江苏省苏州市2021届高三4月份三校联考数学试题（word含答案）.zip

2021 届高三年级三校联考届高三年级三校联考 数学数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题本题共一、选择题本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。是符合题目要求的。 1.已知（CRA) B=,则下面选项中一定成立的是 A.AB=A B.AB=B C.AB=B D.AB=R 2.已知 i 是虚数单位，在复平面内，复数2+i 和 1-3i 对应的点间的距离是 A. B. C.5 D.25 510 3.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良 马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽 马，九日二马相逢，则长安至齐 A.1120 里 B.2250 里 C.3375 里 D.1125 里 4.甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方， 周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为 A.60 B.65 C.70 D.75 5.已知 A,B 是圆 O:x2+y2=1 上的两个动点，|AB|=,M 为线段 AB 的中点， 332OCOAOB 则的值为 OC OM A. B. C. D. 1 4 1 2 3 4 3 2 6.雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大 致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的 最大直视距离 L=+= 22 1 ()RhR 22 2 ()RhR +,其中 h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R 为地球半 2 11 2Rhh 2 22 2Rhh 径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R 等效取 8490km,故 R 远大于 h1,h2.假设某探测目标 高度为 25m,为保护航母的安全，须在直视距离 390km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预 警机的巡航高度至少约为（参考数据：4.12) 2 8.49 A.6400m B.7200m C.8100m D.10000m 7.下列图象中可以作为函数 f(x)= 部分图象的是 2 1 cos 1 x x e 8.已知函数 f(x)=ekx-21,(k0);函数 g(x)=xlnx ;若 kf(x)2g(x),对x(0,+ )恒成立，则 ln x kx 实数 k 的取值范围为 A.1,+ ) B.e,+ ) C. D. 1 , e 2 , e 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考） ，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序， 评定为 A,B,C,D,E 五个等级，再转换为分数计入高考总成绩某试点高中 2020 年参加“选 择考”总人数是 2018 年参加“选择考”总人数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平 情况，统计了该校 2018 年和 2020 年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图 针对该校“选择考”情况，2020 年与 2018 年比较，下列说法正确的是 A.获得 A 等级的人数增加了 B.获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C.获得 D 等级的人数减少了一半 D.获得 E 等级的人数相同 10.AABC 中，D 为边 AC 上的一点，且满足,若 P 为边 BD 上的一点，且满足 1 2 ADDC (m0,n0),则下列结论正确的是 APmABnAC A.m+2n=1 B.mn 的最大值为 1 12 C. 的最小值为 6+4 D.m2+9n2的最小值为 41 mn 2 1 2 11.已知函数 f(x)=|cosx|-|sin|x|，下列说法正确的是 A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期为 的函数 C.f(x)在区间上单调递减 D.f(x)的最大值为 3 , 2 2 12.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 4,M 为 DD1的中点，N 为 ABCD 所在平面上一动点， N1为 A1B1C1D1所在平面上一动点，且 NN1平面 ABCD,则下列命题正确的是 A.若 MN 与平面 ABCD 所成的角为，则点 N 的轨迹为圆 4 B.若三棱柱 NAD-N1A1D1的表面积为定值，则点 N 的轨迹为椭圆 C.若点 N 到直线 BB1与直线 DC 的距离相等，则点 N 的轨迹为抛物线 D.若 D1N 与 AB 所成的角为，则点 N 的轨迹为双曲线 3 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标 XN(100,102),且 110X120 的 产品数量为 5436 件请估计该批次检测的产品数量是 件。 参考数据：P(-X+)=0.6826 ,P(-2X+2)=0.9545,P(-30),若在直线 l:x+y+2=0 上存在点 P 满足：过点 P 能向双曲线 22 2 4 xy b C 引两条互相垂直的切线，则双曲线 C 的离心率取值范围是 . 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分）在(a+b)(a-b)=(a-c)c,2a-c=2bcosC, (a-bcosC)=csin B 三个条件中任选一个， 3 补充在下面的问题中，并解决该问题。 在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 b=2. 3 （1)若 a+c=4,求 ABC 的面积； （2)求 a+c 的取值范围 18.(12 分）设an是等比数列，公比大于 0,bn是等差数列，已知 a1=1,a3=a2+2, a4=b3+b5, a5=b4+2b6 （1)求an和bn的通项公式； （2)设数列cn满足 c1=c2=1,cn=其中 kN*，求数列的前 n 项和. 1 1,33 ,3 kk k k n a n 33 (1) kk bc 19.(12 分）如图，三棱锥 S-ABC 的底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形，且平面 SBC平 面 ABC. （1)若 P 点是线段 SA 的中点，求证：SA平面 PBC; （2)点 Q 在线段 SA 上且满足 AQAS,求 BQ 与平面 SAC 所成角的正弦值。 1 3 20.(12 分）在新的高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八个 省市在 2021 年首次实施“3+1+2”模式新高考为了适应新高考模式，在 2021 年 1 月 23 日至 1 月 25 日进行了“八省联考”，考完后，网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价，对 12 种组 合的选择也产生不同的质疑为此，某校随机抽一名考生小明（语文、数学、英语、物理、政治、 生物的组合）在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，借此成绩进行相应的推断下表 1 是小明同学高一选科前两次测试成绩（满分 100 分）： 语文数学英语物理政治生物 第一次879291928593 第二次829495889487 （1)从小明同学第一次测试的科目中随机抽取 1 科，求该科成绩大于 90 分的概率； （2)从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取 1 科，记 X 为抽取的 2 科中成 绩大于 90 分的科目数量，求 X 的分布列和数学期望 E(X); （3)现有另一名同学两次测试成绩（满分 100 分）及相关统计信息如下表 2 所示： 将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这 6 科总评成绩的方差为 D3.有一种观点 认为：若 x1=x2,D1b0)的右焦点为 F, 22 22 xy ab P 为右准线上一点点 Q 在椭圆上，且 FQFP. （1)若椭圆的离心率为，短轴长为 2. 1 2 3 求椭圆的方程； 若直线 OQ,PQ 的斜率分别为 k1,k2,求 k1k2的值； （2)若在 x 轴上方存在 P,Q 两点，使 O,F,P,Q 四点共圆，求椭圆离心率的取值范围 22.(12 分）已知函数 f(x)=2ex+aln(x+1)-2. （1)当 a=-2 时，讨论 f(x)的单调性； （2)当 x0,时，f(x)sinx 恒成立，求 a 的取值范围 2021 届高三年级三校联考 数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1已知() RA B C，则下面选项中一定成立的是 AABABABBCABBDABR 【答案】B 2已知i是虚数单位，在复平面内，复数2i 和13i对应的点间的距离是 A5B10C5D25 【答案】C 3在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，良 马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽 马，九日二马相逢，则长安至齐 A1120 里B2250 里C3375 里D1125 里 【答案】D 4甲、乙、丙、丁四位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去一个地方， 周庄一定要有人去，则不同游览方案的种数为 A60B65C70D75 【答案】B 5已知,A B是圆 22 :1O xy上的两个动点，3AB ，32OCOAOB ，M为线段 AB的中点，则OC OM 的值为 A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 3 2 【答案】A 6 雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的 影响，雷达所能发现目标的最大直视距离 2222 12 ()()LRhRRhR 22 1122 22RhhRhh， 其中 1 h为雷达天线架 设高度， 2 h为探测目标高度，R为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、 折射等因素，R等效取8490km，故R远大于 1 h， 2 h.假设某探测 目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探 测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为 （参考数据：2 8.494.12） A6400mB7200mC8100mD10000m 【答案】C 7下列图象中可以作为函数 2 ( )1 cos 1 x f xx e 部分图象的是 【答案】B 【解析】 1e ( )cos 1e x x f xx 为奇函数，排除 A，C 当0, 2 x 时，( )0f x ，故选 B. 8已知函数 ln ( )21,(0) kx x f xek kx ；函数( )lng xxx；若( )2 ( )kf xg x，对 (0,)x 恒成立，则实数k的取值范围为 A1,)B ,)e C 1 , e D 2 , e 【答案】D 【解析】 2 2ln e2 lne2ln2ln kxkx x kkxxkxxkxxx x （*） 2 222ln (e1)ln(1)ln(e1) kxx kxxxx 令( )(e1) x F xx， 2 ()(ln)F kxFx 由（*）式知显然0k ，当 2 ln0 x 时，不等式显然成立 当 2 ln0 x 时，由 2 ,ln0kxx ，( )F x在(0,)上 2 max ln2 ln2ln2 e x kxxxk x ，故选 D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分. 9新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)， 其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序， 评定为, , ,A B C D E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩某试点高中 2020 年参加“选 择考”总人数是 2018 年参加“选择考”总人数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考” 的水平情况，统计了该校 2018 年和 2020 年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图. 针对该校“选择考”情况，2020 年与 2018 年比较，下列说法正确的是 A获得A等级的人数增加了 B获得B等级的人数增加了 1.5 倍 C获得D等级的人数减少了一半 D获得E等级的人数相同 【答案】AB 10ABC中，D为边AC上的一点，且满足 1 2 ADDC ，若P为边BD上的一点，且满 足(0,0)APmABnAC mn ，则下列结论正确的是 A21mnBmn的最大值为 1 12 C 41 mn 的最小值为64 2D 22 9mn的最小值为 1 2 【答案】BD 11已知函数( )cossinf xxx，下列说法正确的是 A( )f x是偶函数B( )f x是周期为的函数 C( )f x在区间 3 , 2 上单调递减D( )f x的最大值为2 【答案】ABC 【解析】对于 A，由()cossin( )fxxxf x知( )f x为偶函数，A 正确； 对于 B，()cos()sincossin( )f xxxxxf x，B 正确； 对于 C，当 3 , 2 x 时，( )cossin2sin 4 f xxxx ， 35 , 444 x ， ( )f x在 3 , 2 上单调递减，C 正确； 对于 D，显然( )f x的最大值为 1，D 错误 故选 ABC. 12已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，M为 1 DD的中点，N为ABCD所在平面上 一动点， 1 N为 1111 ABC D所在平面上一动点，且 1 NN 平面ABCD，则下列命题正确的是 A若MN与平面ABCD所成的角为 4 ，则点N的轨迹为圆 B若三棱柱 111 NADN AD的表面积为定值，则点N的轨迹为椭圆 C若点N到直线 1 BB与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线 D若 1 D N与AB所成的角为 3 ，则点N的轨迹为双曲线 【答案】ACD 【解析】对于 A，MN在底面ABCD的射影为MND，则 4 MND ，2DNDM N在以D为圆心，2 为半径的圆上运动，A 正确； 对于 B， 如图建系， 设( , )N x y， 由题意知，(0,0)A，(0,4)D 2222 44(4)164xyxyx为 定 值 ， 即 NANDNE为定值，B 错误； 对于 C，由题意知(4,0)B， 22 (4)NBxy， 22 (4)4xyy N的轨迹方程为 2 8 8 xx y 为抛物线，C 正确； 对于 D，在,B C基础上加上以 1 AA方向为z轴，此时 1(0,4,4) D，( , ,0)N x y (4,0,0)AB ， 1 ( ,4, 4)D Nx y 由题意知 22 22 4 cos3(4)16 3 4(4)16 x xy xy 22 (4) 1 16 16 3 xy ，N轨迹为双曲线，D 正确 故选 ACD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标 2 (100,10 )XN，且110120X的 产品数量为 5436 件请估计该批次检测的产品数量是_件. 参考数据： ()0.6826PX ， (22 )0.9545PX ， (33 )0.997PX 【答案】40000 14已知函数( )f x满足：( )(2)(2)f xfxfx ，则符合题意的一个( )f x的解析式 可以为_. 【答案】答案不唯一，( )0f x ，( )sin 2 f xx 等 15在四面体ABCD中，2AB ，1DADBCACB，则四面体ABCD的外接球 的体积为_. 【答案】 2 3 【解析】取AB中点E，则 2 2 EAEBECED， 四面体外接球的半径为 2 2 ，体积为 4122 3223 . 16 已知双曲线 22 2 :1(0) 4 xy Cb b ，若在直线:20l xy上存在点P满足：过点P能 向双曲线C引两条互相垂直的切线，则双曲线C的离心率取值范围是_. 【答案】 6 1, 2 【 解 析 】 设 过P点 且 与 双 曲 线 相 切 的 直 线 方 程 为 00 ()yk xxy， 00 2yx 00 2222222 000000 2222 () 4(2)2()4 44 yk xxy b xkxx xxyk y xxb b xyb 22222222 000000 (4)(88)44840bkxk xky xk xykx yb 22222222 0000000 64()4(4)(4484)0k xk ybkk xykx yb 22222222 000000 4()(4)(2)0k xkybkk xykx yb 4232222222244222 0000000000 4(2)244k xk x yk yb x kb ykb x ybk xk y 322 00 840 x y kk b 22222224 0000 (4)20b xb kb x y kb yb 2222 0000 (4)20 xkx y kyb，两根设为 12 ,k k 22 222 0 1 200 2 0 1(2)4 4 yb k kxbx x 222 000 444xxbx， 22 00 240 xxb看成关于 0 x的方程 22 168002bb 双曲线C离心率 22 46 11, 442 bb e . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10 分） 在()()()ab abac c， 22 cosacbC， 3(cos)sinabCcB 三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在ABC中，内角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且满足2 3b . （1）若4ac，求ABC的面积； （2）求ac的取值范围. 【解析】 若选，由题意()()()ab abac c，化简得 222 1 22 acb ac 即 1 cos 2 B ，0B，得 3 B （1）由余弦定理 2 ()22cosbacacacB，得 2 1 12422 2 acac， 解得 4 3 ac ， 113 sinsin 2233 SacB . （2）由正弦定理 2 3 4 sinsinsin3 2 acb ACB ，又因为 2 3 AC ， 所以4(sinsin)acAC 2 4 sinsin 3 AA 13 4 3cossin4 3sin 226 AAA ， 因为 2 0 3 A ， 5 666 A ， 1 sin,1 62 A ，(2 3,4 3ac 若选，由22 cosacbC， 得2sinsin2sincosACBC，2sin()sin2sincosBCCBC， 化简得2cossinsinBCC，得 1 cos,0 2 BB，得 3 B . 以下与选同. 若选，由3(cos)sinabCcB，得3(sinsincos)sinsinABCCB， 即3sin()sincossinsinBCBCCB，化简得tan3B ，0B， 得 3 B .以下与选同. 18 （12 分）设 n a是等比数列，公比大于 0， n b是等差数列，已知 1 1a ， 32 2aa， 435 abb， 546 2abb （1）求 n a和 n b的通项公式； （2） 设数列 n c满足 12 1cc， 1 1,33 ,3 kk n k k n c an ， 其中 * kN， 求数列 33 (1) nn bc 的前n项和. 【解析】 （1） 1 1a ， 2 32 220aaqq 解得2q 或1q （舍） 所以 1 2n n a ， 3511 461 82681 216313161 bbbdb bbbdd 所以 n bn. （2） 3 3 n n b ， 1 3 2 k k k ca ， 1 3 2 n n c 11 33 (1)3 (21)3 63 nn nnnn bc 设 0112231 (3 63 )(3 63 )(3 63 )(3 63 ) nn n S 012112 (3 63 63 63 6)(333 ) nn 1 1 (16 )3 (1 3 )3 639 3 161 35210 nnnn . 19（12 分） 如图， 三棱锥SABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形， 且平面SBC 平面ABC. （1）若P点是线段SA的中点，求证：SA平面PBC； （2）点Q在线段SA上且满足 1 3 AQAS，求BQ与平面SAC所成角的正弦值. 【解析】 （1）因为ABC和SBC都为等边三角形，且有公共边BC， 所以ABSBBCACSC. 因为P为SA的中点，所以SABP，SACP， 又因为BPCPP，所以SAPBC 平面. （2）取BC的中点O，连接,OA OS，由条件可得,OA BC OS两两垂直. 以O为坐标原点，,OA OB OS 的方向分别为, ,x y z轴的正方向 建立空间直角坐标系，如图. 设2AB ，则3AOOS， 则点( 3,0,0)A，(0,1,0)B，(0, 1,0)C，(0,0, 3)S， 2 33 ,0, 33 Q ， 所以( 3,1,0)CA ，( 3,0,3)SA ， 2 33 , 1, 33 BQ . 设平面SAC的一个法向量为( , , )nx y z ， 则 30, 330, n CAxy n SAxz ，令1x ，可得(1,3,1)n . 设BQ与平面SAC所成角为， 2 33 3 3 10 33 sincos, 1041 113 1 33 BQ n BQ n BQn . 20 （12 分）在新的高考改革形式下，江苏、辽宁、广东、河北、湖南、湖北、福建、重庆八 个省市在 2021 年首次实施“312 ”模式新高考.为了适应新高考模式，在 2021 年 1 月 23 日至 1 月 25 日进行了“八省联考” ，考完后，网上流传很多种对各地考生考试成绩的评价，对 12 种组合的选择也产生不同的质疑.为此，某校随机抽一名考生小明（语文、数学、英语、物 理、政治、生物的组合）在高一选科前某两次六科对应成绩进行分析，借此成绩进行相应的推 断.下表 1 是小明同学高一选科前两次测试成绩(满分 100 分)： 语文数学英语物理政治生物 第一次 879291928593 第二次829495889487 （1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取 1 科，求该科成绩大于 90 分的概率； ； （2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取 1 科，记X为抽取的 2 科中成 绩大于 90 分的科目数量，求X的分布列和数学期望()E X； （3）现有另一名同学两次测试成绩(满分 100 分)及相关统计信息如下表 2 所示： 语文数学英语物理政治生物6 科成绩均值6 科成绩方差 第一次 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 x 1 D 第二次 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 2 x 2 D 将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这 6 科总评成绩的方差为 3 D.有一种观点认 为：若 1212 ,xx DD，能推出 132 DDD.则有理由认为“八省联考”考生成绩与选科有 关，否则没有理由否定 12 种选科模式的不合理性，即新高考模式 12 种选科模式是可取的.假 设这种观点是正确的，通过表 2 内容，你认为新高考模式 12 种组合选科模式是否可取？ 【解析】 （1）共有 6 科成绩，其中成绩大于 90 分的有数学、英语、物理和生物共 4 科， 所以从张明同学第一次测试的科目中随机抽取 1 科，该科成绩大于 90 分的概率为 42 63 . （2）X的所有可能取值为：0，1，2， 11 23 11 66 1 (0) 6 C C P X C C ， 1111 2343 11 66 1 (1) 2 C CC C P X C C ， 11 43 11 66 1 (2) 3 C C P X C C ， 所以X的分布列为： X012 P 1 6 1 2 1 3 数学期望 1117 ()012 6236 E X . （3）设 12 xxx，则 126126 6aaabbbx， 则 222 1126 6()()()Daxaxax 2222 126126 2()6aaaaaa xx 22222 126 126aaaxx 2222 126 6aaax， 同理可得 2222 2126 66Dbbbx， 222 2 112266 3 66 222 ababab Dx ， 因为 12 DD，所以 222222 126126 aaabbb， 所以 222 222 112266 31126 66() 222 ababab DDaaa 111122226666 ()(3 )()(3)()(3) 444 babababababa 的符号不确定， 所以 3 D与 1 D无法比较大小， 222 222 112266 32126 66() 222 ababab DDbbb 222222 222 112266 126 () 222 ababab bbb 222222 126126 () 0 2 aaabbb ， 所以 32 DD， 综上所述由 12 xx， 12 DD，推不出 132 DDD 故新高考模式 12 种组合选科模式是可取的. 21（12 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F， P为右准线上一点.点Q在椭圆上，且FQFP. （1）若椭圆的离心率为 1 2 ，短轴长为2 3. 求椭圆的方程； 若直线,OQ PQ的斜率分别为 12 ,k k，求 12 kk的值； （2）若在x轴上方存在,P Q两点，使, ,O F P Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围. 【解析】解析一： （1）设椭圆的焦距为2c， 由题意，得 222 1 , 2 22 3, , c a b abc 所以 2, 3. a b 所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . 由得，焦点(1,0)F，准线为4x ， 解析 1： 设(4, )Pt， 00 (,)Q xy，则 22 00 1 43 xy ，所以 22 00 3 3 4 yx. 所以 00 (1,)FQxy ，(3, )FPt ， 因为FPFQ，所以 00 3(1)0FQ FPxty ， 所以 00 3(1)tyx. 所以 2 2 00 0000 12 22 000000 3 33(1) 3 4 4444 xx yytyty kk xxxxxx . 解析 2： 设 00 (,)Q xy，则 22 00 1 43 xy ，所以 22 00 3 3 4 yx， 当1x 时，直线FQ存在斜率，则 0 0 1 FQ y k x ， 又FPFQ，所以直线FP的方程为 0 0 1( 1) x yx y ， 所以点P的坐标为 0 0 3(1) 4, x y . 所以 0 2 02 00 0000 12 22 000000 3(1) 3 33(1) 3(1)3 4 4444 x y xx yyyx kk xxxxxx ； 当1x 时，点Q的坐标为 3 1, 2 ，点P的坐标为(4,0)，也满足 12 3 4 kk ， 所以 12 kk的值为 3 4 . （2）解析一： 设 2 , a Pt c ， 00 (,)Q xy，因为FPFQ， 则FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆 2 00 ()()()0 a xxxytyy c . 由题意，焦点F，原点O均在该圆上，所以 2 00 2 00 ()0, 0 a ccxty c a xty c ， 消去 0 ty得 22 00 ()0 aa ccxx cc ，所以 2 0 a xc c ， 因为点,P Q均在x轴上方，所以 2 a acc c ，即 22 0caca， 所以 2 10ee ，又因为01e， 所以 51 1 2 e . 解析二： 因为, ,O F P Q四点共圆且FPFQ，所以PQ为圆的直径， 所以圆心必为PQ中点M， 又圆心在弦OF的中垂线 2 c x 上， 所以圆心M的横坐标为 2 M c x， 所以点Q的横坐标为 22 2 QM aa xxc cc .（以下同方法 1）. 解析三： （1） 1 2 c a ，3b ， 222 abc， 椭圆标准方程为 22 1 43 xy . 椭圆右准线方程为4x ，(1,0)F 设(4,)Pm， 00 (,)Q xy， 0 0 11 31 PFQF my kk x ， 22 00 1 43 xy 则 22 000000 12 22 000000 33 444 yymymyyx kk xxxxxx 2 0 2 0 00 22 0000 3 3 133 3 43 4 444 x x xx xxxx . （2）, ,O F P Q四点共圆且FPFQ PQ为圆的直径 圆心必过PQ中点 00 (,)M xy，又圆心也在线段OF的中垂线 2 c x 上， 0 2 c x， 2 Q a xc c ,P Q均在x轴上方， 2 a acc c ， 222 51 0101 2 cacaeee 即离心率范围为 51,1 2 . 22 （12 分）已知函数( )2ln(1)2 x f xeax. （1）当2a 时，讨论( )f x的单调性； （2）当0,x时，( )sinf xx恒成立，求a的取值范围. 【解析】解析一： （1）当2a 时，( )22ln(1)2 x f xex，1x . 2 ( )2 1 x fxe x ，( )fx在( 1,) 单调递增，且(0)0 f . 当( 1,0)x 时，( )0fx；当(0,)x时，( )0fx. 所以函数( )f x在( 1,0)单调递减，在(0,)单调递增. （2）令( )( )sin2ln(1)2sin ,0, x g xf xxeaxx x 当0,x时，( )sinf xx恒成立等价于( )(0)0g xg恒成立. 由于( )( )cos2cos ,0, 1 x a g xfxxex x x ， 所以（i）当0a 时，( )210 x g xe ，函数( )yg x在0,单调递增， 所以( )(0)0g xg，在区间0,恒成立，符合题意. （ii）当0a 时，( )2cos 1 x a g xex x 在0,单调递增， (0)21 1gaa . 当10a即10a 时，( )(0)10g xga ， 函数( )yg x在0,单调递增，所以( )(0)0g xg在0,恒成立，符合题意. 当10a即1a 时，(0)10ga ，( )21 1 a ge ， 若( )0g，即(1)(21)ae 时，( )g x在(0, )恒小于 0 则( )g x在(0, )单调递减，( )(0)0g xg，不符合题意. 若( )0g，即(1)(21)1ea 时，存在 0 (0, )x使得 0 ()0g x. 所以当 0 (0,)xx时，( )0g x，则( )g x在 0 (0,)x单调递减， ( )(0)0g xg，不符合题意. 综上所述，a的取值范围是 1,) . 解析二： （1）当2a 时，( )2e2ln(1)2 x f xx， 2 ( )2e 1 x fx x ，显然( )fx在(0,)上 注意到(0)0 f ，当( 1,0)x 时，( )0fx，( )f x ； 当(0,)x时，( )0,( )fxf x （2）2eln(1)2sin0 x axx恒成立 令( )2eln(1)2sin x F xaxx，( )(0)F xF ( )2ecos(0)010 1 x a F xxFa x ，1a （必要性） 当1a 时，( )2eln(1)2sin2(1)20 x F xxxxxx， 综上：1a .