1、第第2课时课时 与方向角、坡角有关的与方向角、坡角有关的 应用问题应用问题 R 九年级下册九年级下册 新课导入新课导入 前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知 道方位角的概念吗？道方位角的概念吗？ 从某点的指北方向线起，依顺时针方向 到目标方向线之间的水平夹角。 提问 今天我们要学习的内容就与方位角有关今天我们要学习的内容就与方位角有关. . 学习目标：学习目标： 1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直能根据方向角画出相应的图形，会用解直 角三角形的知识解决方位问题角三角形的知识解决方位问题. 2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三知道坡度与坡角的含义，能
2、利用解直角三 角形的知识解决与坡度有关的实际问题角形的知识解决与坡度有关的实际问题. 例1 一艘海轮位于灯塔一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东的北偏东 65方向，方向， 距离灯塔距离灯塔 80 n mile 的的 A 处，它沿正南方向航处，它沿正南方向航 行一段时间后，到达位于灯塔行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东的南偏东 34方向上的方向上的 B 处，这时，处，这时， B 处距离灯塔处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？ 方向角类型的解直角三角形问题方向角类型的解直角三角形问题 知识点1 推进新课推进新课 思考：根据题意，你能画出示意图吗？ 提问 结合题目的条件，你能
3、确定结合题目的条件，你能确定 图中哪些线段和角？图中哪些线段和角？ PA= 80，A= 65 ，B= 34 . 要求的问题是什么？你能写要求的问题是什么？你能写 出解答过程吗？出解答过程吗？ PB之间的距离之间的距离. 解：解：如图在如图在 RtAPC 中，中， PC=PA cos（90- - 65） =80cos 25 72.505 在在 RtBPC 中，中，B=34， sin B= ， PB = = 130（n mile） sin PC B 72 505 sin34 . PC PB a.a.将实际问题抽象为数学问题；将实际问题抽象为数学问题；b.b.根根 据问题中的条件，适当选用锐角三角函
4、数据问题中的条件，适当选用锐角三角函数 解直角三角形；解直角三角形；c.c.得到数学问题的答案；得到数学问题的答案； d.d.得到实际问题的答案得到实际问题的答案. . 你能小结出利用解直角三角形的知识解你能小结出利用解直角三角形的知识解 决实际问题的一般思路吗？决实际问题的一般思路吗？ 问问 练习练习 1.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它周围，它周围8n mile内有暗礁内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛 A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12n mile到达到达D点，点， 这时测得小岛这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方
5、向上，如果渔方向上，如果渔 船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危 险？险？ 60 北 南 西 东 B D A 30 E 解：解：过过A点作点作AEBD于于E点点. 易证易证A=ABD=30， AD=BD=12 n mile. AE=AD sin60 3 =6 3n mile. 2 =12 6 38 ，没有触礁危险没有触礁危险. . 坡度类型的解直角三角形问题坡度类型的解直角三角形问题 知识点2 L h 问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡 度究竟是指什么呢？度究竟是指什么呢？ 提问 你能根据图示给出坡度的定义吗？
6、 坡面的垂直高度坡面的垂直高度h和水平宽度和水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度 （或叫坡比）用字母表示为（或叫坡比）用字母表示为 . h i L 坡面与水平面的夹角记作坡面与水平面的夹角记作（叫坡角）则（叫坡角）则 tan= . h i L 1 2 练习练习 2.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD， AF=DE=6m，斜面坡度，斜面坡度 i =1:1.5 是指坡面的铅是指坡面的铅 直高度直高度 AF 与水平宽度与水平宽度 BF 的比，斜面坡度的比，斜面坡度 i =1:3 是指是指DE 与与CE 的比，根据图中数据，求：的比，根据图中数据，求： （1）坡角）坡角 和和 的
7、度数；的度数； （2）斜坡）斜坡 AB 的长的长(结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位) 解解 ：（1）tan1:1.5，tan1:3， 利用计算器可求得利用计算器可求得33.7，18.4； （2）tan1:1.5，又，又AF6m， BF9m，由勾股定理得，由勾股定理得 AB10.8m. 1. 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆 家的北偏西家的北偏西40，外婆家到学校与小明家到学，外婆家到学校与小明家到学 校的距离相等，则学校在小明家的（校的距离相等，则学校在小明家的（ ） A.南偏东南偏东50 B.南偏东南偏东40 C.北偏东北偏东50 D.北偏
8、东北偏东40 D 随堂演练随堂演练 基础巩固基础巩固 2.如图，某村准备在坡度为如图，某村准备在坡度为 i=1:1.5的斜坡上栽树，要求的斜坡上栽树，要求 相邻两棵树之间的水平距离相邻两棵树之间的水平距离 为为5 m，则这两棵树在坡面，则这两棵树在坡面 上的距离上的距离AB为为 m. （结果保留根号）（结果保留根号） 5 13 3 3.为方便行人横过马路，打算修建一座高为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥的过街天桥. .已知天桥的斜面坡度为已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计，计 算斜坡算斜坡AB的长度的长度(结果取整数结果取整数). . 解：解： ，AC=5， BC=1.55=
9、7.5. 1 1 5 AC i BC. 22 81 259(m).ABACBC. 综合应用综合应用 4.某型号飞机的机翼形状如图所示某型号飞机的机翼形状如图所示. .根据图中数据根据图中数据 计算计算AC,BD和和AB的长度的长度(结果保留小数点后两位结果保留小数点后两位). . 解：如图所示，在解：如图所示，在RtBDE中，中， BE=5.00，DBE=30, DE=BE tan30= , 5 3 3 10 35 77 m cos303 BE BD. （） 在在RtACF中，中，CF=BE=5.00，FCA=45， AF=CF=5.00， AC= CF=5 7.07(m). 22 AB=BF
10、-AF=DE+CD-AF = +3.40-5.001.29(m). 5 3 3 课堂小结课堂小结 方向角 坡度 从某点的指北方向线起，依顺时针方向从某点的指北方向线起，依顺时针方向 到目标方向线之间的到目标方向线之间的水平夹角水平夹角. . h i L 坡面的垂直高度坡面的垂直高度h和水平宽度和水平宽度L的比叫坡的比叫坡 度（或叫坡比）用字母表示为度（或叫坡比）用字母表示为 . 拓展延伸 海中有一小岛海中有一小岛P，在以，在以P为圆心、半径为为圆心、半径为16 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘轮船自西向东航行，的圆形海域内有暗礁，一艘轮船自西向东航行， 它在它在A处时测得小岛处时测得小岛P
11、位于北偏东位于北偏东60方向上，且方向上，且A， P之间的距离为之间的距离为32 n mile. .若轮船继续向正东方向航若轮船继续向正东方向航 行，轮船有无触礁危险行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明请通过计算加以说明. .如果如果 有危险，轮船自有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度的方处开始至少沿南偏东多少度的方 向航行，能安全通过这一海域向航行，能安全通过这一海域? 2 解：如图，解：如图，PAB=30，AP=32. PB= AP=16（n mile）. 1 2 PB16 n mile， 轮船有触礁危险轮船有触礁危险. 2 又又AP=32，PC=16 ， PAC=45, =15.
12、 假设轮船沿东偏南假设轮船沿东偏南恰好能安全通过，此时航线恰好能安全通过，此时航线 AC与与P相切，即相切，即PCAC. 2 轮船自轮船自A处开始至少沿南偏处开始至少沿南偏 东东75方向航行方向航行,才能安全通才能安全通 过这一海域过这一海域. 习题28.2 复习巩固复习巩固 1. 在在RtABC中，中，C90，根据下列条件，根据下列条件 解直角三角形；解直角三角形； （1）c=8， ； （2）b=7， ; （3）a=5，b=12. 30A 15A 6044 3Bab， 751 887 25Ba.c.， 1322 37 1267 22 48cAB.， 2. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的
13、如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的 跨度跨度BC=10m，B36，求中柱，求中柱AD（D为为 底边中点）和上弦底边中点）和上弦AB的长？（结果保留小数的长？（结果保留小数 点后两位）点后两位） 解：解：AB=AC，D为为BC的中点，的中点， ADBC， tan 5 ADAD B BD ， AD=5tan36 3.6 (m). 5 cos6 2 m coscos36 BDBD BAB. ABB Q，=（=（）. . 3. 如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中A处探测到目标处探测到目标C，此，此 时飞行高度时飞行高度AC1200m，从飞机上看地平面，从飞机上看地平面 指挥台指挥台B的俯角的俯角1
14、631。求飞机。求飞机A到指挥到指挥 台台B的距离？（结果保留整数）的距离？（结果保留整数） 解：由题意可知，在解：由题意可知，在RtABC中，中， sin16 31 AC BB AB ， 1200 4221 m sinsin16 31 AC AB B （）. .所所以以 因此飞机因此飞机A到指挥台到指挥台B的距离约为的距离约为4221m. 4. 从高出海平面从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的的灯塔处收到一艘帆船的 求助信号，从灯塔看帆船的俯角为求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21，帆船，帆船 距灯塔有多远？（结果保留整数）距灯塔有多远？（结果保留整数） 解：如图所示，由题意可得解：如图所
15、示，由题意可得 B=21，AC=55m. 55 tan143 m tantan21 ACAC BBC BCB Q ，（ ）. 因此帆船距灯塔约因此帆船距灯塔约143m. 5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树 间的水平距离）是间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角，测得斜坡的倾斜角 为为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。 解：由题意可得：解：由题意可得： 5 5 cos24 5 5 6 0 m cos24 . . . Q， （）. . 坡坡面面距距离离 坡坡面面距距离离 答：斜坡上相邻两树间的距离约为答：斜坡上
16、相邻两树间的距离约为6.0m. 综合运用综合运用 6.在在RtABC中，中，C=90. （1）已知）已知A，c，写出解，写出解RtABC的过程；的过程； （2）已知）已知A，a ，写出解，写出解RtABC的过程；的过程； （3）已知）已知a，c，写出解，写出解RtABC的过程；的过程； (1)B=180-90-A=90-A， a=c sinA，b=c cosA； (2)90 tansin aa BA bc AA ， 22 (3)bca， 由由sinA = ，求出，求出A，B=90A. a c 7.如图如图，一座金字塔被发现时一座金字塔被发现时，顶部已荡然无顶部已荡然无 存存，但底部未曾受损但底
17、部未曾受损. .已知金字塔的下底面是已知金字塔的下底面是 一个边长为一个边长为130m的正方形的正方形，且每一个侧面与且每一个侧面与 底面成底面成65角角，这座金字塔原来有多高这座金字塔原来有多高（结果结果 取整数取整数？） 解：设这座金字塔原来高解：设这座金字塔原来高x m， 由题意得由题意得 tan65 1 130 2 x ， x=65tan65139. 答：这座金字塔原来高约答：这座金字塔原来高约139m. 8.如图，一枚运载火箭从地面如图，一枚运载火箭从地面L处发射处发射.当火箭到当火箭到 达达A点时，从位于地面点时，从位于地面R处的雷达站测得处的雷达站测得AR的距的距 离是离是6km
18、，仰角为，仰角为43；1 s后火箭到达后火箭到达B点，此点，此 时测得仰角为时测得仰角为45.54，这枚火箭从，这枚火箭从A到到B的平均的平均 速度是多少（结果取小数点后两位）？速度是多少（结果取小数点后两位）？ 解：在解：在RtALR中，中， AL=AR sinARL=6sin43 4.092 (km), LR=AR cosARL=6cos43 4.388 (km). 在在RtBRL中，中，BL=RL tanBRL4.388 tan45.544.472 (km)， 4 4724 092 =0.38(km/s). 11 BLAL. v 9.为方便行人横过马路，打算修建一座高为方便行人横过马路，
19、打算修建一座高5 m 的过街天桥的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计，计 算斜坡算斜坡AB的长度的长度(结果取整数结果取整数). 解：解： ，AC=5， BC=1.55=7.5. 1 1 5 AC i BC. 22 81 259(m).ABACBC. 10. 海中有一小岛海中有一小岛P，在以，在以P为圆心、半径为为圆心、半径为16 n mile的圆形海域内有暗礁的圆形海域内有暗礁. .一轮船自西向东航行，一轮船自西向东航行， 它在它在A处时测得小岛处时测得小岛P位于北偏东位于北偏东60方向上，且方向上，且A， P之间的距离为之间的距离为32 n mile. .若轮
20、船继续向正东方向航若轮船继续向正东方向航 行，轮船有无触礁危险行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明请通过计算加以说明. .如果如果 有危险，轮船自有危险，轮船自A处开始至少沿南偏东多少度的方处开始至少沿南偏东多少度的方 向航行，能安全通过这一海域向航行，能安全通过这一海域? 2 综合运用综合运用 解：如图，解：如图，PAB=30，AP=32. PB= AP=16（n mile）. 1 2 PB16 n mile， 轮船有触礁危险轮船有触礁危险. 2 又又AP=32，PC=16 ， PAC=45, =15. 假设轮船沿东偏南假设轮船沿东偏南恰好能安全通过，此时航线恰好能安全通过，此时航线 A
21、C与与P相切，即相切，即PCAC. 2 轮船自轮船自A处开始至少沿南偏处开始至少沿南偏 东东75方向航行方向航行, ,才能安全通才能安全通 过这一海域过这一海域. . 11.根据图中标出的百慕大三角的位置，根据图中标出的百慕大三角的位置， 计算百慕大三角的面积（结果取整数）计算百慕大三角的面积（结果取整数）. . 解：如图，过解：如图，过B作直线分别垂直作直线分别垂直 AD于于D，CE于于E，在，在RtABD中，中， BAD=62，AB=1700km. sincos BDAD BADBAD ABAB Q， BD=AB sinBAD=1700sin62， AD=AB cosBAD=1700cos
22、62. 在在RtBCE中，中，BCE=54，BC=2720km, sincos BECE BCEBCE BCBC Q， BE=BC sinBCE=2720sin54. CE=BC cosBCE=2720cos54. S ABC=S梯形梯形ADEC-SABD-SBCE 111 222 ADECDBBEAD BDBE CEggg 111 2720 cos541700 222 EC BDAD BEgg 1 sin621700 cos622700 sin54 2 2 2078012 km （）. . 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 课后作业课后作业
