1、【新教材】【新教材】 5.5.1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 （人教（人教 A 版）版） 1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题 1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题； 3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题. 4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。 重点：重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：难点：
2、求值过程中角的范围分析及角的变换. 一、 预习导入 阅读课本 215-218 页，填写。 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()_； cos()_； tan()_. 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2_； cos 2_； tan 2 2tan 1tan2. 提醒： 1必会结论 (1)降幂公式：cos2 1cos 2 2 ，sin2 1cos 2 2 . (2)升幂公式：1cos 22cos2 ，1cos 22sin2 . (3)公式变形：tan tan tan( )(1tan tan ) (4)辅助角公式：asin xbcos x a2b2sin(x)， 其中 sin b a2
3、b2，cos a a2b2 . 2常见的配角技巧 2()()， ()， 2 2 ， 2 2 ， 2 2 2 等 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( ) (2)存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立( ) (3)公式 tan() tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角 ， 都成立( ) (4)当 是第一象限角时，sin 2 1cos 2 .( ) (5)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的( ) (6)公式 asin xbcos
4、x a2b2sin(x)中 的取值与 a，b 的值无关( ) 2sin 20 cos 10 cos160 sin10 ( ) A 3 2 B 3 2 C1 2 D1 2 3若 sin 2 3 3 ，则 cos ( ) A2 3 B1 3 C1 3 D2 3 4设 tan ，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan()的值为( ) A3 B1 C1 D3 题型一题型一 给角求值给角求值 例例 1 利用和（差）角公式计算下列各式的值. (1)sin72 cos42cos72 sin42 ; (2)cos20 cos70sin20 sin70 ; 1tan15 (3). 1tan15 跟踪训
5、练一跟踪训练一 1.cos 50 =( ) A.cos 70 cos 20 -sin 70 sin 20 B.cos 70 sin 20 -sin 70 cos 20 C.cos 70 cos 20 +sin 70 sin 20 D.cos 70 sin 20 +sin 70 cos 20 2.cos5 12cos 6+cos 12sin 6的值是( ) A.0 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 3. 求值：(1)tan75 ；(2) 3tan15 1 3tan15 . 题型二题型二 给值求值给值求值 例例 2 45 sin,cos,cos(). 5213 已知是第三象限角，求的值 例例
6、 3 3 sin,sin(),cos(),tan(). 5444 已知是第四象限角，求的值 跟踪训练二跟踪训练二 1.(1)已知 为锐角,sin =3 5, 是第四象限角,cos = 4 5,则 sin(+)= . (2)若 sin(-)cos +cos(-)sin =3 5,且 ( 2 ,),则 tan(- 3 4 ) = . 题型三题型三 给值求角给值求角 例例 4 已知 tan1 7，sin 10 10 ，且 ， 为锐角，求 2 的值 跟踪训练三跟踪训练三 1.若 tan =1 2,tan = 1 3,且 (, 3 2 ),(0, 2),则 + 的大小等于( ) A. 4 B.5 4 C
7、.7 4 D.9 4 题型四题型四 二倍角公式应用二倍角公式应用 例例 5 5 sin2,sin4cos4tan4. 13 42 已知求，的值 跟踪训练四跟踪训练四 1. (1)已知 2， ，sin 5 5 ，则 sin2_，cos2_，tan2_； (2)已知 sin 4x 5 13，0 x 4，求 cos2x 的值 1 3 cos 10 1 sin 170 ( ) A4 B2 C2 D4 2已知 sin cos 4 3，则 sin 2( ) A7 9 B2 9 C2 9 D7 9 3若 ， 都是锐角，且 cos 5 5 ，sin() 10 10 ，则 cos ( ) A 2 2 B 2 1
8、0 C 2 2 或 2 10 D 2 2 或 2 10 4.化简： 2cos4 x2cos2 x1 2 2tan 4x sin 2 4x _. 5已知 tan 1 3，cos 5 5 ， 2， ， 0， 2 ，求 tan()的值，并求出 的值 答案答案 小试牛刀小试牛刀 1(1) (2) (3) (4) (5) (6) . 2D. 3C. 4. A. 自主探究自主探究 例例 1 【答案】（1） 1 2 （2）0（3）3. 1 =sin 7242=sin30 = 2 =cos 2070=cos90 =0 tan45tan15 =tan603. 1tan45 tan15 【解析】（1）原式； （2
9、）原式； （3）原式 跟踪训练一跟踪训练一 1.【答案】C 【解析】 cos 50 =cos(70 -20 )=cos 70 cos 20 +sin 70 sin 20 . 2.【答案】C 【解析】cos5 12cos 6+cos 12sin 6=cos 5 12cos 6+sin 5 12sin 6=cos( 5 12 - 6)=cos 4 = 2 2 . 3.【答案】（1）2 3； （2）1. 【解析】(1)tan75 tan(45 30 ) tan45 tan30 1tan45 tan30 1 3 3 1 3 3 3 3 3 3 126 3 6 2 3. (2)原式 tan60 tan1
10、5 1tan60 tan15 tan(60 15 )tan45 1. 例例 2【答案】 33 . 65 2 2 3 cos=- 1 sin. 5 12 sin- 1 cos, 13 3512433 cos()=coscossinsin=. 51313565 【解析】是第二象限角， 是第三象限角， 则 43 cos=,tan. 54 24327 2 sin()=sincoscossin= 444255210 24327 2 cos()=coscossinsin= 444255210 37 tantan1 444 tan()=7. 31 4 1tantan1 444 3例【答案】见解析 【解析】是
11、第四象限角， ； ； 跟踪训练二跟踪训练二 1.【答案】（1）0；（2）1 7 【解析】 (1) 为锐角,sin =3 5,cos = 4 5. 是第四象限角,cos =4 5,sin =- 3 5. sin(+)=sin cos +cos sin =3 5 4 5 + 4 5 (- 3 5)=0. (2)由已知得 sin (-)+=3 5,即 sin = 3 5,又因为 ( 2 ,), 所以 cos =-4 5,于是 tan =- 3 4, 故 tan(- 3 4 ) = tan-tan 3 4 1+tantan 3 4 = -3 4-(-1) 1+(-3 4)(-1) = 1 7. 例例
12、4【答案】 4. 【解析】 tan1 71 且 为锐角，0 4. 又sin 10 10 50 10 2 2 且 为锐角 0 4，02 3 4 . 由 sin 10 10 ， 为锐角，得 cos3 10 10 ，tan1 3. tan() tantan 1tantan 1 7 1 3 11 7 1 3 1 2. tan(2) tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1. 由可得 2 4. 跟踪训练三跟踪训练三 1.【答案】5 4 . 【解析】由已知得 tan(+)=tan+tan 1-tantan= 1 2+ 1 3 1-1 2 1 3 =1. 又因为 (, 3 2 ),
13、(0, 2), 所以 +(,2),于是 +=5 4 . 例例 5【答案】见解析. 2 2 125 2,cos2 =,tan2. 4221312 512120 sin42sin2 cos22; 1313169 12119 cos42cos 2121; 13169 sin4120 tan4. cos4119 【解析】， 跟踪训练四跟踪训练四 1. 【答案】（1）4 5， 3 5， 4 3；（2） 120 169. 【解析】 (1)因为 2， ，sin 5 5 ，所以 cos2 5 5 ， 所以 sin22sincos2 5 5 2 5 5 4 5， cos212sin212 5 5 23 5， tan2sin2 cos2 4 3，故填 4 5， 3 5， 4 3. (2)因为 x 0， 4 ，所以 4x 0， 4 ，又因为 sin 4x 5 13， 所以 cos 4x 12 13， 所以 cos2xsin 22x 2sin 4x cos 4x 2 5 13 12 13 120 169. 当堂检测当堂检测 1-3.DAA 4. 1 2cos 2x 5【答案】5 4 . 【解析】由 cos 5 5 ， 0， 2 ，得 sin 2 5 5 ，tan 2. tan() tan tan 1tan tan 1 32 12 3 1. 2， ， 0， 2 ， 2 3 2 ， 5 4 .
