1、第第2课时课时 相似三角形应用举例（相似三角形应用举例（2） R 九年级下册九年级下册 新课导入 当你在路上行走时，经常会见到一种现象：当你在路上行走时，经常会见到一种现象： 远处的高楼越来越矮，而近处的矮楼却越来越远处的高楼越来越矮，而近处的矮楼却越来越 高，你能解释这种现象吗？高，你能解释这种现象吗？ 学习目标：学习目标： 1.利用相似三角形的知识，解决求实际问利用相似三角形的知识，解决求实际问 题中不能直接测量的物体高度或长度问题题中不能直接测量的物体高度或长度问题. . 2.体会数学转化的思想，建模的思想体会数学转化的思想，建模的思想. . 3.知道相似三角形面积的比等于相似比的知道相
2、似三角形面积的比等于相似比的 平方平方. 推进新课 视线遮挡问题视线遮挡问题 知识点 例例3 如图，左、右并排的两棵大树的高分别如图，左、右并排的两棵大树的高分别 是是 AB =8 m和和 CD=12 m，两树底部的距离，两树底部的距离 BD=5 m， 一个人估计自己的眼睛距地面一个人估计自己的眼睛距地面 1.6 m她沿着正对她沿着正对 这两棵树的一条水平直路这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与从左向右前进，当她与 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边 较高的树的顶点较高的树的顶点 C 了？了？ 分析：分析：如图，设观察者眼睛的位
3、置为点如图，设观察者眼睛的位置为点F， 画出观察者的水平视线画出观察者的水平视线FG，分别交，分别交AB，CD于点于点 H，K. 视线视线FA与与FG的夹角的夹角AFH是观察点是观察点A时时 的仰角的仰角. 类似地，类似地，CFK是观察点是观察点C时的仰角时的仰角. 由由 于树的遮挡，区域于树的遮挡，区域和和，观察者都看不到，观察者都看不到. 当仰角当仰角AFHCFK时，人时，人能能看到小树看到小树AB 后面的大树后面的大树CD； 当仰角当仰角AFHCFK时，人时，人刚好能刚好能看到小树看到小树 AB后面的大树后面的大树CD； 当仰角当仰角AFHCFK时，人时，人不不 能能看到小树看到小树AB
4、后面的大树后面的大树CD. 如图如图1 解：解：如图如图2，假设观察者从左向右走到，假设观察者从左向右走到E点时，点时， 她的眼睛的位置点她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端与两棵树的顶端A，C恰在恰在 一条直线上一条直线上. ABl，CDl，ABCD. AEHCEK EHAH EKCK 81.66.4 5121.610.4 EH EH 即即 解得解得 EH=8（m） 由此可见，当她与左边较低的树的距离小由此可见，当她与左边较低的树的距离小 于于8m时，就不能看到右边较高的树的顶点时，就不能看到右边较高的树的顶点 C 了了. 练习 1.如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别如图所示，一段街道的两边
5、缘所在直线分别 为为AB，PQ，并且，并且ABPQ建筑物的一端建筑物的一端DE 所在的直线所在的直线MNAB于点于点M，交，交PQ于点于点N小小 亮从胜利街的亮从胜利街的A处，沿着处，沿着AB方向前进，小明一方向前进，小明一 直站在点直站在点P的位置等候小亮的位置等候小亮. a.请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视 线，以及此时小亮所在位置（用点线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；标出）； （如图所示）（如图所示） b.已知：已知：MN=20 m，MD=8 m，PN=24 m，求，求a 中的点中的点C到胜利街口的距离到胜利街口的距离CM. 解：解：B
6、APQ, CMDPND. ， CMMD PNND 即即 8 24208 CM 解得解得 CM=16(m). 随堂演练 基础巩固基础巩固 1.已知零件的外径为已知零件的外径为25 cm，要求它的厚度，要求它的厚度x， 需先求出它的内孔直径需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳，现用一个交叉卡钳 （AC和和BD的长相等）去量（如图），若的长相等）去量（如图），若 OAOC=OBOD=3，CD=7 cm. 求此零件的厚度求此零件的厚度. 解：解： ， OAOB OCOD 而而AOB=COD, AOBCOD. =3 ABOA CDOC 又又CD=7 cm，AB=21 cm. 由题意和图易知由题意和
7、图易知 25-2x=21,x=2(cm). 此零件的厚度为此零件的厚度为2 cm. 综合应用综合应用 2.当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发当你乘车沿一平坦的大道向前行驶时，你会发 现：前方那些高一些的建筑物好像现：前方那些高一些的建筑物好像“沉沉”到了位于到了位于 它们前面的矮一些的建筑后面去了如图，已知它们前面的矮一些的建筑后面去了如图，已知 楼高楼高AB=18米，米，CD=9米，米，BD=15米，在米，在N处的车处的车 内小明视点距地面内小明视点距地面2米，此时刚好可以看到楼米，此时刚好可以看到楼AB 的的P处，处，PB恰好为恰好为12米，再向前行驶一段到米，再向前行驶一段到F处，
8、处， 从距离地面从距离地面2米高的视点刚好看不米高的视点刚好看不 见楼见楼AB，那么车子向前行驶的距，那么车子向前行驶的距 离离NF为多少米？为多少米？ 解：解：CDAB, CDOABO,CDQPBQ. ，即，即 ，解得，解得OD=15（米）（米） CDOD ABOB 9 1815 OD OD ，即，即 ，解得，解得QD=45（米）（米） CDQD PBBQ 9 1215 QD QD OQ=DQ-DO=45-15=30（米）（米）. NF=OQ=30（米）（米）. 即车子向前行驶的距离即车子向前行驶的距离NF为为30米米. 课堂小结 解题思路解题思路 根据题意建立相似三角形模型根据题意建立相似
9、三角形模型 证明三角形相似证明三角形相似 得比例线段得比例线段 列方程求值列方程求值 拓展延伸 如图，为测量学校围墙外直立电线杆如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，的高度， 小亮在操场上点小亮在操场上点C处直立高处直立高3 m的竹竿的竹竿CD，然后，然后 退到点退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆与电线杆 顶端顶端B重合；小亮又在点重合；小亮又在点C1处直立高处直立高3 m的竹竿的竹竿 C1D1，然后退到点，然后退到点E1处，此时恰处，此时恰 好看到竹竿顶端好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端与电线杆顶端 B重合小亮的眼睛离地面高度重合小亮的眼睛离地面高度 EF
10、=1.5 m，量得，量得CE=2 m，EC1= 6 m，C1E1=3 m. （1）FDM_，F1D1N_； （2）求电线杆）求电线杆AB的高度的高度. 解：解：(1)依题意，依题意， DCAE， D1C1AE， BAAE DCD1C1BA, FDMFBG，F1D1NF1BG. (2)由（由（1）知）知F1D1NF1BG， 11 1 D NF N BGFG 而而FDMFBG， .易知易知D1N=DM. DMFM BGFG ，而而F1N=C1E1=3 m,FN=C1E=6 m, 1 1 F NFM FGFG MF=CE=2 m, MF1=MF+FN+NF1=11 m, ，GM=16（m）. 32
11、112GMGM 而而 ， 11 1 D NF N BGFG 1.53 27BG BG=13.5（m）.AB=BG+GA=15 m. 电线杆电线杆AB的高度为的高度为15 m. 习题27.2 复复 习习 巩巩 固固 1.有一块三角形的草地，它的一条边长为有一块三角形的草地，它的一条边长为 25m.在图纸上，这条边长为在图纸上，这条边长为5cm，其他两条边的，其他两条边的 长都为长都为4cm，求其他两条边的实际长度，求其他两条边的实际长度. 解：设其他两边长为解：设其他两边长为xm，则，则 x 54 25 x=20（m） 即其他两边的实际长度为即其他两边的实际长度为20m. 2.根据下列条件，判断
12、根据下列条件，判断ABC与与ABC 是否相似，并说明理由：是否相似，并说明理由： （1）AB=10cm，BC=12cm，AC=15cm， AB=150cm，BC=180cm, AC=225cm； 解解:（1） AB A B 101 15015 BC BC 121 18015 AC AC 1 15 ABBCAC A BBCAC ABCABC （2）A=70，B=48，A=70， C=62 （2）C=180-（70+48）=62 A=A=70，C=C=62 ABCABC 3.如图，（如图，（1）判断两个三角形是否相似；）判断两个三角形是否相似； 解：（解：（1）图（）图（1）中）中 ABACBC
13、DEDFEF 2 ABCDEF （2）求）求x和和y的值的值. （2）图（）图（2）中）中 AC CE 603 402 BC CD 393 262 ，又，又ACB=ECD ACBC CECD ACB ECD y=D=98 x3 272 x=40.5. 4.如图，如图，ABC中，中，DEBC，EFAB， 求证求证ADEEFC. 证明：证明：DEBC， AED=C 又又EFAB A=CEF， ADEEFC. 5.如图，如图，ABC中，中，DEFGBC， 找出图中所有的相似三角形找出图中所有的相似三角形. 解：解：ADEAFGABC 6.如果把两条直角边分别为如果把两条直角边分别为30cm，40cm
14、的的 直角三角形按相似比直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直进行缩小，得到的直 角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？角三角形的两条直角边的长和面积各是多少？ 3 5 解：解：30 =18（cm），），40 =24（cm），）， 3 5 3 5 2 2 13 S30 40216(cm ) 25 7.如图，如图，AD是是RtABC斜边上的高斜边上的高. 若若 AB=4cm，BC=10cm，求，求BD的长的长. 解：解： AD是是RtABC斜边上的高，斜边上的高， 有有ADB=CAB=90，B=B， ADBCAB ABDB CBAB 即即 DB=1.6cm 4 104 DB 8.如图，比例规是
15、一种画图工具，它由长度相如图，比例规是一种画图工具，它由长度相 等的两脚等的两脚AD和和BC交叉构成交叉构成.利用它可以把线段按利用它可以把线段按 一定的比例伸长或缩短一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上，如果把比例规的两脚合上， 使螺丝钉固定在刻度使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使的地方（即同时使OA=3OD， OB=3OC），然后张开两脚，使），然后张开两脚，使A,B两个两个 尖端分别在线段尖端分别在线段l的两个端点上，这时的两个端点上，这时CD 与与AB有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？ 综综 合合 运运 用用 解：解：CD= AB， ，即，即 , 1 3 1 3 OD
16、OA ODOC OAOB 而而COD=BOA， CODBOA 1 3 CDOD ABOA 9.如图，利用标杆如图，利用标杆BE测量建筑物的高度测量建筑物的高度. 如果标杆如果标杆BE高高1.2m，测得，测得AB=1.6m， BC=12.4m，楼高，楼高CD是多少？是多少？ 解：解：EBAC，DCAC， EBDC，ABEACD EBAB CDAC 10.5 EB AC CD AB （cm） 10.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同如图，为了测量一栋楼的高度，王青同 学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她 刚好在镜子中看到楼的顶部刚好在镜子中看到楼的顶
17、部. 这时这时LMK等于等于 SMT吗？如果王青身高吗？如果王青身高1.55m，她估计自己眼，她估计自己眼 睛距地面睛距地面1.50m，同时量得，同时量得LM=30cm，MS=2m， 这栋楼有多高？这栋楼有多高？ 解：解：LMK=SMT， LMK SMT， KLLM TSMS 10 KL MS TS LM （m） 11.如图，四边形如图，四边形ABCD是矩形，点是矩形，点F在对在对 角线角线AC上运动。上运动。EFBC，FGCD，四边形，四边形 AEFG和四边形和四边形ABCD已知保持相似吗？证明已知保持相似吗？证明 你的结论你的结论. 解：解：EFBC，AEF ABC， EFAF BCAC
18、同理同理 FGAF CDAC EFFG BCCD 而两个矩形的对应角均为而两个矩形的对应角均为90 四边形四边形AEFG四边形四边形ABCD. 12.如图，平行于如图，平行于BC的直线的直线DE把把ABC分成分成 面积相等的两部分，试确定点面积相等的两部分，试确定点D或或E的位置的位置. 解：解：DEBC， ADE ABC 2 1 () 2 ADE ABC SAD SAB AD= AB 1 2 AD AB 2 2 即即D点在距点在距A点的点的 AB处处. 2 2 综综 合合 运运 用用 13.如图，如图，ABC中，中，CD是边是边AB上的高，上的高， 且且 ，求，求ACB的大小的大小. ADC
19、D CDBD 解：解： ，又，又ADC=CDB=90 ADCD CDBD ADCCDB，A=DCB ACD=B， A+B=BCD+ACD=BCA A+ACB+B=2ACB=180 ACB=90 14.如图，如图，ABC中，中，AB=8，AC=6，BC=9. 如果动点如果动点D以每秒以每秒2个单位长度的速度，从点个单位长度的速度，从点B 出发沿边出发沿边BA向点向点A运动，此时直线运动，此时直线DEBC，交，交 AC于点于点E.记记x秒时，秒时，DE的长度为的长度为y，写出，写出y关于关于x 的函数解析式，并画出它的图象的函数解析式，并画出它的图象. 解：解：DEBC，ADEABC， AD=AB-BD=8-2x DEAD BCAB 82 98 yx ， 99 (82 )9 84 yxx 02x8，0 x4 9 9 4 yx (0 x4) 图像是一条直线图像是一条直线 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业
