1、 第 二 十 八 章 锐 角 三 角 函 数第 二 十 八 章 锐 角 三 角 函 数 28.1 锐角三角函数锐角三角函数 第第 2 2 课时课时 余弦和正切余弦和正切 【知识与技能】 1.理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义； 2.能运用余弦、正切的定义解决问题. 【过程与方法】 逐步培养学生观察、分析、类比、概括的思维能力. 【情感态度】 在探索结论的过程中，体验探索的乐趣，增强数学学习的信心，感受成功的快 乐. 【教学重点】 掌握余弦、正切的概念，并能运用它们解决具体问题. 【教学难点】 灵活运用三角函数的有关定义进行计算. 一、情境导入，初步认识 问题问题 我们知道，在直角三角
2、形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角 形的大小如何，A 的对边与斜边的比都是一个固定值.试问：A 的邻边与 斜边的比、A 的 对 边 与 邻 边 的 比 是 否分别也是一个固定值呢？为什 么？ 【教学说明教学说明】 这种设置问题的方式既是对上节课重要知识的回顾，又为 引入本节知识做好铺垫，同时也暗示着解决问题的方法与上节课利用相似获 得结论的方法完全类似，让学生有法可依.学生可相互交流，教师巡视，听 取学生的看法、见解，随时参与讨论，帮助学生获取 正确认知. 二、思考探究，获取新知 问题问题如图，在Rt ABC 和Rt ABC , 中，C= C = 90A = A . 求证：（1） AC
3、AB = A C A B ；（2） BC AC = B C A C 【教学说明教学说明】这个问题可由学生自主探究，得出结论.教师在学生探讨过 程中，提出问题A 确定后，A 的邻边与斜边的比也确定吗？它的对边与 邻边的比呢？在学生得出结论后，应与学生一道进行总结归纳. 余弦：余弦：在 RtABC 中 ，C=90，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫 做A 的余弦，记作 cosA ，即 cosA = A b c 的对边 斜边 正切：正切：在 RtAABC 中 ，C=90，我 们 把 锐 角 A 的对边与邻边的比 叫做A 的正切，记作 tanA，tanA = A a A b 的对边 的邻边 . 锐角
4、A 的正弦、余弦、正切叫做A 的锐角三三角函数. 三、典例精析，掌握新知 例例 1 在 RtABC 中，C = 900，BC= 6，sinA = 3 5 ， 求 cosA， tanB 的 值. 分析与解分析与解 由正弦函数定义及 sinA = 3 5 知，sinA = BC AB = 3 5 ，又 BC = 6， 故 AB = 10， 所以 AC = 22 ABBC = 8， 从而 cosA = AC AB = 8 10 = 4 5 ，tanB = 84 63 AC BC . 【教学说明】 本题可先让学生独立完成， 教师巡视 指导， 时时关注学生解题时是否能紧扣定义， 即 sinA = BC
5、AB ， cosA = AC AB ， tanB = AC BC 的运用是否得当，有没有出现混淆情形. 例例 2 2 在ABC 中，AB = AC = 20，BC = 30，试求 tanB，sinC 的值. 【分析分析】 由于B 和C 都不是直角三角形中的锐角，而题意却要求 出 tanB，sinC 的值， 这样迫使我们要将B，C 放到直角三角形中去，这时， 过 A 作 AD 丄 BC 于 D 可达到这一目的，问题可逐步解决. 解 过 A 作 AD 丄 BC 于 D. AB = AC，BD = CD = 1 2 BC = 1 2 30 = 15.又 AB = AC = 20，AD = 5 7，因
6、此 tanB = BC AC = 5 77 153 ，sinC = AD5 77 AC204 . 四、运用新知，深化理解 1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 2.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8，tanA=，求 cosB,sinA,tanB 的值. 3.在 RtABC 中，C=90，cosB= （1）求 cosA 和 tanA 的值; （2）若 AB=5，求 BC 和 AC 的长. 4.在 RtABC 中，C=90，AC=b，BC=a,AB=c. （1）sinA 与 cosB 的关系如何？为什么？ （2）sin2A 与 cos2A 的关系如何？说说你的理
7、由（sin2A=(sinA)2). （3）找出 tanA 与 tanB 的关系； （4）由（1） ， （2） ， （3） ，你能发现什么有趣的结论？ 【教学说明】 让学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用 解决问题的能力.其中第 2 题在学生探究交流后，教师应予以评讲，让学生的分 析能力和解决问题能力得到进一步发展.在完成上述题目后，教师引导学生完成 创优作业中本课时的“名师导学”部分. 【答案】 1.（1）sinA = 5 13 ，sinB = 12 13 ,cosA = 12 13 ,cosB = 5 13 ,tanA = 5 12 tanB = 12 5 . (2) sinA
8、= 33 13 1313 , sinB = 22 13 1313 , cosA = 22 13 1313 , cosB = 33 13 1313 , tanA = 3 2 ,tanB = 2 3 . 2.解： tanA = BC AC = 3 4 ，AC = 8. BC = 6，在ABC 中，AB = 22 ACBC = 10. cosB = 63 105 ，tanB = 84 63 . 3.解： （1）由于 cosB = BC1 AB3 ，设 BC = x,则 AB = 3x. AC = 22 ABBC = 22 (3x)2xx2. cosA = AC AB = 2 2 3 ,tanA =
9、BC AC = 2 4 . (2) 若 AB = 5，即 3x = 5, x = 5 3 ,BC = 5 3 ,AC = 10 2 3 . 4.解： （1）sinA = cosB (2)sin 2A + cos2A = 1 (3)tanAtanB = 1 (4) 略 五、师生互动，课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？你还有哪些疑虑，请与同伴交流. 【教学说明】 教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清例题 思路方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可 让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因， 及时查漏补缺. 1.布置作业：从教材 P6870习题 28.1 中选取. 2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分. 本节课的引入可采用探究的形式.首先引导学生认知特殊角直角三角形的余 弦、正切，进而引出锐角三角函数的定义.其次利用一个联系生活实际的问题， 让学生对三角函数有关定义能够灵活运用.最后，应注重让学生用自己的语言归 纳和表达经由探索得出的结论，引导学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好 的反思习惯，掌握高效的学习方法.
