1、2020-2021 郑州市第二次质量预测理科数学评分参考 一、选择题 BCDAA BDCAD BB 二、填空题 13. ;yx= 14.-3; 15. 2; 16. (0, .e 三、解答题 17. 解： （1）由题意 (1) 2 n n na S + =， 1 1 (2), 2 n n na Sn =两式相减得， 2 分 1 (1) (2), 22 nn n nana an + = 4 分 即 1 (1), nn nana = 11 1, 11 nn aaa nn = L所以. n an= 6 分 （2） 11 2 +111 =( 1)( 1)() (1)1 nn n n b n nnn +
2、 = + + ，8 分 2021 111111111 (1)()+()()() 223342020202120212022 T=+L 12023 1=. 20222022 = + 12 分 18. 解： （1）设AD、BC的中点分别为 O、E，连接PO、OE、EP ， 则为直角梯形的中位线，故 2 分 又平面平面，平面PADI平面ABCDAD=， ， 所以平面， 又POOEO=I， 所以平面， 4 分 又PE 平面，故，又 E 为中点，所以.5 分 （2）在上取一点 F，使得，则，两两垂直，以 O 为原点， 射线，分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 2 (0,0,) 2 P ，
3、 11 ( ,0) 22 A， 1 3 (,0) 2 2 C ， 1 1 (,0) 2 2 D ， 6 分 从而： 1121 32 ( ,),(,),(0,1,0) 2222 22 PAPCDC= = uu u ruuu ruuu r ， 8 分 设平面的法向量为， OEABCDBCOE PAD ABCD POADPO ABCDPOBC BCPEO PEOBCPEBCPBPC= AB4ABAF=OFOEOP OFOEOP PCD(), ,nx y z= r 由 132 0, 222 0 xyz y += = 10 分 可取( 2,0, 1)n = r ， 6 cos,. 3| | PA n P
4、A n PAn = uu u r r uu u r r uu u rr 故直线与平面夹角的正弦值为 6 3 12 分 19.解： （1）由题意知， 22 222 1 , 2 19 1, 4 , c e a ab abc = += = 解得 22 =4=3ab， ， 4 分 椭圆 C 的方程为 22 1. 43 xy +=5 分 （2）显然直线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为1xmy=+，与 22 1 43 xy +=联立得： 22 (34)690mymy+=， 7 分 设 P、Q 点坐标为 1122 ( ,),(,),x yxy则 1212 22 69 , 3434 m yyy y mm
5、 += + ， 直线 AP 的方程为 1 1 (2) 2 y yx x =+ + ，令4x =，得 1 1 6 2 M y y x = + ，同理 2 2 6 2 N y y x = + ， 121212 2 12121212 363636 (2)(2)(3)(3)3 ()9 MN y yy yy y y y xxmymym y ym yy = + 2 2 22 9 36 34 9. 96 39 3434 m m mm mm + = + + 9 分 （3） 199 6 | 3| 3 218. 2 AMNMNMM MM Syyyy yy = =+ = 当且仅当=3,3 MN yy= 或=3,3
6、MN yy=时等号成立. 12 分 20. （1）X服从正态分布 (280,25)N，所以() 1 0.9974 2650.0013 2 P X 时，(1)0 F ，当,( )xF x + +，所以存在 * (1,)x +， * ()0F x=， 当 * (1,)xx，( )0F x ，( )F x单调递减，( )(1)0.F xF= 不符合题意. 综上，0m . 6 分 （2）( )ln x f xxeaxe=，( )(1) x a fxxe x =+，( )fx在(0,)+上单调递增， 当0,( )xfx ，,( )xfx + +，所以存在唯一的正数 0 (0,)x +， 0 ()0fx=
7、， 7 分 当 0 (0,)xx，( )0fx ，( )f x单调递增， 000 min0000000 ( )()ln(1)ln xxx f xf xx eaxex ex xexe=+， 8 分 令( )(1)ln,(0,) xx h xxex xexe x=+ 22 ( )(1)(31)ln1(31)ln xxx h xxeexxxxexxx=+= +， 10 分 所以(1)0h=，且当(0,1)x，( )0h x ，( )h x单调递增，当(1)x+， ，( )0h x ， ( )h x单调递减， max ( )(1)0h xh=，此时 0 1,2 .xae= 12 分 22. （） 22
8、 4 2 sincos2cos4sin2cos 22 =+=+ ， 2 分 2 4 sin2 cos=+， 22 42xyyx+=+， 4 分 圆 2 C的直角坐标方程是 22 240 xyxy+=.5 分 （）因为曲线 1 C与 2 C有且仅有一个公共点，说明直线tan5yx=+与圆 2 C相切， 2 C圆心为（1，2） ，半径为 5，则 2 | tan+3| 5 1tan = + ，解得tan2或 1 tan 2 （舍去） ， 8 分 所以 22 2 222 sinsincostantan2 sinsincos. sincostan15 = + 10 分 23.（）由题意得：( ) 33,
9、2 2415, 12 33,1 xx f xxxxx xx =+= + + ， 2 分 当2x 时，由335x得： 8 3 x ， 8 3 x； 当12x 时，由55x +得：0 x ，10 x ； 当1x 时，由325x+得：1x ，1x ； 4 分 综上所述：不等式( )5f x 的解集为( 8 ,0, 3 + U. 5 分 （）( ) 2 24f xaa+恒成立等价于( ) 2 min 24f xaa+， 6 分 ( )2422f xxxaxxxa=+=+Q () ()222xxaxaxa+=+，等号成立条件是2x =， 8 分 ( )min2f xa=+， 2 224aaa + ，解得：12a， 实数a的取值范围为1,2 10 分
