1、1 青岛市青岛市 2020-2021 学年度高三第一次模拟考试学年度高三第一次模拟考试 数学试卷数学试卷 一、一、单项选择题（本题共单项选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合4,log2xxyyA， 2 1 xyRxB，则BACR)（=（ ） A.2 , B., 2 C.2 , 0 D.2 , 0 2.若，表示两个两个不同的平面，m 为平面内的一条直线，则（ ） A.“m”是“”的充分不必要条件 B.“m”是“”的必要不充分条件 C.
2、“m”是“”的必要不充分条件 D.“m”是“”的充要条件 3.已知双曲线1 2 2 2 2 b x a y 的一条渐近线的倾斜角为 3 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 1 B. 2 3 C. 3 32 D.2 4.18 世纪末期， 挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数， 使复数及其运算 具有了几何意义，例如，OZZ ,也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的距 离， 在复数平面内， 复数 i ia Z 1 2 0 （i 是虚数单位，Ra） 是纯虚数， 其对应的点为 0 Z,Z 为曲线1Z上的动点，则 0 Z与 Z 之间的最小距离为（ ） A. 2 1 B
3、.1 C. 2 3 D.2 5.若 0,2 0),1(log )( 3 x xx xf x ，则不等式 2 1 )(xf的解集为（ ） A., 130 , 1 B.，13-1- C.1-300 , 1-， D.，1-31- 6.已知角终边上有一点 P（) 6 17 sin(2 , 3 4 tan） ，则cos的值为（ ） 2 A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 7.已知)(xfy 为奇函数，) 1( xfy为偶函数，若当1 , 0 x，)(log)( 2 axxf， 则)2021(f A.-1 B.0 C.1 D.2 8.在抛物线yx 2 1 2 第一象限内一点), nn
4、ya（处的切线与 x 轴加点上的横坐标记为 1n a，其 中 Nn,已知 n Sa,32 2 为 n a的前n项和，若 n Sm 恒成立，则m的最小值为（ ） A.16 B.32 C.64 D.128 二、多项选择题多项选择题:本题共本题共 4 小题，每小题分，共小题，每小题分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项分，在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9.关于圆 C：01 4 1 2 222 kkykxyx，下列说法正确的是（ ） A. k的取值范
5、围是0k B.若4k，过 M（3,4）的直线与圆 C 相交所得弦长为32，其方程为016512 yx C.若4k，圆 C 圆1 22 yx相交 D.若4k，0, 0nm，直线01nymx恒过圆 C 的圆心，则8 21 nm 恒成立。 10.已知向量)( 4 cos, 4 sin2( 44 xf xx a ，) 2 1 , 1 ( b，若 ba与共线，则下列说法正确 的是（ ） A.将)(xf的图像向左平移 3 个单位得到函数 4 3 ) 3 2cos( 4 1 xy的图像 B.函数)(xf的最小正周期为 C.直线 2 3 x是)(xf图像的一条对称轴 D.函数)(xf在），（ 4 - 2 -
6、上单调递减 11.若实数ba，则下列不等式关系正确的是（ ） A. aab ) 5 3 () 5 2 () 5 2 ( B.若2log, 1aba a 则 3 C. b a a b a 11 , 0 22 则若 D.若 ) 3 , 1 (, 3 5 mba ，则0)() 3 1 2233 babamba（ 12.在南方不少地区，经常看到人们头收一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来 遮阳城避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种 外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的现号供人 选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(
7、母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进 行衡.现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长 20 厘米，帽底宽 203厘米，关于此斗笠，下而说法正 确的是（ ） A.斗笠轴截而(过顶点和底而中心的截面图形)的顶角为 120 B,过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 1003平方厘米 C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表而积为 1600平方厘米 D.此斗笠放在平面上，可以益住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为 203-30 厘米 三、填空题三、填空题:本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 62 ) 2 x x （的展开式
8、中的常数项是 14.已知非零向量 ba,满足 a2b，且 aba)（，则 b与a的夹角为 15.某驾驶贝培训学校为对比了解“科日二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训 两种方式的效果， 调查了 105 名学员， 统计结界为:接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试道过的有 30 个.根据统计结果，认 为“能否一次考试通过与足否集中培训有关”犯错误的概率不超过 附： )()()( )(n k 2 2 dbcadcba bcad P（kk 2 ） 0.05 0.025 0.010 0.001 k 3.841 5.024 6.635 1
9、0.828 16.2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象。已知 抛物线yxZ4: 2 的焦点为 F，圆 F:4) 1( 22 yx与抛物线 Z 在第一象限的交点为 ) 4 ,m 2 m P（，直线)0(:mttxl与抛物线 Z 的交点为 A，直线l与圆 F 在第一象限的 交点为 B,则 m= ;三角形 FAB 周长的取值范围为 （第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题解答题:本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 4 17.（10 分）从“); 2 ( 1 a
10、nnSn 21432 ,aaaaS 8241 , 2aaaa是的等比数列”，三 个条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答。 已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，公差 d 不等于 0， ， Nn。 （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 nn SSbn 22 1 ，数列 n b的前 n 项和为 nn WW 求,。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分。 18. （12 分）如图，在ABC中，2,ACABACAB,点 E,F 是线段 BC（含端点）上 的动点， 且点E在点F的右下方， 在运动的过程中， 始终保持 4 EAF不变， 设EAB 弧度， （1）写出的取值范围，并
11、分别求出线段 AE,AF 关于的函数关系式； （2）求EAF面积 S 的最小值。 19.（12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD,ADBC,2,ADPACDBC,CD=1, BC=3,点 M,N 在线段 BC 上,BM=2MN=1,EMDAN,Q 为线段 PB 上的一点。 5 （1）求证：PANMD平面; （2）若平面 MQA 与平面 PAN 所成锐角的余弦值为 5 4 ，求直线 MQ 与平面 ABCD 所成角 的正弦值。 20.（12 分） 某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定积分的会员参加特价购物赠券活动， 今年活动的主题为“购物三选一，正清暖心里”，符合条
12、件的会员可以特价购买礼包 A（十斤 肉类） ，礼包 B（十斤蔬菜）和礼包 C（十斤鸡蛋）三类特价商品中的任意一类，并且根据 购买的礼包不同可以获取价值不等的代金券， 根据以往经验得知， 会员购买礼包 A 和礼包 B 的概率均为 5 2 。 （1）预计今年有 400 名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡蛋合 理； （2）在促销活动中， 若有甲、 乙、 丙三位会员同时参加答谢活动， 各人购买礼包互相独立， 已知购买礼包 A 或购买礼包 B 均可以获得 50 元商场代金券，购买礼包 C 可以获得 25 元商 场代金券，设 Y 是三人获得代金券金额之和，求 Y 的分布列和数学期望。
13、 21. （12 分） 在平面直角坐标系中， 已知椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C（0ba） 的离心率为 2 3 ， 右焦点为 2 F,上定点为 2 A,点 P（a,b）到直线 22A F的距离等于 1. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线)0(:mmkxyl与椭圆 C 相交于 A,B 两点，D 为 AB 的中点，直线 DE,DF 分别与圆 222 )3(:mmyxW相切于点 E,F。求EWF的最小值。 22.（12 分）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重 要指标是曲率， 曲线的曲率定义如下： 若)()(xfxf是的导函数，)(x f 是)
14、(x f 的导函数， 则曲线)(xfy 在点)(,xfx（处的曲率 2 3 2) )(1 ( )( xf xf K 。 已知函数) 1cos(ln)(xbxaexf x （0, 0ba） ，若 a=0 则曲线)(xfy 在 6 点)1 (1f，（处的曲率为 2 2 。 （1）求b； （2）若函数)(xfy 存在零点，求a的取值范围； （3）已知050. 1,099. 13ln098. 1 048. 0 e，956. 0 045. 0 e， 证明：15. 1ln14. 1 参考答案 1C 2B 3C 4B 5A 6D 7C 8D 9ACD 10BC 11BCD 12ACD 13240 14120
15、 150.025 162；(4，6) 17解：选， （1），令 ，当时， 当时，而； （2） 18解： （1），由题意知， 7 ； （2） 当且仅当 8 时，取“” 19解： （1）证明：BC3，BM1，CM2，ADCM， 又ADCM，四边形 AMCD 为平行四边形， 又BCCD，四边形 AMCD 为矩形， ， AEDMANAMEADMAME90， MDAN，又PA平面 ABCD，PAMD，ANPAA， MD平面 PAN； （2）如图建立空间坐标系，则 M(1，0，0)，A(0，0，0)，P(0，0，2)， N(1， 1 2 ，0)，B(1，1，0)，Q(x，y，z)， 设 设平面 MQA 与
16、平面 PAN 的一个法向量分别为 8 设平面 MQA 与平面 PAN 所成锐二面角为， 此时，平面 ABCD 的一个法向量， 20解： （1）会员购买礼包 C 的概率为， 准备鸡蛋：（斤） ， （2）Y 的所有可能取值为：150，125，100，75， Y 的分布列如下： 21解： （1）直线 F2A2的方程为 9 P(a，b)到直线 F2A2的距离为， 而椭圆 C 的标准方程为； （2）设 ， ， 令， EDW30，EWF120 22 （1）时， ， 在处的曲率为， （2） 令， 当且仅当 x1 时取“” ，显然，当时，无零点， 10 当时， 存在使，符合题意， 综上：实数 a 的取值范围为， （3）由（2）知（当且仅当 x1 时取“” ） 又 综上：
