1、【方法综述】【方法综述】 面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下：面积问题中，以三角形的面积的情况居多，通常三角形的面积探究方法如下： 方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积；方法一：应用相似三角形性质，面积比等于相似比平方处理面积； 方法二：方法二： 同底等高类的三角形面积：同底等高类的三角形面积： 当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个当两个三角形同底（高）等高（底）时，两个三角形的面积相等，同底（高）且高（底）不等的两个 三角形面积之比等于高（底）之比三角形面积之比等于高（底）之比 方法三：割
2、补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决；方法三：割补法，一些情况下，三角形和四边形的面积可以采用割补法解决； 坐标系中的三角形面积可以采坐标系中的三角形面积可以采用平行线相切法用平行线相切法 例如：求抛物线在直线例如：求抛物线在直线 AC 上方一点，使得上方一点，使得 PAC 面积最大，当把直线面积最大，当把直线 AC 向上平移时，与抛物线的向上平移时，与抛物线的 切点即为满足条件的切点即为满足条件的 P 点，因此，若直线点，因此，若直线 AC 斜率为斜率为 k，则可以设一条直线解析式为，则可以设一条直线解析式为 y=kx+b，该直线与抛，该直线与抛 物线联立的方程有两个相等
3、实数根时，可求得物线联立的方程有两个相等实数根时，可求得 b，进而求得，进而求得 P 点坐标。点坐标。 另外，用铅垂高法解决面积最值问题基本模型如下：另外，用铅垂高法解决面积最值问题基本模型如下： S PAB 1 2 PQ |xBxA.根据二次函数解析式设出点根据二次函数解析式设出点 P 的坐标，结合一次函数解析式从而得到点的坐标，结合一次函数解析式从而得到点 Q 的坐的坐 标，从而转化为标，从而转化为 S 与点与点 P横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值横坐标之间的二次函数解析式，再根据二次函数增减性求最值.一般情况下，当铅一般情况下，当铅 P 垂线段垂线段 PQ 最大时，
4、最大时，S PAB 取得最大值，此时点取得最大值，此时点 Q 为线段为线段 AB 的中点的中点. 【典例示范】【典例示范】 类型一类型一 实际问题的面积探究实际问题的面积探究 例例 1：用一段长 32m 的篱笆和长 8m 的墙，围成一个矩形的菜园 （1）如图 1，如果矩形菜园的一边靠墙 AB，另三边由篱笆 CDEF 围成 设 DE 等于 xm，直接写出菜园面积 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 菜园的面积能不能等于 110m2？若能，求出此时 x 的值；若不能，请说明理由； （2）如图 2，如果矩形菜园的一边由墙 AB 和一节篱笆 BF 构成，另三边由篱笆 ADEF 围成
5、，求菜园面积 的最大值 【答案】 （1）y x2+16x（0 x8） 不能 0 x8 （2）100 (2)设 DE 等于 xm，则菜园面积为： y x(32+82x) -x2+20 x -(x10)2+100， 当 x10 时，函数有最大值 100 答：当 DE 长为 10m 时，菜园的面积最大，最大值为 100m2 故答案为：(1)y x2+16x(0 x8), 不能;（2）100. 针对训练针对训练 1.如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园 ABCD，设与墙平行的篱 笆 AB 的长为 xm，菜园的面积为 ym2 （1）试写出 y 与 x 之间的关系式
6、； （2）当 AB 的长为 10m，菜园的面积是多少？ 【答案】 （1）y=- x2+30 x；(2) 当 AB 的长为 10m，菜园的面积是 250m2 2.问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最 大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图）和一边“包含”墙（如图） 特例分析: （1）当时，若按图的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图的方案 设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 （2）当时，解决“问题情境”中的问题 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案 【答案】 （1）288，324； （2）当时
7、，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是 ； （3）当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为 （2）如图，设，则 所以 根据题意，得 因为， 所以当时，随 的增大而减小 即当时，有最大值，最大值是 400（m2）. 如图，设，则 所以 根据题意，得 因为， 所以当时， 有最大值，最大值是. 综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是 3晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园， 其中一边靠墙， 另外三边用长为30米的篱笆围成 已 知墙长为 18 米（如图所示） ，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米 (1)若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出
8、 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围； (2)设这个苗圃园的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系 【答案】 （1）y302x， （6x15） ； （2）S2（x7.5）2+112.5 【解析】解： （1）y302x， （6x15） ； （2）设矩形苗圃的面积为 S Sxyx（302x）2（x7.5）2+112.5 4.2018 年，汶上县县委、县政府启动创建全国卫生县城和全国文明县城工作，各单位都积极投身创城工作 某单位为进一步美化我县环境，在临街的围墙外靠墙摆设一长方形花圃景观，花圃一边靠墙，墙长 18m， 外围用 40m 的栅栏围成，如图所示，若设花圃的 BC 边长为
9、 x(m)，花圃的面积为 y(m2) (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)利用所学知识试着求出花圃的最大面积 【答案】(1)y2x2+40 x，(11x20)；(2)花圃的面积最大为 198m2 (2)由(1)得：y2x2+40 x，(11x20)， 当 x10 时，二次函数 y2x2+40 x 有最大值， 但 11x20， 所以当 x11 时，二次函数有最大值为 y2 112+40 11198， 即当 BC11m 时，花圃的面积最大为 198m2 5某小区业主委员会决定把一块长 50m，宽 30m 的矩形空地建成健身广场，设计方案如图所示，阴影区域
10、 为绿化区 （四块绿化区为全等的矩形） ， 空白区域为活动区， 且四周的 4 个出口宽度相同， 其宽度不小于 14m， 不大于 26m，设绿化区较长边为 xm，活动区的面积为 ym2 （1）直接写出：用 x 的式子表示出口的宽度为 ； y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围 ； （2）求活动区的面积 y 的最大面积； （3）预计活动区造价为 50 元/m2，绿化区造价为 40 元/m2，如果业主委员会投资不得超过 72000 元来参与 建造，当 x 为整数时，共有几种建造方案？ 【答案】 （1）502x，y4x2+40 x+1500（12x18） ； （2）1404m2； （3）共有 4
11、种建造方案 （2）y4x2+40 x+15004（x5）2+1600， a40，抛物线的开口向下，对称轴为 x5，当 12x18 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x12 时，y最大1404， 答：活动区的面积 y 的最大面积为 1404m2； （3）设费用为 w， 由题意得，w50（4x2+40 x+1500）+40 4x（x10）40（x5）2+76000， 当 w72000 时，解得：x15，x215， a400， 当 x5 或 x15 时，w72000， 12x18， 15x18，且 x 为整数， 共有 4 种建造方案 类型二类型二 面积计算面积计算 例 2已知直线 l：ykx1 与
12、抛物线 yx24x. (1)求证：直线 l 与该抛物线总有两个交点； (2)设直线 l 与该抛物线的两交点为 A，B，O 为原点，当 k2 时，求OAB 的面积 【答案】(1)见解析 (2) 来源:Zxxk.Com （2）当 k=-2 时，y=-2x+1， 过点 A 作 AFx 轴于 F，过点 B 作 BEx 轴于 E， 联立，解得：或， A（1-，2-1） ，B（1+，-1-2） ， AF=2-1，BE=1+2， 易求得：直线 y=-2x+1 与 x轴的交点 C 为（ ，0） ， OC= ， SAOB=SAOC+SBOC= OCAF+ OCBE= OC（AF+BE）= （2-1+1+2）=
13、针对训练针对训练 1.如图，直线与 轴交于点，与 轴交于点 ,抛物线 经过点. (1)求抛物线的解析式， (2)已知点 是抛物线上的一个动点，并且点 在第二象限内，过动点 作轴于点 ，交线段于点 . 如图 1，过 作轴于点 ，交抛物线于两点(点位于点 的左侧)，连接，当线段的长度最 短时，求点的坐标， 如图 2，连接，若以为顶点的三角形与相似，求的面积. 【答案】(1) ；(2) 点 的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ； 点 的坐标为，来源: 将代入得， 点 的坐标为， 将代入得， 解得， 点的坐标为，点 的坐标为 当时(如图 2)，则 、 关于抛物线的对称轴对称， 的坐标为，点 的坐标为，
14、当时(如图 3)，则是等腰直角三角形， 过点 作于点 ，设点 的坐标为， ，解得， . 2.如图，已知抛物线与 轴、 轴分别相交于点 A（1，0）和 B（0，3） ，其顶点为 D （1）求这条抛物线的解析式； （2）若抛物线与 轴的另一个交点为 E，求ODE 的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P 使得PAB 的周长最短若存在请求出点 P 的坐标，若不存在说明理 由 【答案】 （1）y=x2+2x+3； （2）SODE=6； （3）点 P 坐标（1，2）. 【解析】 （1）解：根据题意得，解得 ， 抛物线解析式为 y=x2+2x+3 （3）连接 BE 交直线 x=1 于点 P，如图，
15、由对称性知 PA=PE， PA+PB=PE+PB=BE， 此时 PA+PB 的值最小， 求得直线 BE 的解析式为 y=x+3 当 x=1 时，y=x+3=3， 点 P 坐标（1，2）. 3.如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 W 的函数表达式为 y=x2+x+4抛物线 W 与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右侧，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 l 经过 C、D 两点 (1)求 A、B 两点的坐标及直线 l 的函数表达式 (2)将抛物线 W 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W， 设抛物线 W的对称轴与直线 l 交于点 F， 当ACF 为直角
16、三 角形时，求点 F 的坐标，并直接写出此时抛物线 W的函数表达式 (3)如图 2，连接 AC，CB，将ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位（0m5） ，得到ACD设 AC 交直线 l 于点 M，CD交 CB 于点 N，连接 CC，MN求四边形 CMNC的面积（用含 m 的代数式表示） 【答案】 （1）点 A 坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（7，0） ，y=2x+4；(2) 点 F 的坐标为（5，6） ，y= x2+x；(3) 四边形 CMNC的面积为 m2. 设直线l 的表达式为 ykxb， 解得 直线 l 的解析式为 y2x4； (2)抛物线 w 向右平移，只有一种情况符合要求，
17、即FAC90 ，如图. 此时抛物线 w的对称轴与 x 轴的交点为 G， 1290 2390 ， 13， tan1tan3， =设点 F 的坐标为（xF，2xF4） ， ，解得 xF5，2xF46， 点 F 的坐标为（5，6） ，此时抛物线 w的函数表达式为 yx2x； 分别解方程组和 解得和 点 M 的坐标为（ m， m4） ，点 N 的坐标为（ m， m4） ， yMyN MNx 轴， CCx 轴， CCMN CDCD， 四边形 CMNC是平行四边形， Sm4（ m4） m2 4.抛物线经过点 A(3,0) 和点 B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线 l，顶点为 C. （1）求抛物线的解
18、析式； （2）连接 AB、AC、BC，求ABC 的面积. 【答案】 （1）； （2）. （2）由（1）抛物线对称轴为直线 把代入，得 则点 坐标为， 设线段所在直线为： 解得解析式为： 线段所在直线经过点、 抛物线的对称轴 于直线交于点 设点 的坐标为 将点代入，解得 点 坐标为， 过点 作于点 5.如图 1，抛物线的顶点 A 的坐标为（1，4） ，抛物线与 x 轴相交于 B、C 两点，与 y 轴交于点 E（0，3） （1）求抛物线的表达式； （2）已知点 F（0，3） ，在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG 最小，如果存在，求出点 G 的坐标；如果不存在，请说明理由 （3）如
19、图 2，连接 AB，若点 P 是线段 OE 上的一动点，过点 P 作线段 AB 的垂线，分别与线段 AB、抛物 线相交于点 M、N（点 M、N 都在抛物线对称轴的右侧） ，当 MN 最大时，求PON 的面积 【答案】 （1）yx2+2x+3； （2）存在，G（1，0） ； （3）2 (2)存在，如图 1，作 E 关于对称轴的对称点 E，连接 EF 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小 E(0，3)，E(2，3)， 设 EF 的解析式为 y=kx+b， 把 F(0，3)，E(2，3)分别代入，得，解得， 所以 EF 的解析式为：y3x3， 当 x1 时，y3 130，G(1，0)； (3)
20、如图 2 设 AB 的解析式为 y=kx+b， 把 A(1，4)，B(3，0)分别代入，得，解得， 所以 AB 的解析式为：y2x+6， 过 N 作 NHx 轴于 H，交 AB 于 Q， 设 N(m，m2+2m+3)，则 Q(m，2m+6)，(1m3)， NQ(m2+2m+3)(2m+6)m2+4m3， ADNH，DABNQM， ADBQMN90 ，QMNADB， ， MN(m2)2 0， 当 m2 时，MN 有最大值； 过 N 作 NGy 轴于 G， GPNABD，NGPADB90 ，NGPADB， ，PGNGm， OPOGPGm2+2m+3mm2m+3， S PON OPGN(m2m+3)
21、m， 当 m2 时，S PON 2(4+3+3)2 6已知：m，n 是方程 x26x+50 的两个实数根，且 mn，抛物线 yx2+bx+c 的图象经过点 A（m，0） ， B（0，n） （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C，抛物线的顶点为 D，试求出点 C，D 的坐标和BCD 的面 积 【答案】 （1）yx24x+5； （2）15. （2）解方程x24x+50， 解得：x15，x21 则 C 的坐标是（5，0） yx24x+5（x2+4x+4）+9（x+2）2+9 则 D 的坐标是（2，9） 作 DEy 轴于点 E，则 E 坐标是（0，9） 则 S
22、梯形OCDE （OC+DE）OE （2+5） 9， S DEB BEDE 4 24， S OBC OCOB 5 5， 则 S BCD S梯形OCDES DEB S OBC 415 7.已知二次函数 yx2+bx+c（b，c 均为常数）的图象经过两点 A（2，0） ，B（0，6） （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点 C（m，0） （m2）在这个二次函数的图象上，连接 AB，BC，求ABC 的面积 【答案】 （1）yx2+5x6； （2）3 （2）由（1）得二次函数的解析式为：yx2+5x6，令 y0，即 0 x2+5x6，解得：x12，x23 m2， C（3，0） ， AC1， S AB
23、C ACOB 1 63， ABC 的面积3 9.如图，二次函数与一次函数交于顶点和点两点，一次函数与 轴交于点 . （1）求二次函数和一次函数的解析式； （2） 轴上存在点 使的面积为 9，求点 的坐标. 【答案】 （1）； （2）或. （2）、，点 P 在 轴上. 点 A、B 到 x 轴的距离分别是 4、2， 的面积=S PCA -S PBC = PC （4-2）=9 解得 PC=9， 一次函数解析式为 y=2x+7 与 x 轴交于点 C C(0，7)，OC=7，又PC=9 OP=7+9=16 或 OP=9-7=2 或 P（0,16） 类型三类型三 三角形面积的最值问题三角形面积的最值问题
24、例 3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90 得到平行四边形 ABOC抛物线 yx2+2x+3 经过点 A、C、A三点 （1）求 A、A、C 三点的坐标； （2）求平行四边形 ABOC 和平行四边形 ABOC重叠部分COD 的面积； （3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并 写出此时 M 的坐标 【答案】 （1）C（1，0） ，A（3，0） ，A（0，3） ； （2）； （3）SAMA （m ）2+，当 m 时，SAMA的值最大，最大值为，此时 M 点坐标为（ ，） （2）四
25、边形 ABOC 为平行四边形， ABOC，ABOC， 而 C（1，0） ，A（0，3） ， B（1，3） ， OB，S AOB 3 1 ， 又平行四边形 ABOC 旋转 90 得平行四边形 ABOC， ACOOCD，OCOC1， 又ACOABO， ABOOCD 又CODAOB， CODBOA， ()2（）2 ，来源: SCOD ； 当 m 时，SAMA的值最大，最大值为，此时 M 点坐标为（ ，） 针对训练针对训练 1.如图，已知抛物线 yx2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0） 、C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N，其顶点 为 D （1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若
26、 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点 M，使ANM 的周长最小若存在，请求出 M 点的坐标和ANM 周长的最 小值；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）yx22x+3；yx+1； （2）当 x 时，APC 的面积取最大值，最大值为，此时点 P 的坐标为（ ，） ； （3）在对称轴上存在一点 M（1，2） ，使ANM 的周长最小，ANM 周长的最小 值为 3 （2）过点 P 作 PEy 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQy 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所示 设点 P 的坐标
27、为（x，x22x+3） （2x1） ，则点 E 的坐标为（x，0） ，点 F 的坐标为（x，x+1） ， PEx22x+3，EFx+1，EFPEEFx22x+3（x+1）x2x+2 点 C 的坐标为（2，3） ， 点 Q 的坐标为（2，0） ， AQ1（2）3， S APC AQPF x2 x+3 （x+ ）2+ 0， 当 x 时，APC 的面积取最大值，最大值为，此时点 P 的坐标为（ ， ） （3）当 x0 时，yx22x+33， 点 N 的坐标为（0，3） yx22x+3（x+1）2+4， 抛物线的对称轴为直线 x1 点 C 的坐标为（2，3） ， 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称 令
28、直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称， MNCM， AM+MNAM+MCAC， 此时ANM 周长取最小值 当 x1 时，yx+12， 此时点 M 的坐标为（1，2） 点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（2，3） ，点 N 的坐标为（0，3） ， AC 3，AN ， CANMAM+MN+ANAC+AN3+ 在对称轴上存在一点 M（1，2） ，使ANM 的周长最小，ANM 周长的最小值为 3+ 2.如图 1，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A（-1，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，2）
29、 ， 点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PQx 轴，垂足为 Q，交直线 BC 于点 D （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若以 P、D、O、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标； （3）如图 2，当点 P 位于直线 BC 上方的抛物线上时，过点 P 作 PEBC 于点 E，设PDE 的面积为 S，求 当 S 取得最大值时点 P 的坐标，并求 S 的最大值 【答案】 （1）y=- x2+ x+2； （2）Q 点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0） ； （3）当 P 为（2，3） 时，S 有最大值，最大值为= （2）设直线 BC 解析式为 y=kx+b， B（
30、4，0） ，C（0，2） ， 代入可得， 解得， 直线 BC 解析式为 y=- x+2， 设 Q 坐标为（m，0） ，则可知 D 点坐标为（m，- m+2） ， 又P 点在抛物线上， P 点坐标为（m，- m2+ m+2） ， 当 P、D、O、C 为顶点的四边形为平行四边形时，则有 PD=OC=2， 即|- m2+ m+2-（- m+2）|=2，即|- m2+2m|=2， 当- m2+2m=2 时，解得 m=2，则 Q 坐标为（2，0） ， 当- m2+2m=-2 时，解得 m=2 2，则 Q 坐标为（2+，0）或（2-，0） ， 综上可知 Q 点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0
31、） ； ，即，解得 BD=， PEBC，PQQB， PED=BQD=90 ，且PDE=BDQ， PEDBQD， ， 即， 解得 PE=，DE=， S= PEDE= =（-n2+4n）2， 令 t=-n2+4n=-（n-2）2+4， P 在直线 BC 上方， 0n4， 0t4，且当 n=2 时，t 有最大值 4， 此时 P 点坐标为（2，3） ， 当 t=4 时，Smax= 42= ， 综上可知当 P 为（2，3）时，S 有最大值，最大值为= 3.已知：抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，直线 yx+3 经过 B、C 两点
32、 （1）填空：b （用含有 a 的代数式表示） ； （2）若 a1 点 P 为抛物线上一动点，过点 P 作 PMy 轴交直线 yx+3 于点 M，当点 P 在第一象限内时，是否存 在一点 P ，使PCB 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 当 mxm+3 时，y 的取值范围是 2my4，求 m 的值 【答案】 （1）3a1； （2）P（ ，） ；m 的值为 0 或 解得：b3a1， 故答案为3a1 （2）若 a1，则抛物线的解析式为 yx2+2x+3； 假设存在点 P（x，x2+2x+3）使得PCB 的面积最大， M（x，x+3） ， PMx2+2x+3（x+3）x2+
33、3x， S ABP SPMC+SPMB PMOB （x2+3x） 3 （x23x） （x ）2+， 当点 P（ ，）在第一象限，此时PBC 的面积最大， 故存在点 P 的坐标为：P（ ，） ，PBC 的面积最大 当m1 时，2m（m+3）2+2（m+3）+3， 解得 m10，m26（不合题意舍去） ， 当2m 时，m2+2m+32m， m（舍）或 m 故 m 的值为 0 或 4如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A(0，3)，B(5，9)，已知抛物线的顶点 D 的横坐标是 2 (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在 x 轴上是否存在一点 C，与 A，B 组成等腰三角 形？若存在，求出点
34、C 的坐标，若不在，请说明理由； (3)在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA，PB 使得PAB 的面积最大，并求出这个最大值 【答案】 （1），顶点 D（2，） ； （2）C（，0）或（，0）或（，0） ； （3） （2）A（0，3） ，B（5，9） ，则 AB=13，设点 C 坐标（m，0） ，分三种情况讨论： 当 AB=AC 时，则： （m）2+（3）2=132，解得：m= 4，即点 C 坐标为： （4，0）或（4，0） ； 当 AB=BC 时，则： （5m） 2+92=132，解得：m=5 ，即：点 C 坐标为（5，0）或（52， 0） ； 当 AC=BC 时，则：5m）2
35、+92=（m）2+（3）2，解得：m=，则点 C 坐标为（，0） 综上所述：存在，点 C 的坐标为： （ 4，0）或（5，0）或（，0） ； 5.如图，已知，二次函数的图像交 轴正半轴于点 ，顶点为 ，一次函数的图像交 轴 于点 ，交 轴于点 ，的正切值为 . （1）求二次函数的解析式与顶点 坐标； （2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值. 【答案】 （1）二次函数解析式为 yx22x，顶点 P 的坐标是（1，1） ； （2）m . （2）如图所示，其中 l 为抛物线的对称轴，D 为 l 与 x 轴的交点， 当 y0 时， x30，解得 x6， B 点坐标为（6,
36、0） ， AB624， 在 RtBOC 中，BC， P是 将二次函数图像向下平移个单位后得到的抛物线的顶点， P的坐标为（1，1m） ，DP1m SABP ABDP 4 （1m）22m， 当 P在直线 y x3 的左侧时， SBCPSBOC（S梯形ODPCSBDP） 3m， SABPSBCP， 22m 3m，解得 m ， 当 P在直线 y x3 的右侧时， SBCP（S梯形ODPCSBDP）SBOC3m， SABPSBCP， 22m m，解得 m， 综上，m 或. 6.如图， 已知抛物线的对称轴是直线 x=3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点右侧） 与 y 轴交于 C 点 （
37、1）求抛物线的解析式和 A、B 两点的坐标； （2）若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合） ，则是否存在一点 P，使PBC 的面 积最大若存在，请求出PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求 M 点的坐 标 【答案】 （1），点 A 的坐标为(-2，0)，点 B 的坐标为(8，0)； （2）存在点 P，使PBC 的 面积最大，最大面积是 16，理由见解析； （3）点 M 的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2， -) （2） 当时， 点
38、 的坐标为 设直线的解析式为 将、代入， ，解得：， 直线的解析式为 假设存在， 设点 的坐标为，过点 作轴， 交直线于点，则点的坐标为 ，如图所示 ， ， 当时，的面积最大， 最大面积是 16 ， 存在点 ，使的面积最大， 最大面积是 16 当或时， 有， 解得：， 点的坐标为，或， 综上所述：点的坐标为，、或， 7.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（-1，0） ，C（0，3） (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当BCD 的面积最大时，求点 P 的坐标；来源
39、:Z.X.X.K (3)如图 2，抛物线顶点为 E，EFx 轴于 F 点，N 是线段 EF 上一动点，M（m，0）是 x 轴上一动点，若 MNC=90 ，直接写出实数 m 的取值范围 【答案】 （1）y=-x2+2x+3； （2）P（ ， ） ； （3） （2）令， .即 设直线的表达式为， 故直线的表达式为， 设，则 当时，的面积最大，此时 （3）的取值范围是： 8.已知抛物线 yx22mx+m23（m 是常数） （1）证明：无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点； （2）设抛物线的顶点为 A，与 x 轴两个交点分别为 B，D，B 在 D 的右侧，与 y 轴的交点为 C 求证：
40、当 m 取不同值时，ABD 都是等边三角形； 当|m|，m0 时，ABC 的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （2）解：y=x2-2mx+m2-3=（x-m）2-3， 顶点 A 的坐标为（m，-3） ， 设抛物线对称轴与 x 轴的交点为 E，则点 E 的坐标为（m，0） ； 当 x=0 时，y=x2-2mx+m2-3=m2-3， 点 C 的坐标为（0，m2-3） ； 当 y=0 时，x2-2mx+m2-3=0，即（x-m）2=3， 解得：x1=m-，x2=m+， 点 D 的坐标为（m-，0） ，点 B 的坐标为（m+
41、，0） 分两种情况考虑： （i）当 0m时，如图 2 所示 SABC=S梯形OCAE+SABE-SOCB， = OE（OC+AE）+ AEBE- OCOB， = m（3-m2+3）+ 3 （m+-m）- （3-m2） （m+） ， =m2+ m=（m+）2-， 0， 当 0m时，SABC随 m 的增大而增大， 当 m=时，SABC取得最大值，最大值为 3； （ii）当-m0 时，如图 3 所示 SABC=S梯形EACO+SOCB-SABE， = OE（OC+AE）+ OCOB- AEBE， =- m（3-m2+3）+ （3-m2） （m+）- （m+-m） （3-m2）=- m， - 0， 当
42、-m0 时，SABC随 m 的增大而减小， 当 m=-时，SABC取得最大值，最大值为 3， 当 m=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为 3 9.如图，抛物线 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点. 求该抛物线的解析式； 设中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在， 求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. 在抛物线上 BC 段是否存在点 P，使得PBC 面积最大，若存在，求 P 点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 （1）； （2）存在，Q(1，2)； （3）存在， （2）存在 理由如下：由题知 A、B 两点关于
43、抛物线的对称轴 x=-1 对称， 直线 BC 与 x=-1 的交点即为 Q 点，此时AQC 周长最小， y=-x2-2x+3， C 的坐标为： （0，3） ， 直线 BC 解析式为：y=x+3， Q 点坐标即为， 解得， Q（-1，2） ； （3）存在 理由如下：设 P 点（x，-x2-2x+3） （-3x0） ， S BPC =S四边形BPCO-SBOC=S四边形BPCO- ， 若 S四边形BPCO有最大值，则 S BPC 就最大， S四边形BPCO=S BPE +S直角梯形PEOC， = BEPE+ OE（PE+OC） = （x+3） （-x2-2x+3）+ （-x） （-x2-2x+3+
44、3） = (x+ )2+ +， 当 x=- 时，S四边形BPCO最大值= +， S BPC 最大= + ， 当 x=- 时，-x2-2x+3=， 点 P 坐标为（- ，） 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx3 与 x 轴交于 A(4，0)、B(1，0)两点，与 y 轴交 于点 C，点 D 是第三象限的抛物线上一动点 (1)求抛物线的表达式； (2)设点 D 的横坐标为 m，ACD 的面积为 S，求出 S 与 m 的函数关系式，并确定 m 为何值时 S 有最大值， 最大值是多少？ 【答案】 （1）y x2x3； （2）m2 时，S 有最大值是 6. 故抛物线的函数解析式为 y=
45、 x2+x+3； （2）令 x=0，则 y=3， C（0，3） ， 设直线 AC 的解析式为 y=mx+n， 代入 A（-4，0） 、C（0，3）得， 解得 AC 的解析式为 y= x+3； 过 D 作 DEy 轴，交 AC 于点 E， 11如图，已知抛物线过点 A（4，0） ，B（2，0） ，C（0，4） （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点 M 是抛物线 AC 段上的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时，求点 M 的坐标 【答案】 （1）y x2x4（2）当 x2 时，ACM 的面积最大，图中阴影部分的面积最小值，此时 M 点 坐标为（2，4） （2）连接 AC，则 AC 与抛物线所
46、围成的图形的面积为定值， 当ACM 的面积最大时，图中阴影部分的面积最小值， 作 MNy 轴交 AC 于 N，如图甲， 设 M（x， x2x4） ， 由 A（4，0） ，C（0，4）知线段 AC 所在直线解析式为 yx4， 则 N（x，x4） ， MNx4（ x2x4） x2+2x， SACMSMNC+SMNA 4MNx2+4x（x2）2+4， 当 x2 时，ACM 的面积最大，图中阴影部分的面积最小值， 此时 M 点坐标为（2，4） 类型四类型四 以面积为条件的问题计算以面积为条件的问题计算 例 4：如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+3 与直线 yx3 交于点 A（3，0
47、）和点 B（2，n） ， 与 y 轴交于点 C （1）求出抛物线的函数表达式； （2）在图 1 中，平移线段 AC，点 A、C 的对应点分别为 M、N，当 N 点落在线段 AB 上时，M 点也恰好在 抛物线上，求此时点 M 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点 P（不与点 A 重合） ，使PMC 的面积与AMC 的 面积相等？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1） yx2+2x+3； （2） M 点坐标为 （4， 2） ； （3） P 点坐标为 （ ，） 或 （，） 或（，） （2）当 y0 时，x2+2x+30，解得 x11，x23
48、，则 A（3，0） ， 当 x0 时，yx2+2x+33，则 C（0，3） 设 N（t，t3） ， AC 平移得到 MN， ACMN，ACMN， 而点 C 先向下平移 3 个单位，再向右平移 3 个单位得到点 A， 当点 N 先向下平移 3 个单位，再向右平移 3 个单位得到点 M，则 M（t+3，t6） ， 把 M（t+3，t6）代入 yx2+2x+3 得 t6（t+3）2+2（t+3）+3，解得 t11，t26， M 点的坐标为（4，5） ， （3，12） （舍去） 当点 N 先向上平移 3 个单位，再向左平移 3 个单位得到点 M，则 M（t3，t） ， 把 M（t3，t）代入 yx2+
49、2x+3 得 t（t3）2+2（t3）+3，解得 t13（舍去） ，t24， M 点的坐标为（1，4） （舍去） ， 综上所述，M 点坐标为（4，2） ； 解方程组得或，此时 P 点坐标为（ ，） ； 直线 AP 的解析式为 y x+与 y 轴的交点坐标为（0，） ， 3 ， 把直线 CM 向下平移 个单位得到 y x+ ， 解方程得或，此时 P 点坐标为（） ， （） ， 综上所述，P 点坐标为（ ，）或（）或（） 针对训练针对训练 1.如图，抛物线与 轴交于点、点 ，与 轴交于点 ，顶点为 ，求： 抛物线的解析式； 若抛物线上有一点 ，使得直线将的面积分成相等的两部分，求点 的坐标 【答案
50、】 ； 的坐标为或来源:Z&X&X&K 设的中点为 ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 解得或 的坐标为或 2.如图， 在直角坐标系中， O 是坐标原点， 直线 AB 交 x 轴于点 A （4， 0） ， 交 y 轴于点 B， 抛物线 y=ax2+2ax+3 （a0）经过 A，B 两点P 是线段 AO 上的一动点， 过点 P 作 PCx 轴交直线 AB 于点 C，交抛物线于点 D （1）求 a 及 AB 的长 （2）连结 PB，若 tanABP= ，求点 P 的坐标 （3）连结 BD，以 BD 为边作正方形 BDEF，是否存在点 P 使点 E 恰好落在抛物线的对称轴
