1、1/4 2/4 3/4 4/4 第 1 页 共 4 页 20202021 年佛年佛山市普通山市普通高中高高中高三教学质三教学质量检测量检测（二） （二） 数 数 学 学 参考答案与评分标准参考答案与评分标准 一、一、选择题选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 题号12345678 答案DABDCDCB 二、二、选择题:选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得 5 分,有选错的得0 分,部分选对的得 2 分. 题号9101112 答案BDBCACABD 三、三、填空题:填空题
2、:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20分. 13.4 3 14. ( )1,1 15.616. 1 2, 1 ( ,1 2 四、四、解答题:解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析解析】(1)由2 n nn ab = 得 22 45ab =+= , 44 169ab =+= ,2 分 设 n a的公差为d,则 42 2 2 aa d = , 12 3aad = 3 分 则 n a的通项公式为 ( ) ( ) 1 131221 n aandnn =+=+=+ .4 分 因为2 n nn ba = , 5 分 则 ( ) ( )
3、( ) ( ) 221 12 212 321 222222 21 2 n nn nn n Saaannn + + =+=+ ? 6 分 (2)设 n b的公比为q,当2q = 时, n a是等比数列,当2q 时, n a不是等比数列. 7 分 下面进行说明: 解法一解法一: :由题意知2 n nn ab =+ , 11 1 111 1 1 1 2( ) 22 2 22 1( ) 2 n nnn nn nnn n nn q b abbq b q abbq q + + + + + + = + + ,9 分 设 1 2 n n a q a + = ,则 1 2 1 2( ) 2 1( ) 2 n n
4、 q b q b q q + = + ,整理得 2 12 ( ) (1)2 2 n qq bq q = ,则 2 2 10 20 q q q = = ,解得 2 2 2 q q = = , 因此当2q = 时, n a是等比数列,公比也是2.12 分 解法二解法二: :由题意知2 n nn ab =+ ,由 2 12nnn aa a + = 得 122 12 (2)(2)(2) nnn nnn bbb + + +=+ ,9 分 因为 2 12nnn bb b + = 整理得 22 12 222 nnn nnn bbb + + =+ ,则 2 44qq =+ ,解得2q = ,11 分 因此当2
5、q = 时, n a是等比数列. 12 分 解法三解法三: :若 n a是等比数列,则 2 213 aa a = ,即( ) ( )( ) 2 213 428bbb +=+ ,8 分 第 2 页 共 4 页 O z y x P ED C B 即 2 221 313 8168216bbbbbb +=+ ,即 213 44bbb =+ ,即 2 111 44bqbbq =+ ,解得2q = .10 分 当2q = 时, ( ) 11 11 2222 nnn n abb =+=+ , 因为 1 0b ,所以 1 2 n n a a + = (常数),故 n a是等比数列. 12 分 18.【解析解析
6、】(1)取DE中点O,连结,OPOC,CE,由翻折不变性可知OPDE ,OCDE .2 分 又OPOCO = ,所以DE 平面OPC. 3分 又PC 平面OPC,所以DEPC .4 分 (2)不妨设2CD = ,则2PD = ,2OPOC = , 又PCPD = ,所以 22 OPOC += 2 PC, 所以OPOC .5 分 结合(1)可知,OP OC DE两两垂直, 以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示.6 分 则 ( ) 2,0,0C, ( ) 0,2,0D, ( ) 0,2,0E , ( ) 2, 2 2,0B , ( ) 0,0,2P, 7 分 所以 ( ) 0,2, 2
7、EP = ? ? , ( ) 2,2 2,2BP = ? ? , ( ) 2,0,2CP = ? ? , ( ) 0,2, 2DP = ? ? , 8 分 设平面PBE的法向量为 ( ) 1 , ,x y z =n,则 1 1 220 22 220 EPyz BPxyz =+= = += ? ? ? ? n n ,解得 xy zy = = , 令1y = ,得 ( ) 1 1,1, 1 =n.9 分 设平面PCD的法向量为 ( ) 2 , ,x y z =n,则 2 2 220 220 CPxz DPyz = += = += ? ? ? ? n n ,解得 xz yz = = , 令1z =
8、,得 ( ) 2 1,1,1 =n. 10分 所以 12 12 12 11 cos, 333 = n n n n n n . 11 分 所以平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值为2 2 3 . 12 分 19.【解析解析】选择条件选择条件： 2222 22222222 cos2cos21 2sin1 2sin11sinsin 2() ABABAB abababab = 3 分 由正弦定理sin sin ab AB = 可得 22 22 sinsinAB ab = ,所以 2222 cos2cos2111 2 AB abab = , 6 分 解得2b = ,因此 1136 sin12 222
9、4 ABC SabC = = .10 分 选择条件选择条件： 22222 13 cos 224 acbcb BA BCcaBca ac + = ? ? ? ? ,则 22 1 2 cb = 3 分 再由 22222 11 cos 222 abcbc C abb + = ，可得 22 1 bcb += 6 分 第 3 页 共 4 页 联立,解得 1 2 b = ，所以 11133 sin1 22228 ABC SabC = = .10 分 选择条件选择条件： 132 sinsin()sin(sincos)sin() 32232 AAAAAA +=+= , 3 分 则 7 12 A = , 12
10、B = ,由正弦定理sin sin ab AB = 可得 1 6262 44 b = + ,解得23b = 7 分 所以 1132 33 sin1 (23) 2224 ABC SabC = = .10 分 20.【解析解析】(1)当三顶点为长轴两顶点和短轴一顶点时,此时边长分别为2 , ,a a a,不可能为正三角形. 1 分 所以正三角形的三顶点只能是短轴两顶点和长轴一顶点,依题意得1b = , 3 23 2 ab = , 3 分 故椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y += . 4 分 (2)易得椭圆C的左焦点F的坐标为 ( ) 2,0 . 5 分 显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的
11、方程为2xmy = . 6 分 联立 22 2 33 xmy xy = += ,消去x整理得( ) 22 32 210mymy + = ,设 ( ) 11 ,A x y, ( ) 22 ,B xy,7 分 则 ( ) 2 1210m =+ , 12 2 2 2 3 m yy m += + , 12 2 1 3 y y m = + . 8 分 ( ) 2 222 1212 2 1 10101 3 m AFBFmymymy y m + =+=+= + .9 分 直线OP的方程为xmy = ,联立 22 33 xmy xy = += ,消去x整理得( ) 22 330my += 10分 ( ) (
12、) 2 2 22 2 3 1 1 3 P m OPmy m + =+= + .11 分 所以 21 3 AFBFOP = ,即存在常数 1 3 = ,使得 2 AFBFOP = .12 分 21.【解析解析】(1)不同的电路子模块共有 3 3 6A = 种；2 分 (2)6种子模块正常工作概率的只有下面三种: 用A、B、C分别表示事件“1号位接入A、B、C型元件时,子模块能正常工作”, 则 ( ) ( ) ( )0.9110.71 0.80.9 0.940.846P A = ,3 分 ( ) ( ) ( )0.811 0.71 0.90.8 0.970.776P B = ,4分 ( ) ( )
13、 ( )0.711 0.810.90.7 0.980.686P C = , 5 分 有 ( ) ( ) ( )P AP BP C , 第 4 页 共 4 页 所以当1号位接入A型元件时,子模块正常工作的概率最大,为0.846.6 分 (3)子模块正常工作的概率越大,期望利润会越高,应把A型元件接入1号位. 7 分 方方法法一一:设每套子模块的利润为X,若能正常工作,则15020 10120X = 元, 若不能正常工作,则20 10450480X = = 元, 8 分 所以X的分布列为 X120480 P0.8460.154 10 分 所以 ( )120 0.846480 0.15427.6E
14、X = 元, 11 分 即生产1000套子模块的最大期望利润为100027.627600 = 元.12 分 方方法法二二：设1000套子模块中能正常工作的套数为X,利润为Y, 8 分 则 ( )1000,0.846XB , 9 分 且 ( ) ( )150450 100020 10005321000600480000YXXX =+= ,10 分 所以 ( )1000 0.846846E X = , ( ) ( )60048000027600E YE X = . 即生产1000套子模块的最大期望利润为100027.627600 = 元.12 分 22.【解析解析】(1) ( )ecos x fx
15、xa =+ , 1 分 依题意,0是函数 ( )fx的一个极值点,故 ( ) 0 0ecos00fa =+= ,解得2a = .3 分 当2a = 时, ( )esin2 x fxxx =+ , ( )ecos2 x fxx =+ , 令 ( )ecos2 x g xx =+ ,则 ( )esin x gxx = , 当0 x 时, ( )esin0 x gxx = , ( )g x在( )0,+ 上是增函数, ( ) ( )00g xg = ,故 ( )0fx , 当0 x ,sin0 x ,所以 ( )0gx , ( )g x在( ),0 上的增函数, ( ) ( )00g xg = ,
16、故 ( )0fx + . 综上所述,满足条件的实数2a = . 6 分 (2)当22xa + 时, ( ) 22 ecose1 xa fxxaa + =+ , 又0 x 时,e1 x x + ,所以 22 e23 a a + + , 所以 22 e123 120 a aaaa + + =+ ,即 ( )0fx , 7 分 故当22xa + 时, ( ) ( )22fxfa + , 8 分 因为 ( )sin 221a + ,所以 ( ) ( ) ( ) 22 22esin 2222 a faaaa + +=+ 222 e122 a aa + 9分 令 ( ) ( ) 222222 e1226e227 aa h aaaaa + = = , 10 分 则 ( ) 2 0e70h = ,注意到 22 e23 a a + + , 所以 ( ) ( ) 22 2e422 234240 a h aaaa + =+= , 即 ( )h a是( )0,+ 上的增函数,所以 ( ) ( ) 2 0e70h ah = , 所以 ( )226fa+ ,故当22xa + 时, ( )6fx . 12 分
