1、高中数学资料共享群（734924357） 立体几何中“折叠问题”的解题策略 例题如图1， 在直角梯形ABCD中， ADBC， ABBC， BDDC， 点E是BC边的中点， 将 ABD沿BD折起， 使平面ABD平面BCD， 连接 AE，AC，DE，得到如图 2 所示的几何体 (1)求证：AB平面 ADC； (2)若 AD1，二面角 C- AB- D 的平面角的正切值为 6，求二面 角 B- AD- E 的余弦值. 解 (1)证明：因为平面 ABD平面 BCD， 平面 ABD平面 BCDBD，BDDC，DC平面 BCD， 所以 DC平面 ABD. 因为 AB平面 ABD，所以 DCAB. 又因为折
2、叠前后均有 ADAB，DCADD， 所以 AB平面 ADC. (2)由(1)知 AB平面 ADC， 所以二面角 C- AB- D 的平面角为CAD. 又 DC平面 ABD，AD平面 ABD， 所以 DCAD. 依题意 tanCADCD AD 6. 因为 AD1，所以 CD 6. 设 ABx(x0)，则 BD x21. 高中数学资料共享群（734924357） 依题意 ABDDCB，所以AB AD CD BD， 即x 1 6 x21，解得 x 2， 故 AB 2，BD 3，BC BD2CD23. 以 D 为坐标原点，射线 DB，DC 分别为 x 轴，y 轴的正半轴，建 立如图所示的空间直角坐标系
3、 D- xyz， 则 D(0,0,0), B( 3,0,0), C(0, 6，0), E( 2 3 , 2 6 ,0）, A( 3 3 ,0, 3 6 ） ， 所以 DE ( 2 3 , 2 6 ,0） ， DA ( 3 3 ,0, 3 6 ）. 由(1)知平面 BAD 的一个法向量 n(0,1,0) 设平面 ADE 的法向量为 m(x，y，z)， 由 mDE 0， mDA 0， 得 3 2 x 6 2 y0， 3 3 x 6 3 z0. 令 x 6，得 y 3，z 3， 所以 m( 6， 3， 3)为平面 ADE 的一个法向量 所以 cos n m |n| |m| 1 2. 由图可知二面角
4、B- AD- E 的平面角为锐角， 高中数学资料共享群（734924357） 所以二面角 B- AD- E 的余弦值为1 2. 解题策略： 1.确定翻折前后变与不变的关系确定翻折前后变与不变的关系 画好翻折前后的平面图形与立体图形， 分清翻折前后图形的位置 和数量关系的变与不变一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间 的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置 关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化 的关系则要在立体图形中解决. 2.确定翻折后关键点的位置确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点因为这些点的位 置移动，会带动与其
5、相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他 点、线、面之间位置关系与数量关系的变化只有分析清楚关键点的 准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进 行有关的证明与计算. 变式练习： 1如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，BAD90 ， AB2 3，BC4，AD6，E 是 AD 上的点，AE1 3AD， P 为 BE 的中点，将 ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置， 使得 A1C4，如图 2. (1)求证：平面 A1CP平面 A1BE； 高中数学资料共享群（734924357） (2)求二面角 B- A1P- D 的余弦值 解：(1)证明：如图 3，连接 AP，
6、PC. 在四边形 ABCD 中，ADBC，BAD90 ， AB2 3，BC4，AD6，E 是 AD 上的点， AE1 3AD，P 为 BE 的中点， BE4，ABE30 ，EBC60 ，BP2， PC2 3，BP2PC2BC2，BPPC. A1PAP2，A1C4， A1P2PC2A1C2，PCA1P. BPA1PP，PC平面 A1BE. PC平面 A1CP，平面 A1CP平面 A1BE. (2)如图 4，以 P 为坐标原点，PB 所在直线为 x 轴，PC 所在直线 为 y 轴，过 P 作平面 BCDE 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 高中数学资料共享群（734924357） 则 A1(
7、1,0, 3)，P(0,0,0)，D(4,2 3,0)， PA1 (1,0, 3)， PD(4,2 3,0)， 设平面 A1PD 的法向量为 m(x，y，z)， 则 mPA1 0， mPD 0， 即 x 3z0， 4x2 3y0， 取 x 3,得 m( 3,2,1) 易知平面 A1PB 的一个法向量 n(0,1,0)， 则 cosm，n m n |m|n| 2 2 . 由图可知二面角 B- A1P- D 是钝角， 二面角 B- A1P- D 的余弦值为 2 2 . 2如图 1，在高为 2 的梯形 ABCD 中，ABCD，AB2，CD 5，过 A，B 分别作 AECD，BFCD，垂足分别为 E，
8、F.已知 DE 1，将梯形 ABCD 沿 AE，BF 同侧折起，得空间几何体 ADE- BCF， 如图 2. (1)若 AFBD，证明：DEBE； (2)若 DECF，CD 3，在线段 AB 上是否存在点 P，使得 CP 与平面 ACD 所成角的正弦值为 35 35 ？并说明理由 解：解：(1)证明：由已知得四边形 ABFE 是正方形，且边长为 2， AFBE.AFBD，BEBDB，AF平面 BDE. 又 DE平面 BDE，AFDE. 高中数学资料共享群（734924357） AEDE，AEAFA，DE平面 ABFE. 又 BE平面 ABFE，DEBE. (2)当 P 为 AB 的中点时满足条
9、件理由如下： AEDE，AEEF，DEEFE，AE平面 DEFC. 如图，过 E 作 EGEF 交 DC 于点 G， 可知 GE，EA，EF 两两垂直，以 E 为坐标原点，以 EA ， EF， EG 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,1， 3)，D(0, 2 1 ， 2 3 )， AC (2,1， 3)， AD(2, 2 1 ， 2 3 ). 设平面 ACD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 nAC 0， nAD 0， 即 2xy 3z0， 2x1 2y 3 2 z0， 令 x1，得 n(1，1， 3) 设 AP PB，则 P(2, 1 2 ,0)，(0，)， 可得 CP (2, 1 1 , 3). 设 CP 与平面 ACD 所成的角为 ， 则 sin |cos| 52) 1 1 (7 1 1 1 35 35 ， 高中数学资料共享群（734924357） 解得 1 或 2 5(舍去)，P 为 AB 的中点时，满足条件
