1、 高三数学 第 1 页 共 11 页 金山区金山区 2020-2021 学年第二学期质量监控学年第二学期质量监控 高三数学试卷高三数学试卷 (满分：满分：150 分，完卷时间：分，完卷时间：120 分钟分钟) （答题请写在答题纸上）（答题请写在答题纸上） 一、填空题一、填空题（本大题共有本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，分，第第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1已知集合1,2,3,4A，集合2,3,Bm，若2,3,4AB，则m= z 2若关于, x y的二
2、元一次方程组的增广矩阵为 204 012 ，则xy= z 3不等式 x x 1 0 的解集为 z 4若直线l的参数方程为 2 24 xt yt （t 为参数，tR） ，则l在y轴上的截距为 z 5若i i i 2 b a （a、bR，i 为虚数单位） ，则 a+b = z 6某圆锥的底面积为4，侧面积为8，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 7 若正方形 ABCD 的边长为 1， 记ABa，BCb，ACc， 则23abc z 8一个不透明的袋中装有 5 个白球、4 个红球（9 个球除颜色外其余完全相同） ，经充 分混合后，从袋中随机摸出 3 个球，则摸出的 3 个球中至少有一个是白球的概率为
3、_（结果用最简分数表示） 9若首项为 1、公比为 1 3 的无穷等比数列的各项和为S， n S表示该数列的前n项和， 则 12 lim() n n SSSnS 的值为 z 10 函数1) 3(logxy a （a1 且 a1） 的图像恒过点 A， 若点 A 在直线 mx+ny+1=0， 其中 m0，n0，则 nm 21 的最小值为 高三数学 第 2 页 共 11 页 11若函数 20212021 ( )(1 sin )(1 sin )f xxx，其中 6 x 3 2 ，则( )f x的最大值 为 z 12已知向量a与b的夹角为 60，且2|2|ab，若bac，其中 22 ，则向量a在c上的投影
4、的取值范围为 z 二、 选择题 （本大题共二、 选择题 （本大题共 4 小题， 满分小题， 满分 20 分， 每小题分， 每小题 5 分） 每题有且只有一个正确选项 考分） 每题有且只有一个正确选项 考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13函数xy2cos2（xR）的最小正周期为( ) (A) 2 (B) (C)2 (D)4 14下列命题为真命题的是( ) (A) 若直线 l 与平面 上的两条直线垂直，则直线 l 与平面 垂直 (B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行 (C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则
5、这两个平面垂直 (D) 若直线 l 上的不同两点到平面 的距离相等，则直线 l 与平面 平行 15设 A、B 为圆 22 1xy上的两动点，且AOB=120，P 为直线 l：3x 4y 15=0 上一动点，则|PAPB的最小值为( ) (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 16已知定义在实数集R上的函数( )f x满足 2 1 (1)( )( ) 2 f xf xfx，则 (0)(2021)ff的最大值为( ) (A) 1 2 (B) 3 2 (C) 2 1 2 (D) 2 1+ 2 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共有有 5 题，满题，满分分 76 分）解答下列各题必须在答题
6、纸相应编号的规分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 高三数学 第 3 页 共 11 页 17 (本题满分本题满分 14 分， 第分， 第 1 小题满分小题满分 5 分， 第分， 第 2 小题满分小题满分 9 分分) 随着生活水平的不断提高， 人们更加关注健康， 重视锻炼. 通过“小步道”， 走出“大健康”， 健康步道成为引领健康生 活的一道亮丽风景线. 如图，A- B- C- A 为某区的一条健康 步道， AB、 AC 为线段，BC是以 BC 为直径的半圆， AB=32km， AC=4km， 6 BAC (1) 求BC的长度； (2) 为满足市
7、民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步 道 A- D- C（B，D 在 AC 两侧） ，其中 AD，CD 为线段. 若 3 ADC，求新建的健 康步道 A- D- C 的路程最多可比原有健康步道 A- B- C 的路程增加多少长度？（精确 到0.01km） 18(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 在长方体 1111 ABCDABC D中，2ABBC，过 1 A、 1 C、 B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 111 ABCDAC D，且这个几何体的体积为10 (1) 求棱 1
8、 A A的长； (2) 求点D到平面 11 ABC的距离 19(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 已知抛物线 2 :8yx的焦点为F， 半径为 1 的圆M的圆心位 于x轴的正半轴上，过圆心M的动直线l与抛物线交于A、B两点， 如图所示 AB C D 1 A 1 C1 D 高三数学 第 4 页 共 11 页 (1) 若圆M经过抛物线的焦点F，且圆心位于焦点的右侧，求圆M的方程； (2) 是否存在定点M，使得 11 |MAMB 为定值，若存在，试求出该定点M的 坐标，若不存在，则说明理由 20(本题满分本题满分 16 分
9、，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分分) 在数列 n a中，已知 1 2a ， 11 2 nnnn aaaa ( * nN) (1) 证明：数列 1 1 n a 为等比数列； (2) 记 1 2 nn n n a a b ，数列 n b的前n项和为 n S. 求使得1.999 n S 的整数n的最 小值； (3) 是否存在正整数m、n、k，且mnk，使得 m a、 n a、 k a成等差数列？ 若存在，求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由 21(本题满分本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4
10、 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分，第分，第 3 小小题满分题满分 9 分分) 设m为给定的实常数，若函数( )yf x在其定义域内存在实数 0 x，使得 00 ()()( )f xmf xf m成立，则称函数( )f x为“( )G m函数” (1) 若函数( )2xf x 为“(2)G函数”，求实数 0 x的值； (2) 若函数 2 ( )lg 1 a f x x 为“(1)G函数”，求实数a的取值范围； (3) 已知( )f xxb(bR)为“(0)G函数”，设( )|4|g xx x.若对任意的 12 ,0, x xt，当 12 xx时，都有 2 21 1 ( )() 2 (
11、 )() g xg x f xf x 成立，求实数t的最大值 高三数学 第 5 页 共 11 页 金山区金山区 2020-2021 学年第学年第二二学期期学期期中中考试高三数学试卷评分参考答案考试高三数学试卷评分参考答案 (满分：满分：150 分，完卷时间：分，完卷时间：120 分钟分钟) 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，分，第第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 14； 20； 3x|0 x1 或) 1, 0； 42； 5
12、1； 6 3 ； 75； 8 21 20 ； 9 4 3 ； 108； 1122021； 12 1, 2 1 ( 二、 选择题 （本大题共二、 选择题 （本大题共 4 小题， 满分小题， 满分 20 分， 每小题分， 每小题 5 分） 每题有且只有一个正确选项 考分） 每题有且只有一个正确选项 考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13B； 14B； 15C； 16D 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区
13、域内写出必要的步骤定区域内写出必要的步骤 17(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 5 分，第分，第 2 小题满分小题满分 9 分分) 解：(1) 联结BC，在ABC 中，由余弦定理可得， 22 3 2cos1612242 32 2 BCACABAC ABBAC ， 3 分 所以BC=12 2 1 ，即BC的长度为 (km)；5 分 (2) 记 AD=a，CD=b，则在ACD 中，由余弦定理可得： 16 3 cos2 22 abba，即 22 16abab，7 分 从而 2 2 1()1663 2 3abab ab ， 高三数学 第 6 页 共 11 页 所以 2 1
14、()16 4 ab，8ab，当且仅当4ab时，等号成 立；11 分 新建健康步道AD C的最长路程为 8(km)，又 39. 1328 (km),13 分 故新建的健康步道 A-D-C 的路程最多可比原有健康步道 A-B-C 的路程增加 1.39(km)14 分 18(本题满分本题满分14分，第分，第1小题满分小题满分6分，第分，第2小题满分小题满分8分分) 解：(1)设 1 A Ah，由题设 1 111 1 111 1 1 10 ABCD AC DABCD A BC DB A BC VVV ，2分 得 1 1 1 1 10 3 ABCDA B C ShSh ， 即 11 2 22 210 3
15、2 hh ， 解 得 3h 5分 故 1 A A的长为 3；6 分 (2)以点D为坐标原点，射线DA、DC、 1 DD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立 空间直角坐标系 由已知及（1） ，可知(0,0,0)D， 1(2,0,3) A，(2,2,0)B， 1(0,2,3) C，9分 设( , , )nu v w是平面 11 ABC的法向量，则 1 nAB， 1 nC B， 其中 1 (0,2, 3)AB ， 1 (2,0, 3)C B ，则由 1 1 0, 0, n AB n C B 即 230, 230. vw uw 解得 3 2 vw， 3 2 uw， 取2w ， 得 平 面 11 ABC
16、的 一 个 法 向 量(3,3,2)n ， 且 |2 2n ；12分 高三数学 第 7 页 共 11 页 在平面A1BC1上取点C1，可得向量 1 (0, 2,3)DC ，于是点D到平面 11 ABC的距离 1 |6 22 11| n DC d n 14分 注：若利用体积等积法来解，则相应给分 19(本题满分本题满分 14 分，第分，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 解：(1) 抛物线的焦点为(2,0)F，则圆心M为 (3,0)，4 分 故圆M的方程为 22 (3)1xy，6 分 (2) 假设存在定点( ,0)M m(0m)满足题意，设直线: l x
17、mty， 联立 2 8x xmty y ，消去x，得 2 880ytym，9 分 设 11 ( ,)A x y、 22 (,)D xy，则 12 12 8 8 yyt y ym ， 10 分 222222 112212 2 2 1212 1212 2222 121212 111111 | ()()1|1| ()4|6432 . 1|1|1|1 8 MAMB xmyxmytyty yyy yyyyytm tyyty yty ytm 高三数学 第 8 页 共 11 页 当 且 仅 当6 43 2m， 即2m时 ， 111 |2M AM B 为 定 值，13 分 故存在(2,0)M，使得 11 |M
18、AMB 为定 值14 分 20(本题满本题满分分 16 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分分) (1) 证明：由 11 2 nnnn aaaa ，得 1 2 1 n n n a a a ，从而 1 1111 222 n nnn a aaa ， 1 11111 11 222 nnn aaa ， 又0 2 1 1 1 1 a ，故数列 1 1 n a 为等比数 列； 4 分 (2) 解：由(1)得， 1 11 11 1 2 22 n n n a ，故 2 21 n n n a ， 所以 1 1 11 222 2
19、(21)(21)2121 n nn n nnnnn a a b ， 6 分 122311 2222222 2 21212121212121 n nnn S ， 令 1 2 21.999 21 n ，则 1 22001 n ， 解 得 2 l o g 2 0 0 119 . 9 7n ， 故 使 得1 . 9 9 9 n S 的 整 数n的 最 小 值 为 10；9 分 高三数学 第 9 页 共 11 页 (3) 解：假设存在正整数m、n、k满足题意，则2 nmk aaa， 即 2 222 212121 nmk nmk ， 即 1 2(21)(21)(21)(21)2(21)(21) n mmk
20、nkk mnm (1)12 分 由mnk得，2km，21nm ； 所以(21)(21) nk 为奇数，而 1 2(21)(21) n mmk 、2(21)(21) k mnm 均为 偶数，故(1)式不能成立； 即 不 存 在 正 整 数 m 、 n 、 k ， 且 mnk ， 使 得 m a、 n a、 k a成 等 差 数 列.16 分 21(本本题满分题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分，第分，第 3 小题满分小题满分 9 分分) 解：(1) 由( )2xf x 为“(2)G函数”，得 00 (2)()(2)f xf xf 即 0
21、0 22 222 xx ，解得 02 4 log 3 x ，故实数 0 x的值为 2 4 l o g 3 ；4 分 (2) 由 函 数 2 ( )l g 1 a f x x 为 “G(1) 函 数 ” 可 知 ， 存 在 实 数 0 x， 使 得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)， 22 00 lglglg (1)112 aaa xx ，即 2 22 00 (1)12(1) aa xx ；6 分 由 2 0 1 a x ，得0a, , 整理得 2 00 (2)2220axaxa. . 当2a时， 0 1 2 x ，符合题意； 当2a时，由 2 44(2)(22)0aaa ，即 2 640a
22、a， 高三数学 第 10 页 共 11 页 解得3535a且 2a；8 分 综上，实数a的取值范围是 35,35；9 分 (3) 由( )f xxb为“(0)G函数”，得 00 (0)()(0)f xf xf， 即(0)0f，从而0b， ( )f xx，10 分 不妨设 12 xx，则由 2 21 1 ()() 2 ()() g xg x f xf x ，即 21 12 ()() 2 g xg x xx ，12 分 得 1122 ( )2()2g xxg xx， 令( )( )2F xg xx，则( )F x在区间0,t上单调递 增，14 分 又又 2 2 4 2 6 , ( )|4| , 2 4 xx xx x F xx x xx , , 16 分 如图，可知01t ，故实数t的最大值为 高三数学 第 11 页 共 11 页 1. .18 分
