1、第 1 页（共 14 页） 2021 年河南省六市高考数学第一次联考试卷（文科） （年河南省六市高考数学第一次联考试卷（文科） （3 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。一个是符合题目要求的。 1已知集合 Ax|2x4，Bx|y，则 AB 等于（ ） A （2，+） B1，+） C （1，2） D1，2） 2若复数 z 在复平面内的对应点为（1，1） ，则的虚部为（ ） Ai B1 C0 D1 3等比数列an的前 n 项和为 Sn，
2、若 an0，q1，a3+a520，a2a664，则 S4（ ） A15 B20 C31 D32 4已知空间中不过同一点的三条直线 a，b，l，则“a，b，l 两两相交”是“a，b，l 共面” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的 飞行速度 v（单位：m/s）与其耗氧量 Q 之间的关系为 va+log2（其中 a 是实数） 据 统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 20 个单位，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度 不能低于 2m/s，其耗氧量至少需要（ ）个单位 A70 B60
3、C80 D75 6如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分 之一圆构成，两个阴影部分分别标记为 A 和 M在此图内任取一点，此点取自 A 区 域的概率记为 P（A） ，取自 M 区域的概率记为 P（M） ，则（ ） AP（A）P（M） BP（A）P（M） CP（A）P（M） DP（A）与 P（M）的大小关系与半径长度有关 7已知x表示不超过 x 的最大整数执行如图所示的程序框图，若输入 x 的 值为 2.4，则输出 z 的值为（ ） A1.2 B0.6 C0.4 D 0.4 8函数 f（x）的部分图象大致是（ ） A B C D 9若 P 为直线 xy+40 上
4、一个动点，从点 P 引圆 C：x2+y24x0 的两条切线 PM，PN 第 2 页（共 14 页） （切点为 M，N） ，则|MN|的最小值是（ ） A B C D6 10已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，|）的部分图象如图所示现将 函数 f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，横坐标再缩短到原来 的倍得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的解析式为（ ） Ag（x）2sin（x） Bg（x）2sin（4x+） Cg（x）2sin（x+） Dg（x）2sin（4x） 11 f（x），对于x1，+） ，均有 f（x）1a（x+1） ，则实数 a 的取值范围是（ ） A，+）
5、 B，+） C1，+） D，） 12侧棱长为的正四棱锥 VABCD 内，有一半球，其大圆面落在正四棱锥底面上，且 与正四棱锥的四个侧面相切，当正四棱锥的体积最大时，该半球的半径为（ ） A1 B C D2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分；其中第分；其中第 16 题第空题第空 2 分，第空分，第空 3 分分. 13已知单位向量，的夹角是，向量，若，则实数 14已知实数 x，y 满足，则 zx3y 的最小值为 15在数列an中，an+1+（1）nan2n1，则数列an的前 20 项之和为 16已知直线 l：xy0 交双曲线：1（a
6、0，b0）于 A，B 两点 （）已知点 P 是双曲线上不同于点 A，B 的任意一点，则 kPAkPB （结果用 a， b 表示） （）过点 A 作直线 l 的垂线 AC 交双曲线于点 C，若ABC60，则双曲线的离 心率为 第 3 页（共 14 页） 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过分，解答应写出文字说明证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 17 （12 分）如图，DC平面 ABC，EBDC，ACBCEB2DC 2，ACB90，P、Q 分别为 DE、AB 的中点 （1）求证：PQ平面 ACD； （2）求几何体 BADE 的体积 18
7、（12 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，0 （1）求角 B 的大小； （2）若 b，a+c5，求 AC 边上的高 19 （12 分）近年来，政府相关部门引导乡村发展旅游的同时，鼓励农户建设温室大棚种植 高品质农作物为了解某农作物的大棚种植面积对种植管理成本的影响，甲，乙两同学 一起收集 6 家农户的数据，进行回归分析，得到两个回归摸型： 模型：；模型： 对以上两个回归方程进行残差分析，得到表： 种植面积 x（亩） 2 3 4 5 7 9 每亩种植管理成本 y（百元） 25 24 21 22 16 14 模型 估计值 25.27 23.62 21.97 17.02 13.
8、72 残差 0.27 0.38 0.97 1.02 0.28 模型 估计值 26.84 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 1.84 0.83 3.17 1.31 2.46 （1）将以上表格补充完整，并根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好； （2）视残差的绝对值超过 1.5 的数据视为异常数据，针对（1）中拟合效果较好的模 型，剔除异常数据后，重新求回归方程 附：，；0.272+0.382+0.972+1.022+0.2822.277 第 4 页（共 14 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）exax2，其中常数 aR （）当 x（0，+）时，不等式 f（x）0 恒成
9、立，求实数 a 的取值范围； （）若 a1，且 x0，+）时，求证：f（x）x2+4x14 21 （12 分）设点 C（x，y） （y0）为平面直角坐标系 xOy 中的一个动点（其中 O 为坐标 系原点） ，点 C 到直线 y0 的距离比到定点 F（0，1）的距离小 1，动点 C 的轨迹方程 为 E （）求曲线 E 的方程； （）若过点 F 的直线 l 与曲线 E 相交于 A、B 两点； 若，求直线 l 的方程； 分别过点 A，B 作曲线 E 的切线且交于点 D，若以 O 为圆心，以 OD 为半径的圆与经 过点 F 且垂直于直线 l 的直线 l1相交于 M，N 两点，求|MN|的取值范围 选考
10、题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为（t 为参数， 0， ） ） ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设 P（1，1） ，若直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，求的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c2
11、证明： （1）； 第 5 页（共 14 页） （2） 第 6 页（共 14 页） 2021 年河南省六市高考数学第一次联考试卷（文科） （年河南省六市高考数学第一次联考试卷（文科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求的。一个是符合题目要求的。 1 【解答】解：Ax|x2，Bx|x1， AB1，2） 故选：D 2 【解答】解：由题意得，z1i， 的虚部为1 故选：B 3 【解答】解：an0，q
12、1，数列an是递增数列， 又由题设可得：a2a664a3a5，a3+a520， 易得：a34，a516， q24，q2，a11， S415，故选：A 4【解答】解：空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，若 m，n，l 在同一平面，则 m，n， l 相交或 m，n，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行 而若“m，n，l 两两相交” ，则“m，n，l 在同一平面”成立 故“a，b，l 两两相交”是“a，b，l 共面”的充分不必要条件， 故选：A 5 【解答】解：由题意可得 0a+，解得 a1， v1+， 1+2， 解得 Q80， 故选：C 6 【解答】解：设四分之一圆的半径为 r
13、， 则 A 区域的面积为 SA， M 区域的面积为 SM， P（A）P（M） 故选：C 7 【解答】解：模拟执行该程序框图，如下； 输入 x2.4，y2.4，x2.411， 满足 x0，x1.2，y1.2，x1.210， 满足 x0，x0.6，y0.6，x0.611， 第 7 页（共 14 页） 不满足 x0，终止循环，z1+0.60.4， 输出 z 的值为0.4 故选：D 8 【解答】解：由题知，f（x）的定义域为（，0）（0，+） ，且 f（x）f（x） ， f（x）是奇函数，排除 C 和 D， 将 x 代入 f（x） ，得 f（）0， 故选：A 9 【解答】解：如图，由 x2+y24x0
14、 可得（x2）2+y24， 所以圆 C 的圆心为 C（2，0） ，半径 r2，如图所示， 要使|MN|的长度最小，即要MCN 最小，则MCP 最小， 因为 tanMCP， 所以当|PM|最小时，|MN|最小， 因为， 所以当|PC|最小时，|MN|最小， 因为， 所以 cosMCP， 又 cosMCP， 则 故选：B 10 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+）的部分图象知，A2， ，解得 T，所以 2， 又 f（）2sin（+）2，即 sin（+）1，解得+2k， kZ， 所以 +2k，kZ， 又|，解得 ， 第 8 页（共 14 页） 所以 f（x）2sin（2x+） ， 将函数 f
15、 （x） 图象上的所有点向右平移个单位长度， 得 yf （x） 2sin （2x） ， 横坐标再缩短到原来的倍，得 y2sin（4x）的图象， 则函数 g（x）2sin（4x） 故选：D 11 【解答】 解：f（x）， 对于x1，+） ，则 f（x）1， 在坐标系中，画出函数 yf（x）1 与 ya（x+1）的图象，如图： 对于x1，+） ，均有 f（x）1a（x+1） ， 就是函数 ya（x+1）的图象都在 yf（x）1 图象的上方， 则 yln（x+1）1 可得 y（x0） ，设切点坐标（m，n） ， 可得，可得 n1，此时 ln（m+1）11，解得 me21， 所以切线的斜率为： 可得
16、a 故选：A 12 【解答】解：设棱锥底面中心为 O，E 为 AB 的中点，作 OFVE 于 F，则半球的半径为 OF 设 ABa，则 OAa，VO， 第 9 页（共 14 页） 正四棱锥的体积 V，令t（t0） ，则 a2242t2， V8t，故 V（t）82t2，令 V（t）0 可得 t2， 当 0t2 时，V（t）0，当 t2 时，V（t）0， 当 t2 时，V（t）取得最大值，即正四棱锥的体积最大， 此时，a216，a4，VO2，OEAE2，VE2， OF 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分；其中第分；其中第 1
17、6 题第空题第空 2 分，第空分，第空 3 分分. 13 【解答】解：由题意可得， 则3+0， 故答案为： 14 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 10 页（共 14 页） 联立，解得 A（2，3） ， 由 zx3y，得 y，由图可知，当直线 y过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为7 故答案为：7 15 【解答】解：在数列an中，an+1+（1）nan2n1， a2a12111， a3+a22213； a4a32315； a5+a42417； 从而可得：a1+a32；a2+a48；a5+a72；a6+a824； 所以从第一项起，依次取相邻两个奇数项的和为 2； 从
18、第二项起，依次取相邻两个偶数项的和构成以 8 为首项，16 为公差的等差数列； 故其前 20 项的和为：25+（85+16）210 故答案为：210 16 【解答】解： （）可设 A（m，n） ，B（m，n） ，P（x0，y0） ， 可得1，1， 两式相减可得， 即有 kPAkPB； （）直线 AB 的方程为 xy0，其斜率为，倾斜角为， 过 B 作直线 BE 与 x 轴平行，可得ABE， 由 ABAC，可得直线 AC 的倾斜角为 ， 直线 BC 的倾斜角为 ， 由（）可得 AC，BC 的斜率之积为， 则有 tantan（） （）1， 第 11 页（共 14 页） 所以 e， 故答案为： （1
19、）； （2） 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 5 小小题，共题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 【解答】解： （1）证明：取 BC 的中点 O，P、Q 分别为 DE、AB 的中点，则 OQ 是ABC 的中位 线，OQAC，OQ面 ACD EBDC，OP 是梯形 BCDE 的中位线，OPCD，OP面 ACD 这样，面 POQ 中，由两条相交直线 OQ、OP 都和面 ACD 平行，面 OPQ面 ACD， PQ平面 ACD （2）由 EBDC 可得 DC面 ABE，故 D、C 两点到 面 ABE 的距离相等， BADE 的体积
20、 VBADEVDABEVCABE C 到 AB 的距离等于 VCABE（ABBE） 故几何体 BADE 的体积为 18 【解答】解： （1）ABC 中，0 由正弦定理可得：sinAcosBsinBsinA0， sinA0， cosBsinB0，可得 tanB， B（0，） ， B （2）设 AC 边上的高为 h， B，b，a+c5， b2a2+c22accosBa2+c2ac，即 7（a+c）23ac， ac6， 第 12 页（共 14 页） SABCacsinB，SABCbhh， h，解得 h，即 AC 边上的高是 19 【解答】解： （1） 种植面积 x（亩） 2 3 4 5 7 9 每亩
21、种植管理成本 y（百元） 25 24 21 22 16 14 模型 估计值 25.27 23.62 21.97 20.32 17.02 13.72 残差 0.27 0.38 0.97 1.68 1.02 0.28 模型 估计值 26.84 22.39 20.17 18.83 17.31 16.46 残差 1.84 1.61 0.83 3.17 1.31 2.46 模型的残差平方和为 0.272+0.382+0.972+1.022+0.282+1.6822.277+1.6827， 模型的残差平方和大于 3.1729 模型d 的拟合效果比较好； （2）应剔除第四组数据 ， ， 所求回归方程为 20
22、 【解答】解： （）由题意知当 x（0，+）时，不等式 f（x）exax20 恒成立， 即， 设，则， 当 x（0，2）时，h（x）0，函数 h（x）单调递减， 当 x（2，+）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增， h（x）的最小值为， 实数 a 的取值范围为； （）证明：由题意知，要证 f（x）x2+4x14，即证 exx2x2+4x14，即证 ex2x2 4x+140， 第 13 页（共 14 页） 设 g（x）ex2x24x+14（x0） ，则 g（x）ex4x4，设 h（x）ex4x4， 则 h（x）ex4， 令 h（x）0，解得 x2ln2，易知函数 h（x）在0，2ln2）单调
23、递减，在（2ln2，+） 单调递增， 设曲线 yh（x）与 x 轴的交点为（m，0） ，因为 h（0）30，h（2）e2120， h（3）e3160， 所以 2m3，且 em4m+4， 故当 x0，m）时，g（x）0，当 x（m，+）时，g（x）0， g（x）g（m）em2m24m+14182m2， 由于 2m3，所以 g（x）2（9m2）0，即 f（x）x2+4x14 21 【解答】解： （）设点 C 到直线 y0 的距离为|y|， 由题意可知|CF|y|1， 因为 y0， 所以y1， 化简得 x24y 为所求方程 （）由题意可知，直线 l 的斜率必存在， 设直线 l 的方程为 ykx+1，
24、 联立，得 x24kx40， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 所以 x1+x24k，x1x24， 又因为2， 所以x12x2， 所以 x12，x2或 x12，x2， 所以 k或 k， 所以直线 l 的方程为x4y+40 或x+4y40 因为 x24y，所以 yx2，yx， 过点 A 的切线方程为 y（xx1）+y1，即 yxy1， 过点 B 的切线方程为 y（xx2）+y2，即 yxy2， 联立得（x1x2）x2（y1y2） ， 所以 x，y， 所以点 D 的坐标为（，） ，即 D（2k，1） ， 所以|OD|d20， 第 14 页（共 14 页） 所以 kR， 又因为， 所以|
25、MN|22， 令 k2+1t，t1，+） ， f（t）4t+4， 所以 f（t）40， 所以 f（t）在1，+）上单调递增， 所以 f（t）f（1）1， 所以|MN|2， 所以|MN|的取值范围为2，+） 选考题：共选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计题计 分分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 【解答】解： （1）圆 C 的极坐标方程为： 转换为直角坐标方程为：， 所以： （2）将线 l 的参数方程为：（t 为参数） ， 代入 所以 设点 A，B 所对应的参数为 t1和 t2， 则， 解法 1： 当 sin1 时，故 解法 2： 由 t 的几何意义知，； 故
