1、本资料分享自千人 QQ 交流群 323031380 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图像和性质对数函数的图像和性质 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.4.2 节对数 函数的图像和性质 是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密 切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的 图象亦有其独特的美感。在类比推理的过程中，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生 直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养和发展
2、学生逻 辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1、掌握对数函数的图像和性质；能利用对数 函数的图像与性质来解决简单问题; 2、经过探究对数函数的图像和性质，对数函 数与指数函数图像之间的联系，对数函数内 部的的联系。培养学生观察问题、分析问题 和归纳问题的思维能力以及数学交流能力； 渗透类比等基本数学思想方法。 3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识 事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数 学应用的意识，探索数学。 a.数学抽象：对数函数的性质； b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系； c.数学运算：运用对数函数的性质比较大小； d.直观想象：对数函数的图
3、像； e.数学建模：运用对数函数解决实际问题； 教学重点：掌握对数函数的图像和性质，对数函数与指数函数之间的联系，不同底数的 对数函数图 象之间的联系。 教学难点： 对数函数的图像与指数函数的关系；不同底数的对数函数之间的联系。 多 媒 体 教学过程 设计意图 核心教学素养目 标 （一） 、问题探究 思考：我们该如何去研究对数函数的性质呢？ 问题 1. 利用“描点法”作函数 2 logyx和 1 2 logyx 的图像 函数的定义域为(0, )，取 x 的一些值,列表如下： x 1 2 4 2 -1 0 1来 源: 2 2 1 0 -1 -2 问题2： 我们知道， 底数互为倒数的两个指数函数的
4、图象关于 y轴对称 对 于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 2 logyx 和 1 2 logyx 的图 像，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图 象画出另一个函数的图象？ 温故知新， 通过 对上节指数函数 问题的回顾，提 出新的问题，提 出研究对数函数 图像与性质的方 法。培养和发展 逻辑推理和数学 抽 象 的 核 心 素 养。 1 4 1 2 2 logyx 1 2 logyx 发现：函数 2 logyx和 1 2 logyx 的图像都在 y 轴的右边,关于 x 轴对称 问题 3：底数 a（a，且 a）的若干个不同的值，在同一直角坐标 系内画出相应的对数函数的图象观
5、察这些图象的位置、公共点和变化 趋势，它们有哪些共性 由此你能概括出对数函数logayx（a， 且 a） 的值域和性质吗？ 结论 1函数 2 logyx和 1 2 logyx 的图像都在 y 轴的右边； 2图像都经过点1,0 ； 3函数 2 logyx的图像自左至右呈上升趋势；函数 1 2 logyx 的图像自 左至右呈下降趋势 观察两幅图象，得到 a1 和 0a 1, 函数在区间 （0， +） 上是增函数； 3.48.5， log 23.4 log28.5 （2） ： 考察函数 y=log 0.3 x , a=0.3 1, 函数在区间（0，+）上 是减函数；1.8 log 0.3 2.7 通
6、过画出特 殊的对数函数的 图形，观察归纳 出对数函数的性 质，发展学生逻 辑推理，数学抽 象、数学运算等 核心素养； 通过典例问题 的分析，让学生 （3） ： 考察函数 log a 5.1 与 log a 5.9 可看作函数 y=log a x 的两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数 a 是大于 1 还是小于 1，因此需要对底数 a 进行讨论;当 a 1 时, 因为 y=log a x 是增函数，且 5.1 5.9，所以 log a 5.1 log a 5.9 ； 当 0 a 1 时, 因为 y=log a x 是减函数， 且 5.1 log a 5.9 ； 归纳总结：1.当底数相同时,利
7、用对数函数的单调性比较大小. 2.当底数不确定时,要对底数 a 与 1 的大小进行分类讨论. 跟踪训练 1 比较下列各题中两个值的大小 : log 106 log10 ； 8 log 0.56 log0.5 4 log 0.10.5 log0.10.6； log1.51.6 log1.51.4 答案：； 跟踪训练 2：已知下列不等式，比较正数 m，n 的大小： (1) log 3 m log 0.3 n (3) log a m log a n (0a log a n (a1) 答案：m n；m n；m n 7 .:lg, /. (1) (2)10/ . pHpHpHH H pH H pH +
8、+ +- =- = 例2溶液酸碱度的测量溶液酸碱度是通过刻画的的计算公式为 其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 升 根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度 与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； 已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔 升，计算纯 净水的值 1 1 (1)lglglg, pHHH H + - + =-=解：根据对数的运算性质得 11 (0,)lg. , ,. HpH HH HpH + + + +?在上，增大，减小，也减小，即减小 所以增大减小 即溶液中氢离子的浓度越大 其酸碱度就越小 77 (2) 10lg107.7.HpHpH +- =-=当时，即纯净水的是 已知函数 y
9、=2 x （xR ，y （0，+） 可得到 x=log2 y ，对于任意 一个 y（0，+），通过式子 x=log2 y ，x 在 R 中都有唯一确定的值和 它对应。也就是说，可以把 y 作为自变量，x 作为 y 的函数，这是我们就 进一步熟悉对数 函数的图像与性 质。培养逻辑推 理核心素养。 运用对数函数 的性质解决比较 大小问题，发展 学生数学运算、 逻辑推理的核心 素养； 通过对应用问 题的解决，发展 说 x=log2 y （y（0，+）是函数 y=2 x （ xR） 的反函数。 但习惯上，我们通常用 x 表示自变量，y 表示函数。为此我们常常 对调函数 x=log2 y 中的字母 x，
10、y，把它写成 y=log2x ,这样，对数函数 y=log2x （ x（0，+） ）是指数函数 y=2 x （xR ）的反函数。 因此， 函数 y = log ax (a0,且 a1)与指数函数 y = a x 互为反函数。 它们的 定义域和值域恰好相反。 学生数学建模的 核心素养； 三、当堂达标 1函数 ylogax 的图象如图所示，则实数 a 的 可能取值为( ) A5 B.1 5 C. 1 e D. 1 2 【答案】A 由图可知，a1，故选 A. 2.当 a1 时，在同一坐标系中，函数 ya x 与 ylogax 的图象为( ) A B C D 【答案】 ：C (1)a1，01，ya x
11、 是减函数，ylog ax 是增函 数，故选 C. 3.已知 f(x)log a|x|，满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象. 解析： f(x)loga|x|，f(5)loga51，即 a5，f(x)log5|x|， f(x)是偶函数，其图象如图所示 4函数 f(x)loga(2x5)的图象恒过定点_ 【答案】 (3,0) 由 2x51 得 x3， f(3)loga10.即函数 f(x)恒过定 点(3,0) 5.比较下列各组数中两个值的大小: 解:(1)log67log661，log76log771，log67log76 (2)log3log310，log20.8log210，log3
12、log20.8 通过练习巩固本 节所学知识，巩 固对数函数的概 念，增强学生的 数学抽象、数学 运算、逻辑推理 的核心素养。 6log, 7log)1( 76 8 . 0log,log)2( 23 6:解不等式: 解：原不等式可化为：， 四、小结 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 图象 定义域 (0，) 值域 R 性 质 定点 (1,0)，即 x1 时，y0 单调 性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 2反函数 指数函数 yax(a0， 且 a1)和对数函数 ylogx(a0 且 a1)互为反函数 3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；数形结 合思想方法是研究函数图像和性质； 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂 学习，自主总结 知识要点，及运 用的思想方法。 注意总结自己在 学 习 中 的 易 错 点； 2log) 12(log 2 1 2 1 x 212 012 x x 2 1 2 1 x 2 1 2 1， 原不等式的解集是
