1、第 1 页（共 20 页） 2021 年河南省高考数学适应性练习试卷（理科）年河南省高考数学适应性练习试卷（理科） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 |14Axx， 2 |23 0Bx xx ，则AB等于( ) A( 1，1 B(，1(1,) C3，4) D(，13，) 2 （5 分）已知复数z满足 6 1 z i ，则| (z ) A2 B2 2 C3 D3 2 3 （5 分）已知向量(1,3)
2、a ，( ,4)bm，且(2)bab，则m的值为( ) A2 B2 C4 D2或 4 4（5 分） 如图， 一个四棱柱形容器中盛有水， 在底面ABCD中，/ /ABCD，3AB ，1CD ， 侧棱 1 4AA ，若侧面 11 AA B B水平放置时，水面恰好过AD，BC， 11 BC， 11 AD的中点，那 么当底面ABCD水平放置时，水面高为( ) A2 B 5 2 C3 D 7 2 5 （5 分）已知 2 1sin2 2 2cossin2 ，则tan2( ) A 3 4 B 4 3 C 3 4 D 4 3 6 （5 分）魔方又叫鲁比克方块(Rubk s )Cube，是由匈牙利建筑学教授暨雕
3、塑家鲁比克艾 尔内于 1974 年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智 力游戏界的三大不可思议 三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等 分，然后沿等分线把正方体切开所得现将三阶魔方中 1 面有色的小正方体称为中心方块， 2 面有色的小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体 中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为( ) 第 2 页（共 20 页） A 2 9 B 8 27 C 4 9 D 1 2 7 （5 分）已知点F是抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E 上的两点，满足| 10F
4、AFB，0FAFBFO，则(p ) A1 B2 C3 D4 8（5 分） 定义在( 1,1)上的函数( )f x满足( )( )()2f xg xgx， 对任意的 1 x， 2 ( 1,1)x ， 12 xx，恒有 1212 ()()()0f xf xxx，则关于x的不等式(31)( )4fxf x的解集为( ) A 1 (,) 4 B 1 (,0) 4 C 1 (,) 4 D 2 (,0) 3 9 （5 分）已知长方体 1111 ABCDABC D的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，E是 1 DD的 中点，则三棱锥 11 BC EC的外接球的表面积为( ) A12 B20 C24 D32
5、 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直 线与双曲线的渐近线交于点(A A在第一象限内） ，以OA为直径的圆与双曲线的另一条渐近 线交于点B，若/ /BFOA，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B2 C3 D2 11 （5 分）设( )sin2cos2f xaxbx，其中0a ，0b ，若( )|( )| 6 f xf 对任意的xR 恒成立，则下列说法正确的是( ) A 7 |()| |()| 105 ff B对任意的xR有 5 ( )()0 6 f xfx 成立 C( )f x的单调递增区间是 2 ,() 6
6、3 kkkZ D存在经过点( , )a b的直线与函数( )f x的图象不相交 第 3 页（共 20 页） 12 （5 分）若存在实数x，y满足3 yy lnxxee，则(xy ) A1 B0 C1 De 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设x，y满足 0 21 22 xy xy xy ，则xy的最小值是 ，最大值是 14 （5 分）曲线ylnxax与直线21yx相切，则a 15 （5 分）过点(2, 3)P作圆 22 :20C xyx的两条切线，切点分别为A，B，则 PA PB 16 （5 分） 如图所示，
7、在平面四边形ABCD中，ABBD，ABBD，BCCD，2AD ， 在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若 2 2coscabC，则ACD的面积 为 三、 解答题 （共三、 解答题 （共 70 分分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）设 n a是各项都为正的单调递增数列，已知 1 4a ，且
8、n a满足关系式： 11 42 nnnn aaaa ， * nN （1）求 n a的通项公式； （2）若 1 1 n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S 18 （12 分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为 2，将它们的一直角边重合，若 将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD， 如图所示， 其中60ABD， 点E， F，G分别是AC，BC，AB的中点 （1）求证：EF 平面CDG； （2）求二面角FAED的余弦值 第 4 页（共 20 页） 19 （12 分） 为了促进电影市场快速回暖， 各地纷纷出台各种优惠措施 某影院为回馈顾客， 拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满
9、 200 元的顾客进行减免，规定每人在装有 6 个白球、 2 个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取 3 次已知抽出 1 个白球减 10 元，抽出 1 个红球减 30 元，如果前两次减免之和超过 30 元即停止抽奖，否则抽取第三次 （1）求某顾客所获得的减免金额为 40 元的概率； （2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，O为坐标原点，点(4,0)A是x轴上一定点， 已知椭圆的长轴长等于|OA，离心率为 3 2 （1）求椭圆的方程； （2） 直线: l ykxt与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M
10、关于y轴的对称点为M， N关于原点O的对称点为N，若M，N满足(1)OAOMON，求证：直线l 经过定点 21 （12 分）已知函数 2 2 1 ( )2 ()(2.71828 2 x ax f xxx aR e e 是自然对数的底数） （1）若( )f x在(0,2)x内有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）1a 时，讨论关于x的方程 2 11 ( )2 |() 2 x f xxxblnxbR xe 的根的个数 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分）题计分
11、）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） 以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐 标方程为(sincos )1 （1）求圆C普通方程和直线l直角坐标方程； 第 5 页（共 20 页） （2） 点P极坐标为(1,) 2 ， 设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q， 求线段PQ 的长 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( )|(0)f xb xxaa （1）当1b ，2a 时
12、，解不等式( ) 5f x ； （2）当2b 时，若不等式( ) 3f x 对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围 第 6 页（共 20 页） 2021 年河南省高考数学适应性练习试卷（理科）年河南省高考数学适应性练习试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （5 分）已知集合 |14Axx， 2 |23 0Bx xx ，则AB等于( ) A( 1，1 B(，1(1,) C
13、3，4) D(，13，) 【解答】解： |1Bx x或3x， |14Axx， 3AB，4) 故选：C 2 （5 分）已知复数z满足 6 1 z i ，则| (z ) A2 B2 2 C3 D3 2 【解答】解：因为 66(1)6 (1)33 1(1)(1)2 i zii iii ， 所以| 3 2z ， 故选：D 3 （5 分）已知向量(1,3)a ，( ,4)bm，且(2)bab，则m的值为( ) A2 B2 C4 D2或 4 【解答】解：根据题意，得2(2,2)abm，由(2)bab，得(2)80mm， 解得2m 或4m ， 故选：D 4（5 分） 如图， 一个四棱柱形容器中盛有水， 在底
14、面ABCD中，/ /ABCD，3AB ，1CD ， 侧棱 1 4AA ，若侧面 11 AA B B水平放置时，水面恰好过AD，BC， 11 BC， 11 AD的中点，那 么当底面ABCD水平放置时，水面高为( ) 第 7 页（共 20 页） A2 B 5 2 C3 D 7 2 【解答】解：设四棱柱的底面梯形的高为2a，AD，BC的中点分别为F，E，所求的水 面高为h， 则水的体积 1 23132 4 22 ABEFABCD aa VSAAShh 水四边形四边形 ， 所以 5 2 h ， 故选：B 5 （5 分）已知 2 1sin2 2 2cossin2 ，则tan2( ) A 3 4 B 4
15、3 C 3 4 D 4 3 【解答】解：因为 2 22 1sin212sincos(sincos)sincos11 tan2 2cossin22cos2sincos2cos(sincos)2cos22 ， 所以，tan3，从而可得 2 2tan63 tan2 1tan194 ， 故选：A 6 （5 分）魔方又叫鲁比克方块(Rubk s )Cube，是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾 尔内于 1974 年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智 力游戏界的三大不可思议 三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等 分，然后沿等分线把正方体切开所得现将三阶魔
16、方中 1 面有色的小正方体称为中心方块， 2 面有色的小正方体称为边缘方块，3 面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体 中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为( ) 第 8 页（共 20 页） A 2 9 B 8 27 C 4 9 D 1 2 【解答】解：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有 27 个， 其中有 3 个面涂色的小正方体共有 8 个， 只有 2 个面涂色的小正方体共有 12 个，只有 1 个面涂色的小正方体共有 6 个， 所以恰好抽到只有 2 个面有色的小正方体的概率为 124 279 故选：C 7 （5 分）已知点F是抛物线 2 :2(0)E ypx p的焦点，
17、O为坐标原点，A，B是抛物线E 上的两点，满足| 10FAFB，0FAFBFO，则(p ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则 1212 |10 22 pp FAFBxxxxp， 由0FAFBFO，知 1212 3 (,)0 2 p FAFBFOxxyy，所以 12 3 2 p xx， 联立解得4p ， 故选：D 8（5 分） 定义在( 1,1)上的函数( )f x满足( )( )()2f xg xgx， 对任意的 1 x， 2 ( 1,1)x ， 12 xx，恒有 1212 ()()()0f xf xxx，则关于x的不等式(31)
18、( )4fxf x的解集为( ) A 1 (,) 4 B 1 (,0) 4 C 1 (,) 4 D 2 (,0) 3 【解答】解：对任意的 1 x， 2 ( 1,1)x ， 12 xx，恒有 1212 ()()()0f xf xxx，所以( )f x 是增函数， 设( )( )2( )()h xf xg xgx，则( )h x为奇函数，且在( 1,1)上为增函数， 所以不等式(31)( )4fxf x，等价于(31)2( )20fxf x， 第 9 页（共 20 页） 即(31)( )0hxh x，亦即(31)( )()hxh xhx ， 可得 1311 11 31 x x xx ，解得 1
19、0 4 x， 故选：B 9 （5 分）已知长方体 1111 ABCDABC D的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，E是 1 DD的 中点，则三棱锥 11 BC EC的外接球的表面积为( ) A12 B20 C24 D32 【解答】 解： 如图， 因为在三棱锥 11 BC EC中， 11 B C 平面 1 C EC且 1 C EC为直角三角形， 所以外接球球心是 1 B C的中点，不妨设球的半径为R， 则241620R ， 所以球的表面积 2 420SR 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直 线与双曲线的渐
20、近线交于点(A A在第一象限内） ，以OA为直径的圆与双曲线的另一条渐近 线交于点B，若/ /BFOA，则双曲线C的离心率为( ) A 2 3 3 B2 C3 D2 【解答】解：如图，因为AFOF，所以点F在圆上，又/ /BFOA，F是AC的中点，所 以AOFOFB ， 而AOFBOF ，所以OBF是等腰三角形，| 2| 2| 2|OAOBBFAF， 所以30AOF，所以 3 tan30 3 b a ， 所以 2 2 3 1( ) 3 b e a ， 第 10 页（共 20 页） 故选：A 11 （5 分）设( )sin2cos2f xaxbx，其中0a ，0b ，若( )|( )| 6 f
21、xf 对任意的xR 恒成立，则下列说法正确的是( ) A 7 |()| |()| 105 ff B对任意的xR有 5 ( )()0 6 f xfx 成立 C( )f x的单调递增区间是 2 ,() 63 kkkZ D存在经过点( , )a b的直线与函数( )f x的图象不相交 【解答】解： 2222 ( )sin2cos2sin(2)(tan) b f xaxbxabxab a ， 又 31 |()| |sincos| | 63322 fabab ， 由题意( )|()| 6 f xf 对任意的xR恒成立，且0a ，0b ， 所以 22 31 22 abab对任意的xR恒成立， 即 2222
22、22 313 32 3 442 ababababab剟恒成立， 由基本不等式可知 22 32 3abab，所以 22 32 3abab，此时30ab， 所以( )3 sin2cos22 sin(2) 6 f xbxbxbx 对于A选项， 74713 |()| |2 sin| 2 sin 103030 fbb ， 1713 |()| |2 sin| 2 sin 53030 fbb ， 所以 7 |()| |()| 105 ff ，故A错误； 对 于B选 项 ， 因 为( )2 sin(2) 6 f xbx ， 所 以 不 妨 令2, 6 xkkZ ， 解 得 , 1 22 k xkZ ， 当1k
23、 时， 5 12 x ，所以 5 (,0) 12 是( )f x的对称中心，故B正确； 第 11 页（共 20 页） 对于C选项，由222, 262 kxkkZ 剟，知, 36 kx kkZ 剟，故C不正 确； 对于D选项，由题知30ab，要使经过点( , )a b的直线与函数( )f x的图象不相交，则此 直线与横轴平行， 又( )f x的振幅为2bb， 所以直线必与( )f x的图象有交点， 故D不正确 故选：B 12 （5 分）若存在实数x，y满足3 yy lnxxee，则(xy ) A1 B0 C1 De 【解答】解：令( )3f xlnxx，则 11 ( )1 x fx xx ， 所
24、以( )f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减， 所以( )maxf xf（1）1 132ln ， 令( ) yy g yee，则2 yy ee，当且仅当0y 时取等号， 又3 yy lnxxee，所以32 yy lnxxee， 所以1x ，0y ，1xy， 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设x，y满足 0 21 22 xy xy xy ，则xy的最小值是 4 3 ，最大值是 【解答】解：不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域， 联立 22 0 xy xy ，解得 2 2 (, ) 3
25、 3 A ， 第 12 页（共 20 页） 联立 21 0 xy xy ，解得 11 ( ,) 33 B， 令zxy，化为yxz， 当yxz经过点 2 2 (, ) 3 3 A 时，zxy取到最小值 4 3 ； 当yxz经过点 11 ( ,) 33 B时，zxy取到最大值 2 3 故答案为： 4 3 ； 2 3 14 （5 分）曲线ylnxax与直线21yx相切，则a 1 【解答】解：设切点为 0 (P x， 0) y， 则 000 ylnxax， 00 21yx， ylnxax的导数为 1 ya x ， 则切线的斜率 0 0 1 ()2kfxa x ， 由解得 0 1x ，1a 故答案为：1
26、 15（5 分） 过点(2, 3)P作圆 22 :20C xyx的两条切线， 切点分别为A，B， 则P AP B 3 2 【解答】解：由 22 20 xyx得 22 (1)1xy，所以圆心(1,0)C，半径为 1， 点(2, 3)P所以| 2,| |3,60PCPAPBAPB， 所以 3 |cos60 2 PA PBPA PB 故答案为： 3 2 16 （5 分） 如图所示， 在平面四边形ABCD中，ABBD，ABBD，BCCD，2AD ， 在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若 2 2coscabC，则ACD的面积 为 2 2 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：ABBD
27、，ABBD， 在等腰直角ABD中22ADABc， 在ABC中，由余弦定理得 222 2cosababCc， 又已知 2 2coscabC， 222 2abc， 又,2aBCCD bAC ADc， 222 ACCDAD， ACCD， 作CFBD分别交BD，AD于点F，E， BCCD，E，F分别为线段AD，BD的中点， 45CED，1CEED， 12 22sin45 22 ACDECD SSECED 故答案为： 2 2 三、 解答题 （共三、 解答题 （共 70 分分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721 题为必考题，题为必考题，
28、每个试题考生都必须作答，第每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题（共 60 分）分） 17 （12 分）设 n a是各项都为正的单调递增数列，已知 1 4a ，且 n a满足关系式： 11 42 nnnn aaaa ， * nN （1）求 n a的通项公式； 第 14 页（共 20 页） （2）若 1 1 n n b a ，求数列 n b的前n项和 n S 【解答】解： （1） * 11 42, nnnn aaaanN ， 11 24 nnnn aaaa ，即 2 1 ()4 nn aa ， 又 n
29、a是各项为正的单调递增数列， 1 2 nn aa ， 数列 n a是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 22(1)2 n ann， 2 4 n an； （2）由（1）可得： 2 111111 () 141(21)(21)2 2121 n n b annnnn ， 12 111 11111 (1)()() 232 352 2121 nn Sbbb nn 11 (1) 22121 n nn 18 （12 分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为 2，将它们的一直角边重合，若 将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD， 如图所示， 其中60ABD， 点E， F，G分别是AC，BC，AB的
30、中点 （1）求证：EF 平面CDG； （2）求二面角FAED的余弦值 【解答】解： （1）证明：根据已知得ADBD，又G为AB的中点，所以DGAB， （1 分） 因为ACBC，G为AB的中点，所以CGAB， （2 分） 又DGCGG，DG 平面CDG，CG 平面CDG，所以AB 平面CDG （3 分） 又因为/ /ABEF，所以EF 平面CDG （4 分） 第 15 页（共 20 页） （2）因为CDAD，CDBD，所以CD 平面ABD，取BD中点H，连接AH，FH， 则AH 平面BDC，又HFBD， 所以以H为原点，以HB，HF，HA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，
31、 （5 分） 则 13 (0,0, 3),(0,1,0),( 1,2,0),(,1,),( 1,0,0) 22 AFCED， 所以 13 (,1,),(0,1,3),( 1,0,3) 22 AEAFAD （6 分） 设平面AEF的法向量为 1111 (,)nx y z， 则 1111 111 13 0 22 30 nAExyz nAFyz ， 令 1 1z ，得 1 ( 3, 3,1)n （8 分） 设平面AED的法向量为 2222 (,)nxyz， 则 2222 222 13 0 22 30 nAExyz nADxz 令 2 1z ，得 2 ( 3,0, 1)n （10 分） 所以 12 3
32、 17 cos, 72 7 n n ，所以二面角FAED的余弦值为 7 7 （12 分） 19 （12 分） 为了促进电影市场快速回暖， 各地纷纷出台各种优惠措施 某影院为回馈顾客， 拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满 200 元的顾客进行减免，规定每人在装有 6 个白球、 2 个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取 3 次已知抽出 1 个白球减 10 元，抽出 1 个红球减 30 元，如果前两次减免之和超过 30 元即停止抽奖，否则抽取第三次 （1）求某顾客所获得的减免金额为 40 元的概率； （2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望 第 16 页（共 20 页） 【
33、解答】解： （1）若顾客所获得的减免金额为 40 元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第 一次抽红球、第二次抽白球 求得顾客所获得的减免金额为 40 元的概率为 6226243 8888648 P （2）某顾客所获得的减免金额X可能为 30，40，50，60 66627 (30) 88864 P X ， 6226243 (40) 8888648 P X ， 6629 (50) 88864 P X ， 221 (60) 8816 P X 所以X的分布列为 X 30 40 50 60 P 27 64 3 8 9 64 1 16 27391615 ()30405060 648641616 E X 所以
34、某顾客所获得的减免金额的数学期望为 615 16 20 （12 分）设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，O为坐标原点，点(4,0)A是x轴上一定点， 已知椭圆的长轴长等于|OA，离心率为 3 2 （1）求椭圆的方程； （2） 直线: l ykxt与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为M， N关于原点O的对称点为N，若M，N满足(1)OAOMON，求证：直线l 经过定点 【解答】解： （1）由题意得，2,3ac，所以 222 1bac （3 分） 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （4 分） （ 2 ） 证 明 ： 设 1 (M x， 1) y， 2
35、(N x， 2) y， 则 1 (Mx ， 1) y， 2 (Nx ， 2) y， 12 12 , 44 AMAN yy kk xx 所以 121221 1212 (4)(4) 0 44(4)(4) yyy xyx xxxx ， 第 17 页（共 20 页） 整理得 1212 2(4 )()80kx xtkxxt（7 分） 由ykxt代入 2 2 1 4 x y，得 222 (14)8440kxktxt， （8 分） 则 2 1212 22 844 , 1414 ktt xxx x kk （9 分） 代入整理得tk， （11 分） 所以直线l的方程为ykxk，即直线l恒过定点( 1,0) （1
36、2 分） 21 （12 分）已知函数 2 2 1 ( )2 ()(2.71828 2 x ax f xxx aR e e 是自然对数的底数） （1）若( )f x在(0,2)x内有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）1a 时，讨论关于x的方程 2 11 ( )2 |() 2 x f xxxblnxbR xe 的根的个数 【解答】解： （1）由题意可求得 2 (2)(2)() ( )2 x xx axxxeax fxx ee ， 因为( )f x在(0,2)x内有两个极值点， 所以( )0fx在(0,2)x内有两个不相等的变号根， 即0 x eax在(0,2)x上有两个不相等的变号根， 设(
37、 ) x g xeax，则( ) x g xea， 当0a时，(0,2)x，( )0 x g xea， 所以( )g x在(0,2)上单调递增，不符合条件； 当0a 时，令( )0 x g xea得xlna， 当2lna，即 2 a e时，(0,2)x，( )0 x g xea， 所以( )g x在(0,2)上单调递减，不符合条件， 当0lna，即01a 时，(0,2)x，( )0 x g xea， 所以( )g x在(0,2)上单调递增，不符合条件， 当02lna，即 2 1ae时，( )g x在(0,)lna上单调递减，(,2)lna上单调递增， 若要0 x eax在(0,2)x上有两个不
38、相等的变号根， 则(0)0g且g（2）0且()0g lna 且02lna，解得 2 2 e ea； 综上所述，a的取值范围是 2 ( ,) 2 e e； 第 18 页（共 20 页） （2）设 2 2 11 ( ) | ( )2 |,(0,) 2 xx x h xlnxf xxxblnxb x xee ， 令 2x x y e ，则 2 12 x x y e ，所以 2x x y e 在 1 (0, ) 2 上单调递增，在 1 ( ,) 2 上单调递减， （）当(1,)x时，0lnx ，则 2 ( ) x x h xlnxb e ，所以 2 2 ( )(21) x x e h xex x ，
39、因为 2 210,0 x e x x ，所以( )0h x，因此( )h x在(1,)上单调递增， （）当(0,1)x时，0lnx ，则 2 ( ) x x h xlnxb e ，所以 2 2 ( )(21) x x e h xex x ， 因为 22 (1,) x ee， 2 10 x ex ，211x ， 所以 2 2 ( )(21)0 x x e h xex x ，因此( )h x在(0,1)上单调递减， 综合（） （）可知，当(0,)x时，( )h xh（1） 2 eb ， 当h（1） 2 0eb ，即 2 be 时，( )h x没有零点，故关于x的方程根的个数为 0， 当h（1） 2
40、 0eb ，即 2 be 时，( )h x只有一个零点，故关于x的方程根的个数为 1， 当h（1） 2 0eb ，即 2 be 时， 当(1,)x时， 1 2 1 ( )()1 2 x x h xlnxblnxeblnxb e ， 要使( )0h x ，可令10lnxb ，即 1 ( b xe ，)； 当(0,1)x时， 1 2 1 ( )()1 2 x x h xlnxblnxeblnxb e ， 要使( )0h x ，可令10lnxb ，即 1 (0,) b xe ， 所以当 2 be 时，( )h x有两个零点，故关于x的方程根的个数为 2； 综上所述：当 2 be 时，关于x的方程根的
41、个数为 0， 当 2 be 时，关于x的方程根的个数为 1， 当 2 be 时，关于x的方程根的个数为 2 （二）选考题（共（二）选考题（共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分）题计分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 22cos ( 2sin x y 为参数） 以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐 第 19 页（共 20 页） 标方程为(sinco
42、s )1 （1）求圆C普通方程和直线l直角坐标方程； （2） 点P极坐标为(1,) 2 ， 设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q， 求线段PQ 的长 【解答】解： （1）由 22cos ( 2sin x y 为参数） ，消去参数，可得圆C普通方程为 22 (2)4xy， 由(sincos )1， 结合cosx，siny， 可得直线l直角坐标方程为10 xy （2）由点P极坐标为(1,) 2 ，得点P直角坐标为(0,1)， 设直线l的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt ，代入圆普通方程得 2 3 210tt ， 设A，B对应参数为 1 t， 2 t，则Q对应的参数为 12 2
43、tt ， 故 12 3 2 | | 22 tt PQ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数( )|(0)f xb xxaa （1）当1b ，2a 时，解不等式( ) 5f x ； （2）当2b 时，若不等式( ) 3f x 对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）当1b ，2a 时，不等式( ) 5f x 即为|2|5xx， 当2x时，可得(2) 5xx，解得 7 2 x，则 7 2 2 x剟； 当02x时，可得(2) 5xx，即2 5，所以02x； 当0 x时，可得(2) 5xx ，解得 3 2 x，则 3 0 2 x剟 综上可得，原不等式的解集为 3 7 , 2 2 （2）当2b 时，若不等式( ) 3f x 对任意的xR恒成立，即为( )3 min f x， 又 3, ( ),0 3 ,0 xa x a f xxaxa ax x ， 第 20 页（共 20 页） 当x a时，( )f xf（a）2a； 当0 xa时，( )2af xa； 当0 x时，( )f xa 故( )minf xa，则3a，即a的取值范围是3，)
