 分点处，分点处，“ 3 cos 2 ACD ”和和“ 6 ACD ”两式只要有一个出现即得分；两式只要有一个出现即得分； 8 分点处，若未舍掉分点处，若未舍掉“13CD ” ， ACD 的面积算出两个值，则得的面积算出两个值，则得 8 分；若只写出分
15、；若只写出 - 9 - “2 13CD ”，不扣分，不扣分. 18 （12 分） 已知数列 n a的前n项和 2 n Sn （1）求数列 n a的通项公式； （2）在 2 1 8 () n nn n b aa ，2n nn ba，( 1)n nn bS 这三个条件中任选一个，补充 在下面的问题中，并求解该问题 若，求数列 n b的前n项和 n T 18 【解析】 （1）因为 2 n Sn ，所以 2 1 (1)(2) n Snn ， . 1 分 所以 1 21 (2) nnn aSSnn ， . 3 分 当 1n 时， 11 1aS适合上式， . 4 分 所以 21 n an . 5 分 说明
16、：说明：1.没有写出没有写出 2 1 (1)(2) n Snn ，直接得到，直接得到 1 21 (2) nnn aSSnn 正确结果正确结果 的不扣分；的不扣分； 2.最后结果写成最后结果写成 11 2 1,2 n n a nn ， ，不扣分；，不扣分； （2）若选： 因为 222 1 88 ()(21) (21) n nn nn b aann . 6 分 22 11 (21)(21)nn ， . 8 分 所以 222222 111111 1335(21)(21) n T nn . 10 分 2 1 1 (21)n . 12 分 说明：最后结果写成说明：最后结果写成 22 22 (21)1 4
17、4 (21)(21) nnn nn 、都可以；都可以； 若选： 方法一：因为 2(21) 2 nn nn ban ， . 6 分 所以 231 1 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， - 10 - 则 234+1 21 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Tnn ， . 8 分 两式相减可得： 231 22 22 22 2(21) 2 nn n Tn 2 1 82 2(21) 2 12 n n n . 10 分 1 6(23) 2nn ， 所以 1 6(23) 2n n Tn . 12 分 说明：说明：1.无错位相减过程，直接用公式得出结果的本问得无错位
18、相减过程，直接用公式得出结果的本问得 3 分； （其中分； （其中 (21) 2n n bn 1 分，最后结果占分，最后结果占 2 分）分） 2. 最后结果写成最后结果写成 21 623 2 nn n Tn 也可以；也可以； 3. 考生若是错位相减时采用考生若是错位相减时采用“2 . n T ”式减去式减去“. n T ”按照上述各点对应得分按照上述各点对应得分 即可即可. 方法二：因为 2(21) 2 nn nn ban ， . 6 分 1 (21) 2 = 4624162 nnn nnn ，. 8 分 10211 ( 2 262 )2 2( 2)24624162 nn n Tnn . 10
19、 分 1 6(23) 2nn ， . 12 分 说明：最后结果写成说明：最后结果写成 21 623 2 nn n Tn 也可以；也可以； 若选： 2 ( 1)( 1) nn nn bSn ， . 6 分 当n为偶数时， 222222222222 1234(1)(21 )(43 )(1) n Tnnnn 3721n (321) (1) 2 22 n n n n ； . 8 分 当n为奇数时， 2 1 (1) nn TTn 2 (1)(2)(1) (1) 22 nnn n n . 10 分 - 11 - 综上： (1) ( 1) 2 n n n n T . 12 分 说明：说明：1.最后结果写成最
20、后结果写成 (1) 2 (1) , 2 n n n n T n n n ， 为偶 为奇 也可以；也可以； 2. 10 分点处，写作分点处，写作 22 1 (1)(1) 22 nn n nn n TTnn 也可以也可以. 19 （12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，2ABAC，D为BC的中点，平面 11 BBC C 平面ABC， 设直线l为平面 1 AC D与平面 111 ABC的交线 （1）证明：l 平面 11 BBC C； （ 2 ） 已 知 四 边 形 11 BBC C为 边 长 为2的 菱 形 ， 且 1 60BBC，求二面角 1 DACC的余弦值 19 【解析】 （1）
21、 【解法一】 证明：因为 2ABACD，是BC的中点， 所以 ADBC， . 1 分 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC， 且平面 11 BBC C平面ABCBC，AD 平面ABC， 故 AD 平面 11 BBC C， . 2 分 而 / /AD平面 111 ABC，且AD 平面 1 ADC， 平面 1 ADC平面 111 ABCl， 所以/ /ADl， . 4 分 所以 l 平面 11 BB C C； . 5 分 注：注：1、2 分处，条件不全不扣分分处，条件不全不扣分 2、4 分处，条件不全不扣分分处，条件不全不扣分 【解法二】 证明：因为 2ABACD，是BC的中点， 所以 AD
22、BC， . 1 分 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC， 且平面 11 BBC C平面ABCBC，AD 平面ABC， B1 D C1 A C A1 B - 12 - 故 AD 平面 11 BBC C， . 2 分 又平面ABC平面 111 ABC， 所以平面 111 ABC 平面 11 BBCC， . 4 分 而平面 1 AC D平面 111 ABCl， 故l 平面 11 BBCC. . 5 分 注：解法二应用注：解法二应用 如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于这个平面如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于这个平面. （2） 【解法一】 因为 四边形 11
23、 BBC C为菱形，且 1 60BBC ，连接 1 B D，则 1 B DBC， 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC，平面 11 BBC C平面ABCBC， 故 1 B D 平面ABC. 以D为坐标原点， 1 DC DA DB，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. . 6 分 则 1 (0 0 0)(1 0 0)(03 0)(2 03)DCAC， ， ， ， ，. 所以 1 (233)(03 0)(13 0)ACDAAC， ， ， 设平面 1 DAC的法向量 1111 ()xyz， ，n， 则 11 1 0 0 AC DA n n ，即 111 1 2330 30 xyz y ，
24、 令 1 3x ，则 1 2z ，所以 1 ( 3 02)，n；. 8 分 设平面 1 CAC的法向量 2222 ()xyz， ，n， 则 21 2 0 0 AC AC n n ，即 222 22 2330 30 xyz xy ， 令 2 3x ，则 22 11yz ， 所以 2 ( 3 11)，n； . 10 分 所以 12 12 12 35 cos |7 ， nn nn nn ， . 11 分 y z x B1 D C1 AC A1 B - 13 - 由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 . . 12 分 注：注：8 分和分和 10 分处，分别给的两
25、个法向量的分，点坐标不给分分处，分别给的两个法向量的分，点坐标不给分. （2） 【解法二】 因为 四边形 11 BBC C为菱形，且 1 60BBC ，连接 1 B D，则 1 B DBC， 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC，平面 11 BBC C平面ABCBC， 故 1 B D 平面ABC. 以D为坐标原点， 1 ,DA DB DB分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. . 6 分 则 1 (0,0,0),(0, 1,0), (3 ,0,0),(0, 2,3)DCAC. 所以 11 (0, 2, 3),(3 ,0,0),(3 , 1,0),(0, 1, 3)DCDAACCC，
26、设平面 1 DAC的法向量 1111 ()xyz， ，n， 则 11 1 0 0 DC DA n n ，即 11 1 230 30 yz x ， 令 1 1y ，则 1 2 3 3 z ， 所以 1 2 3 ( 0,1,) 3 n； . 8 分 设平面 1 CAC的法向量 2222 ()xyz， ，n， 则 21 2 0 0 CC AC n n ，即 22 22 30 30 yz xy ， 令 2 3y ，则 22 1,1xz， 所以 2 ( 1, 3 ,1 ) n； . 10 分 所以 12 12 12 35 cos |7 ， nn nn nn ， . 11 分 由图可知 所求二面角为锐角，
27、 所以 二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 . . 12 分 （2） 【解法三】 G B1 D C1 A C A1 B H - 14 - 因为 AD 平面 11 BBC C，AD 平面 1 ADC， 所以 平面 1 ADC 平面 11 BBC C， 在平面 11 BBC C内，过C作 1 CHDC于点H， 则 CH 平面 1 ADC6 分 过C作 1 CGAC于点G，则G为线段 1 AC的中点； 连接HG，则 CGH即为二面角 1 DACC的平面角. . 8 分 在直角 11 DBC中， 1111 237BCB DDC， ； 在 1 DCC中， 21 7 CH ，. . 9 分 在 1
28、ACC中， 6 2 CG ；. . 10 分 在直角 CGH 中， 210 14 GH ， 所以 35 cos 7 GH CGH CG ， . . 11 分 所以 二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 . . 12 分 注：其它建系办法参考解法一给分，建系注：其它建系办法参考解法一给分，建系 1 分，两个法向量各分，两个法向量各 2 分，余弦值分，余弦值 1 分，结论分，结论 1 分分. 20 （12 分） 习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战确保到 2020 年在我国现行标 准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力 发展枣树种植项目该县种植
29、的枣树在 2020 年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由 经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取 100 千 克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图右表是红枣的分级 标准，其中一级品、二级品统称为优质品 经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定 如下：从一箱红枣中任取 4 个进行检测，若 4 个均为优质品，则该箱红枣定为 A 类；若 4 个中仅有 3 个优质品，则再从该箱中任意 等级 四级品 三级品 二级品 一级品 红枣纵径/mm 30 35)， 35 40)， 40 45)， 45 50， 组距 频率 红枣纵径/mm 0.08 0.06 0.
30、04 504540 O 30 35 0.02 - 15 - 取出 1 个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为 A 类；若 4 个中至多有一个优质品， 则该箱红枣定为 C 类；其它情况均定为 B 类已知每箱红枣重量为 10 千克，A 类、B 类、 C 类的红枣价格分别为每千克 20 元、16 元、12 元现有两种装箱方案： 方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱； 方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为 1 元 以频率代替概率解决下面的问题 （1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为 A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由 20
31、 【解析】 （1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是 1 2 ， 记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 A 类”为事件A，则 413 4 1111 ()()() (1) 2222 P AC . 2 分 3 16 . 3 分 说明：若结果正确，但无计算式，不扣分说明：若结果正确，但无计算式，不扣分. （2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 B 类”为事件B， “如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 C 类”为事件C，则 433 4 1115 ()(1)(1) 22216 P CC， . 5 分 1 ()1()() 2 P BP AP C ， . 7 分 所以
32、如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 315 200160120155 16216 元； . 9 分 由题意可知，如果该农户采用方案二装箱， 则一箱红枣被定为 A 类的概率为 1 2 ，被定为 C 类的概率也为 1 2 ， 所以 如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 11 2001201159 22 元； . 11 分 因为159155 所以 该农户采用方案二装箱更合适 . 12 分 说明：说明：1.只写结论只写结论“方案二装箱更合适方案二装箱更合适”得得 1 分；分； 2.(),()P BP C无计算式只有结果的，不扣分；无计算式只有结果的，不扣分； 3.两个
33、方案的数学期望，无计算式只有结果的，不扣分两个方案的数学期望，无计算式只有结果的，不扣分. 21 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 6 3 ，过椭圆焦点的最短弦长为 2 3 3 （1）求椭圆C的标准方程； - 16 - （2）若折线|2 |(0)yk xk与C相交于A B，两点(点A在直线2x 的右侧)，设直 线OA OB，的斜率分别为 12 kk，且 21 2kk，求k的值 21 【解析】 （1）由题可知 6 3 c a ， . 1 分 2 22 3 3 b a ， . 2 分 又因为 222 abc， 所以3a ，1b ， 所以椭圆C的标准方程
34、为 2 2 1 3 x y； . 4 分 注：注：1 分点处，写作分点处，写作 2 2 6 1 3 b a 亦可；亦可； 2 分点处，学生直接用通径长公式不扣分；分点处，学生直接用通径长公式不扣分； 4 分点处，标准方程正确即得分，否则不得分分点处，标准方程正确即得分，否则不得分. （2） （解法一）由题意，设点B关于x轴的对称点为 B 则直线(2)(0)yk xk与椭圆C相交于A B ，两点 设 1122 ()()A xyB xy，则 22 ()B xy， 由 2 2 1 3 (2) x y yk x 得 2222 (13)6 2630kxk xk， . 6 分 所以 2 12 2 6 2
35、13 k xx k ， 2 12 2 63 13 k xx k ， 所以， 122112 21 122112 (2)(2) ()2 ()2 yyk xk xxx kkkk xxxxx x ，. 9 分 即 3 21 2 12 22 63 k kkk k ， 整理得 2 210kk ， . 11 分 解得 1 2 k 或1k . 12 分 注：注： 9 分点处，只要出现分点处，只要出现 12 21 12 2 ()2 xx kkkk x x 即得分；即得分； 11 分点处，若最后分点处，若最后k值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分；值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分； 12 分点处，解出的两
36、个值都正确才得分，否则不得分分点处，解出的两个值都正确才得分，否则不得分. （解法二）由题意， 设 11 ()A xy， ， 22 ()B xy， ， 且易知 21 2xx， - 17 - 由 2 2 1 3 |2 | x y yk x 得 2222 (13)6 2630kxk xk， . 6 分 所以 2 12 2 6 2 13 k xx k ， 2 12 2 63 13 k xx k ， 所以， 212121 21 212121 |2 |2 |( 2)(2)yyk xk xkxk x kk xxxxxx 12 12 2 ()2 xx kk x x . 9 分 即 3 21 2 12 22
37、63 k kkk k ， 整理得 2 210kk ， . 11 分 解得 1 2 k 或1k . 12 分 注：注：9 分点处，只要出现分点处，只要出现 12 21 12 2 ()2 xx kkkk x x 即得分；即得分； 11 分点处，若最后分点处，若最后k值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分；值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分； 12 分点处，分点处，解出的两个值都正确才得分，否则不得分解出的两个值都正确才得分，否则不得分 22 （12 分） 已知函数( )ln(1)f xaxx （1）讨论( )f x的单调性； （2）若 1 ( )e 1 x f x x 对任意的(0 +)x，恒
38、成立，求实数a的取值范围 【解析】 （1） 11 ( ) 11 axa fxa xx ，其中1x ， -1 分 （求出导数（求出导数 1 分，两种形式都可以，定义域不占分）分，两种形式都可以，定义域不占分） 若0a，( )0fx，此时( )f x在( 1)，上单调递减； -2 分 若0a ，由( )0fx 1 1x a ，( )0fx 1 11x a ， 此时( )f x在 1 ( 11) a ，上单调递减，在 1 (1) a ，上单调递增；-4 分 （写对一个给（写对一个给 1 分）分） 综上所述，0a，( )f x在( 1)，上单调递减； 0a ，( )f x在 1 ( 11) a ，上单
39、调递减，在 1 (1) a ，上单调递增. （没综上不扣分）（没综上不扣分） - 18 - （2） 【解法一】 由题意 1 eln(1)0 1 x axx x 在(0)x，恒成立，-5 分 记 1 ( )eln(1) 1 x g xaxx x ，(0)x，其中(0)0g； 则(0)x ，( )0g x -5 分 （构造转化（构造转化 1 分）分） 2 11 e 1(1) x gxa xx 2 e (1) x x a x - 其中(0)1ga； 3 233 12(1)e(1) ( )e (1)(1)e (1) x x x xx gx xxx ， 记( )h x 3 (1)e(1) x xx， 因
40、为 ( )h x 2 e3(1)0 x xx，(0)x， 所以 ( )h x在(0)，上单调递增， 所以 ( )(0)0h xh，所以 ( )0gx， 所以 ( )g x在(0)，上单调递增；-6 分 （导数的单调性（导数的单调性 1 分）分） 若1a，因为 ( )g x在(0)，上单调递增， 所以 ( )(0)10g xga ， 所以 ( )g x在(0)，上单调递增， 所以 ( )(0)0g xg，符合题意； -8 分 若0a， g x 2 e0 (1) x x a x 所以 ( )g x在(0)，上单调递减， 所以( )(0)0g xg，不合题意； -9 分 （或者找特殊点如：（或者找特
41、殊点如： 1 1 (1)eln20 2 ga ，不合题意； ），不合题意； ） 若01a， 因为 2 11 ( )ee 1(1) xx g xaa xx ， 所以 ln (ln )e0 a gaa ， 又因为，( )g x在(0)，上单调递增， 所以 当(0ln )xa，时，( )0g x， 所以 ( )g x在(0ln )a，上单调递减， 所以 当(0ln )xa，时，( )(0)0g xg，不合题意； -11 分 综上 实数a的取值范围是1)， -12 分 （结论（结论 1 分）分） 【解法二】 记( )e(1) x g xx，(0)x，( )e10 x g x ， - 19 - 所以 (
42、 )g x在(0)，上单调递增，所以 ( )(0)0g xg， 即e(1) x x -6 分 所以 111 e0 11e x x xx 恒成立； -7 分 若1a，记 1 ( )eln(1) 1 x h xaxx x ，(0)x， 1 ( )eln(1) 1 x h xxx x ， 记 1 ( )eln(1) 1 x xxx x ， 22 111111 ( )11 1(1)e1(1)1 x x xxxxx 22 22 (1)2(1)1 0 (1)(1) xxx xx ， 所以 ( )x在(0)，上单调递增，所以 ( )(0)0 x， 所以 ( )0h x ，符合题意； -9 分 若0a，(1)
43、ln20fa，不合题意； -10 分 若01a，由（1）知，( )f x在 1 (01) a ，上单调递减， 所以 1 (1)(0)0ff a ，不合题意； -11 分 综上 实数a的取值范围是1)， -12 分 【解法三】 由题意 1 eln(1)0 1 x axx x 在(0)x，恒成立， 记 1 ( )eln(1) 1 x g xaxx x ，(0)x，其中(0)0g； 2 11 e 1(1) x gxa xx 2 e (1) x x a x -5 分 因为(0)0g，且(0)x ，( )0g x 所以(0)10ga ，得1a -8 分 下证充分性： 若1a，则 1 ( )eln(1)
44、1 x g xxx x ，(0)x，-9 分 记 1 ( )eln(1) 1 x xxx x ，则 22 111111 ( )11 1(1)e1(1)1 x x xxxxx 22 22 (1)2(1)1 0 (1)(1) xxx xx ， 所以 ( )x在(0)，上单调递增，所以 ( )(0)0 x， - 20 - 所以 ( )0g x ， -11 分 所以 实数a的取值范围是1)， -12 分 【解法四】 由题意 1 eln(1)0 1 x axx x 在(0)x，恒成立， 记 1 ( )eln(1) 1 x g xaxx x ，(0)x，其中(0)0g； 2 11 e 1(1) x gxa
45、 xx 2 e (1) x x a x -5 分 因为(0)0g，且(0)x ，( )0g x 所以(0)10ga ，得1a -8 分 下证充分性： 【格式一】当1a时， 1 ( )ln(1) 1 x g xxex x ， 设( )lnh xxx，(0)x， 1 ( )1h x x ， 所以( )h x在(0 1)，上单调递增，(1)，上单调递减-9 分 易证得1 x xe ， -10 分 所以 1 1 x xe ， 又(0)x，时， 1 110 x xe ， 所以 1 (1) )() x hxh e ， 所以 1 (1) )()0 x hxh e ， 即 1 ln(1)0 1 x xex x
46、 ，即 ( )0g x ， -11 分 所以 实数a的取值范围是1)， -12 分 【格式二】当1a时， 1 ( )ln(1) 1 x g xxex x ， 设( )0 x h xxex ， 因为 ( )10 x h xe ，所以( )h x在(0)x，单调递增，-9 分 易证得ln1xx， -10 分 - 21 - 所以 ln(1)xx， 则 ln(1) 1 (ln(1)ln(1)ln(1) 1 x hxxex x ， 所以(ln(1)( )hxh x， 所以 1 ( )ln(1)( )(ln(1)0 1 x g xxexh xhx x 厖，-11 分 所以 实数a的取值范围是1)， -12 分
