1、第 1 页（共 16 页） 2021 年天津市河西区高考数学质量调查试卷（一） （一模）年天津市河西区高考数学质量调查试卷（一） （一模） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分） 已知全集 1U ， 0， 1， 2，3， 集合0A， 1，2， 1B ， 0，1， 则()( UA B ) A 1 B0，1 C 1，2，3 D 1，0，1，3 2 （5 分）设xR，则“ 1 2 x ”是“ 2 210 xx ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 3 （5
2、 分）在同一直角坐标系中，函数 1 x y a ， 1 log ()(0 2 a yxa且1)a 的图象可能是( ) A B C D 4 （5 分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位： )cm，所得数据均在区间80，130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树 木中，底部周长小于100cm株树为( ) 第 2 页（共 16 页） A15 B24 C6 D30 5 （5 分）将长、宽分别为 4 和 3 的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体 ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为( ) A25 B50 C5 D10 6 （
3、5 分）设( )f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)单调递减，则( ) A 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff B 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff C 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff D 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 7 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线:210l yx，双曲 线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) A 22 1 520 xy B 22 1 205 xy C 22 33 1 25100 xy D 22 33 1 100
4、25 xy 8 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，) 22 的最小正周期为，将该函数的 图象向左平移 6 个单位后， 得到的图象对应的函数为奇函数， 则( )f x的图象关于点(12 ， 0)对称；关于直线 5 12 x 对称；在 5 , 12 12 上单调递增其中所有正确结论的序号是 ( ) A B C D 第 3 页（共 16 页） 9 （5 分）设a，bR，函数 32 ,0, ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x 若函数( )yf xaxb恰 有 3 个零点，则( ) A1a ，0b B1a ，0b C1a ，0b D1a ，0b 二、填空题：本
5、大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分试题中包含两个空的，答对分试题中包含两个空的，答对 1 个的个的 给给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 10 （5 分）i是虚数单位，复数11 7 12 i i 11 （5 分） 8 () xy yx 的展开式中 22 x y的系数为 （用数字作答） 12 （5 分）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，若直线230 xy与圆C相切于点( 2, 1)A ， 则圆C的标准方程为 13 （5 分）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，两数中至少有一个为奇数的概率 为 ；以第一次向上的点数为横坐标x，
6、第二次向上的点数为纵坐标y的点( , )x y在圆 22 15xy的内部的概率为 14 （5 分）已知0 x ，0y ，且280 xyxy，则xy的最小值为 15 （5 分）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD，点E，F分别在边BC，DC上， 3BCBE，DCDF，若1AE AF，则的值为 ；若G为线段DC上的动点，则 AG AE的最大值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，5a ， 6c ，
7、3 sin 5 B （）求b； （）求sin A的值； （）求sin(2) 4 A 的值 17 （15 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 A ACC 平面ABC，90ABC， 30BAC， 11 A AACAC，E，F分别是AC， 11 A B的中点 （）证明：EFBC； 第 4 页（共 16 页） （）求直线EF与平面 1 A BC所成角的余弦值 （）求二面角 1 AACB的正弦值 18 （15 分） 已知数列 n a是等差数列， n b是递增的等比数列， 且 1 1a ， 1 2b ， 22 2ba， 33 31ba （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）
8、若 1 2 ? (1)(1) n a n nn c bb ，求数列 n c的前n项和 n S 19（15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 且满足离心率 3 2 e ， 12 | 4 3FF ，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点 （1）求椭圆C的方程； （2）设点(2,1)A，求AMN面积的最大值 20 （16 分）已知函数 1 ( )2f xxalnx x （其中a是实数） （）若 1 2 a ，求曲线( )yf x在(1，f（1）)处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间； （）设 2 ( )g x
9、lnxbxcx，若函数( )f x的两个极值点 1 x， 212 ()xxx恰为函数( )g x的两 个零点，且 12 12 ()() 2 xx yxxg 的范围是 2 2,) 3 ln ，求实数a的取值范围 第 5 页（共 16 页） 2021 年天津市河西区高考数学质量调查试卷（一） （一模）年天津市河西区高考数学质量调查试卷（一） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5 分） 已知全集 1U ， 0， 1， 2，3， 集合0A， 1，2， 1B ，
10、 0，1， 则()( UA B ) A 1 B0，1 C 1，2，3 D 1，0，1，3 【解答】解： 1 UA ，3， () UA B 1 ，3 1，0，1 1 故选：A 2 （5 分）设xR，则“ 1 2 x ”是“ 2 210 xx ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：由 2 210 xx ，得(21)(1)0 xx， 解得1x 或 1 2 x “ 1 2 x ”是“ 2 210 xx ”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）在同一直角坐标系中，函数 1 x y a ， 1 log ()(0 2 a yxa且1)a 的图象可
11、能是( ) A B 第 6 页（共 16 页） C D 【解答】解：由函数 1 x y a ， 1 log () 2 a yx， 当1a 时，可得 1 x y a 是递减函数，图象恒过(0,1)点， 函数 1 log () 2 a yx，是递增函数，图象恒过 1 ( 2 ，0)； 当10a时，可得 1 x y a 是递增函数，图象恒过(0,1)点， 函数 1 log () 2 a yx，是递减函数，图象恒过 1 ( 2 ，0)； 满足要求的图象为：D 故选：D 4 （5 分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中 60 株树木的底部周长（单位： )cm，所得数据均在区间80，130上，其
12、频率分布直方图如图所示，则在抽测的 60 株树 木中，底部周长小于100cm株树为( ) A15 B24 C6 D30 【解答】 解： 由频率分布直方图可知， 底部周长小于100cm的频率为(0.0150.025) 100.4， 所以底部周长小于100cm的频数为600.424（株) 故选：B 5 （5 分）将长、宽分别为 4 和 3 的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体 第 7 页（共 16 页） ABCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为( ) A25 B50 C5 D10 【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为 3 和 4 的长方形AB
13、CD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体ABCD，则四面体ABCD的外 接球的半径，是 15 22 AC 所求球的表面积为： 2 5 4( )25 2 故选：A 6 （5 分）设( )f x是定义域为R的偶函数，且在(0,)单调递减，则( ) A 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff B 23 32 3 1 (log)(2)(2) 4 fff C 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff D 23 32 3 1 (2)(2)(log) 4 fff 【解答】解：( )f x是定义域为R的偶函数， 33 1 (log)(log 4) 4 ff， 33 log 4lo
14、g 31， 23 0 32 02221 ， 23 32 3 022log 4 ( )f x在(0,)上单调递减， 23 32 3 1 (2)(2)() 4 fff log ， 故选：C 7 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线:210l yx，双曲 线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) A 22 1 520 xy B 22 1 205 xy C 22 33 1 25100 xy D 22 33 1 10025 xy 【解答】解：双曲线的一个焦点在直线l上， 令0y ，可得5x ，即焦点坐标为( 5,0)，5c， 双曲线 22 22
15、1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线:210l yx， 第 8 页（共 16 页） 2 b a ， 222 cab， 2 5a， 2 20b ， 双曲线的方程为 22 1 520 xy 故选：A 8 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ，) 22 的最小正周期为，将该函数的 图象向左平移 6 个单位后， 得到的图象对应的函数为奇函数， 则( )f x的图象关于点(12 ， 0)对称；关于直线 5 12 x 对称；在 5 , 12 12 上单调递增其中所有正确结论的序号是 ( ) A B C D 【解答】解：函数( )sin()(0f xx ，) 22 的最小正周期
16、为， 2 ，2( )sin(2)f xx， 将( )f x图象向左平移 6 个单位后，可得( )sin(2) 3 f xx ，函数为奇函数， 3 k ， 22 ， 3 ，( )sin(2) 3 f xx ， ()sin(2)sin()0 121236 f ，因而(12 ，0)不是( )f x的一个对称中心，故错误； 55 ()sin(2)sin1 121232 f ，因而 5 12 x 是( )f x的一条对称轴，故正确； 在 5 , 12 12 x 上，2, 322 x ，sin(2) 3 x 在, 2 2 上单调递增，因此( )f x在 5 , 12 12 上单调递增，正确 故选：C 9
17、（5 分）设a，bR，函数 32 ,0, ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x 若函数( )yf xaxb恰 有 3 个零点，则( ) A1a ，0b B1a ，0b C1a ，0b D1a ，0b 【解答】解：当0 x 时，( )(1)0yf xaxbxaxba xb，得 1 b x a ； ( )yf xaxb最多一个零点； 第 9 页（共 16 页） 当0 x时， 3232 1111 ( )(1)(1) 3232 yf xaxbxaxaxaxbxaxb， 2 (1)yxax， 当1 0a ，即1a时，0y，( )yf xaxb在0，)上递增，( )yf xaxb
18、最多 一个零点不合题意； 当10a ， 即1a 时， 令0y得1xa，)， 函数递增， 令0y得0 x，1)a ， 函数递减；函数最多有 2 个零点； 根据题意函数( )yf xaxb恰有 3 个零点函数( )yf xaxb在(,0)上有一个零 点，在0，)上有 2 个零点， 如右图： 0 1 b a 且 32 0 11 (1)(1)(1)0 32 b aaab ， 解得0b ，10a， 3 1 (1) 6 ba 3 1 (1)0 6 ab，11a 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分试题中包含两个空的，答对分试题中包含两
19、个空的，答对 1 个的个的 给给 3 分，全部答对的给分，全部答对的给 5 分分 10 （5 分）i是虚数单位，复数11 7 12 i i 53i 【解答】解： 2 22 117(117 )(12 )1172214 12(12 )(12 )12 iiiiii iii 2515 53 5 i i 故答案为：53i 第 10 页（共 16 页） 11 （5 分） 8 () xy yx 的展开式中 22 x y的系数为 70 （用数字作答） 【解答】解： 8 () xy yx 的展开式的通项公式为 33 84 8 22 188 ( 1)()()( 1) rr rrrrrr r xy TCCxy yx
20、 ， 令 33 842 22 rr ，求得4r ， 故展开式中 22 x y的系数为 4 8 70C ， 故答案为：70 12 （5 分）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，若直线230 xy与圆C相切于点( 2, 1)A ， 则圆C的标准方程为 22 (2)5xy 【解答】解：如图， 由圆心与切点的连线与切线垂直，得 11 22 m ，解得2m 圆心为(0, 2)，则半径 22 ( 20)( 12)5r 圆C的标准方程为 22 (2)5xy 故答案为： 22 (2)5xy 13 （5 分）将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，两数中至少有一个为奇数的概率 为 3 4 ；以第一次向上的点数为
21、横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点( , )x y在圆 22 15xy的内部的概率为 【解答】 解： 根据题意， 一颗骰子先后抛掷 2次， 每一次都有 6种结果， 则两次一共有6636 种结果 第 11 页（共 16 页） 将一枚骰子先后抛掷 2 次，向上的点数分别记为a、b，则两数中至少有一个为奇数，共有 27 种结果， 分别为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,3)，(4,5)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5
22、,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)， 则两数中至少有一个为奇数的概率 1 273 364 P 点( , )x y在圆 22 15xy的内部，即 22 15xy共有 8 种情况，分别为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)， 则点( , )x y在圆 22 15xy的内部概率 2 82 369 P 故答案为： 3 4 ， 2 9 14 （5 分）已知0 x ，0y ，且280 xyxy，则xy的最小值为 18 【解答】解：已知0 x ，0y ，且280 xyxy 28xyxy即： 28 1 yx 利用基本
23、不等式：则 2828 ()()10 81018 xy xyxy yxyx ，当且仅当2xy时成 立 则xy的最小值为 18 故答案为 18 15 （5 分）已知菱形ABCD的边长为 2，120BAD，点E，F分别在边BC，DC上， 3BCBE，DCDF，若1AE AF，则的值为 2 ；若G为线段DC上的动点，则 AG AE的最大值为 【解答】解：3BCBE，DCDF， 1 3 BEBC， 1 DFDC ， 11 33 AEABBEABBCABAD， 11 AFADDFADDCADAB ， 菱形的边长为 2，120BAD，| | 2ABAD， 22cos1202AB AD ， 1AE AF， 第
24、 12 页（共 16 页） 2211111 () ()(1)1 333 ABADADABADABAB AD ， 即 1 4 3 11 42(1)1 3 ， 整理得 105 33 ，解 得2；设DGt DC，0t， 1.AGADDGADtDCADtAB， 所以 2211102 () ()(1) 33333 tt AG AEABADADtABADtABAB AD， 当1t 时， 8 3 AG AE取最大值 故答案为：2， 8 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16 （14 分）
25、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，5a ， 6c ， 3 sin 5 B （）求b； （）求sin A的值； （）求sin(2) 4 A 的值 【解答】解： （）在ABC中，ab，故由 3 sin 5 B ，可得 4 cos 5 B 由余弦定理有 222 4 2cos253625613 5 bacacB ，13b （）由（）及正弦定理 sinsin ab AB ，得 sin3 13 sin 13 aB A b （） 由 （） 及ac， 得 21 3 c o s 13 A， 12 sin22sincos 13 AAA， 2 5 cos212sin 13 AA 故 122
26、5217 2 sin(2)sin2 coscos2 sin 44413213226 AAA 17 （15 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 A ACC 平面ABC，90ABC， 30BAC， 11 A AACAC，E，F分别是AC， 11 A B的中点 （）证明：EFBC； （）求直线EF与平面 1 A BC所成角的余弦值 第 13 页（共 16 页） （）求二面角 1 AACB的正弦值 【解答】 （）证明：连接 1 A E， 11 A AAC，E是AC的中点， 1 AEAC，又平面 11 A ACC 平面ABC， 1 A E 平面 11 A ACC，平面 11 A AC
27、C平面 ABCAC， 1 A E平面ABC， 如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴， EC， 1 EA所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，设4AC ，则 1(0 A，0，2 3)， ( 3,1,0)B， 1( 3,3,2 3) B， 3 3 (,2 3) 22 F，(0A，2，0)，(0C，2，0)， 3 3 (,2 3) 22 EF ，(3,1,0)BC ，由0EF BC，得EFBC （）解：设直线EF与平面 1 A BC所成角为， 由（）得(3,1,0)BC ， 1 (0AC ，2，2 3)， 设平面 1 A BC的法向量(nx，y，) z，则 1 30 30
28、BC nxy AC nyz ， 取1x ，得(1, 3,1)n ， |4 sin 5| | EF n EFn ， 直线EF与平面 1 A BC所成角的余弦值为 2 43 1( ) 55 （）解：由（）可知：平面 1 AAC的一个法向量是(1m ，0，0)， 由图可知该二面角为锐二面角，设该二面角的平面角为， |5 cos, | |5 m n m n mn ， 2 52 5 cos,sin1cos 55 第 14 页（共 16 页） 18 （15 分） 已知数列 n a是等差数列， n b是递增的等比数列， 且 1 1a ， 1 2b ， 22 2ba， 33 31ba （1）求数列 n a和
29、n b的通项公式； （2）若 1 2 ? (1)(1) n a n nn c bb ，求数列 n c的前n项和 n S 【解答】解： （1）设数列 n a是公差为d的等差数列， n b是公比为(1)q q 的等比数列， 由 1 1a ， 1 2b ， 22 2ba， 33 31ba 可得22(1)qd， 2 23(12 ) 1qd， 解得0d ，1q （舍去）或1d ，2q ， 则11 n ann ， 1 2 22 nn n b ； （2） 11 1 2211 ? (1)(1)(21)(21)2121 n an n nnnn nn c bb ， 则 223341 1111111 1 21212
30、121212121 n nn S 1 1 1 21 n 19（15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 且满足离心率 3 2 e ， 12 | 4 3FF ，过原点O且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于M，N两点 （1）求椭圆C的方程； （2）设点(2,1)A，求AMN面积的最大值 【解答】解： （1）由题意可知，2 3c ， 根据 3 2 c e a ，得4a ，2b ， 第 15 页（共 16 页） 椭圆C的方程为 22 1 164 xy （2）设直线l的方程为(0)ykx k， 由 22 1 164 ykx xy ， 得 1
31、2 4 14 x k ， 2 2 4 14 x k ， 2 222 121212 2 8 1 |()()1| 14 k MNxxyykxx k 点A到直线l的距离 2 |21| 1 k d k ， 所以 2 2 222 1|21|8 14|21|4 4 1 214 11414 AMN kkkk S k kkk ， 当0k 时，4 AMN S； 当0k 时， 44 4 14 14 2 1 1 ( 4 ) 2( 4 ) AMN S k k k k ，当且仅当 1 2 k 时，等号 成立， 所以 AMN S的最大值为4 2 20 （16 分）已知函数 1 ( )2f xxalnx x （其中a是实数
32、） （）若 1 2 a ，求曲线( )yf x在(1，f（1）)处的切线方程； （）求函数( )f x的单调区间； （）设 2 ( )g xlnxbxcx，若函数( )f x的两个极值点 1 x， 212 ()xxx恰为函数( )g x的两 个零点，且 12 12 ()() 2 xx yxxg 的范围是 2 2,) 3 ln ，求实数a的取值范围 【解答】解：( ) I由 1 2 a 得： 1 ( )f xxlnx x ， 则 2 11 ( )1fx xx ，所以 f （1）1，又f（1）0 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为1yx （）因为 1 ()2fxxalnx x
33、 ，所以( )f x定义域为(0， 2 22 1221 )( )1 axax fx xxx ， 第 16 页（共 16 页） 若1a，则( ) 0fx，当且仅当1a ，1x 时，( )0fx， 若1a ，( )0fx得 22 12 1,1xaaxaa， 当(0 x， 12 )(xx，)时，( )0fx， 当 1 (xx， 2) x时，( )0fx， 所以，当1a时，( )f x的单调递减区间为(0,)，无单调递增区间； 1a 时，( )f x的单调递减区间为 22 (0,1),(1,)aaaa；单调递增区间为 22 (1,1)aaaa （）由（）知，若( )f x有两个极值点，则1a ，且 1
34、2 2xxa， 12 1x x 所以 12 01xx ， 2 1 ( )( )2g xlnxbxcxg xbcx x ， 12 12 12 2 ()() 2 xx gbc xx xx ， 由 12 ()()0g xg x得， 221 1212 2 ()() x lnb xxc xx x 1 22121212121 121212 1 121222 2 2(1) 2()2() ()()()() 2 1 x xxxxxxxxx yxx gb xxc xxlnln x xxxxxx x ， 令 1 2 (0,1) x t x ， 2 2 2(1)(1) ( )( )0 1(1) tt h tlnth t tt t ，所以( )h t在(0,1)上单调递减 由 12 12 ()() 2 xx yxxg 的范围是 2 2,) 3 ln ，得 1 0, 2 t 的取值范围 又 12 2xxa， 12 1x x ， 2222 12121 2 (2 )()2axxxxx x， 212 21 19 422 ,) 2 xx at xxt ，又1a ， 故实数a的取值范围 3 2 ,) 4
