1、高三数学 共 4 页 第 1 页 崇明区崇明区 20202 21 1 届第二次高考模拟考试试卷届第二次高考模拟考试试卷 数数 学学 考生注意： 1 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 2 本试卷分设试卷和答题纸试卷包括试题与答题要求作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分 3 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，其中分，其中 1 16 6 题每题题每题 4 4 分，分，7 71212 题每题题每题
2、5 5 分分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 】 1已知集合 | 12Axx ， 1, 0,1B ，则AB 2复数（ 是虚数单位）在复平面内所对应的点在第 象限 3已知圆锥的底面面积为，母线长为 2，则该圆锥的高等于 4直线 1 32 xt yt （t为参数）的一个方向向量可以是 5已知lim(1)0 n n x ，则实数x的取值范围是 6已知实数xy，满足条件 |1 |1 x y , ,则 2zxy的最大值等于 7设( )lgf xx，若(1)( )0faf a，则实数a的取值范围是 8已知 2 ( 2 )nx x 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 64，则该展开式中常
3、数项的值等 于 9已知等差数列 n x的公差0d ，随机变量等可能地取值 1239 ,x x xx，则 方差D 10某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验活动 结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的 概率等于 （用数字作答） 11设 1( ) yfx 是函数( )sin 288 x f xx ，, 2 2 x 的反函数，则函数 1 ( )( )yf xfx 的最小值等于 12在平面直角坐标系xOy中，过点( 3, )Pa作圆 22 20 xyx的两条切线，切点分别为 11 ( ,)M xy， 22
4、(,)N xy 若 21212121 ()()()(2 )0 xxxxyyyy， 则 实 数a的 值 等 于 i(1 i)z i 高三数学 共 4 页 第 2 页 二、选择题二、选择题（本大题共有（本大题共有 4 4 题，满分题，满分 2020 分）分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分， 否则一律得零分 】 13关于x、y的二元一次方程组 341 310 xy xy 的增广矩阵为 A 341 1310 B 341 1310 C 341 13 10 D 341 1310 14下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是 A
5、 3 yx Byx C lgyx Dsinyx 15数列 n a满足 1=2 a，则“对任意的p，r N，都有 p rpr aa a ”是“ n a为等比数列”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分非必要条件 16已知以下三个陈述句： p：存在aR且0a ，对任意的xR，均有(2)(2 )( ) x ax fff a 恒成立； 1 q：函数( )yf x是减函数，且对任意的xR，都有( )0f x ； 2 q：函数( )yf x是增函数，存在 0 0 x ，使得 0 ()0f x； 用这三个陈述句组成两个命题，命题S： “若 1 q，则p” ；命题T： “若 2 q，则
6、p” 关于 S，T，以下说法正确的是 A只有命题 S 是真命题 B只有命题 T 是真命题 C两个命题 S，T 都是真命题 D两个命题 S，T 都不是真命题 三、解答题三、解答题（本大题共有（本大题共有 5 5 题，满分题，满分 7676 分）分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 】 17 （本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 7 分，第(2)小题满分 7 分） 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，1ABAC， 2 BAC ， 1 4A A ，点 M 为线段 1 A A的中点. （1）求直三棱柱 111 ABCABC的表面积； （2）求异
7、面直线 BM 与 11 BC所成的角的大小 （结果用反三角函数值表示） 高三数学 共 4 页 第 3 页 18 （本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分） 已知函数 2 ( )2 3sin cos2cos1()f xxxxxR （1）求函数 ( )f x的最小正周期及在区间0, 2 上的最大值和最小值； （2）若 00 6 ()=, 542 f xx ，求 0 cos2x的值 19 （本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分） 某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x件，需另投
8、入成本为 ( )C x（万元） ，当 年产量不足80件时， 2 1 ( )10 3 C xxx（万元） ； 当年产量不小于80件时， 10000 ( )511450C xx x （万元） 每件产品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完 （1）写出年利润 ( )L x（万元）关于年产量 x（件）的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？ 高三数学 共 4 页 第 4 页 20 （本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 5 分，第(3)小 题满分 7 分） 双曲线 2 2 2 :1 (0) y C x
9、b b 的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B 是双曲线 C 上一点 （1）当2b 时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线 BF 的倾斜角为 4 ，与双曲线 C 的另一交点为 D，且8BD ，求 b 的值； （3）若0AF BF，且AFBF，点 E 是双曲线 C 上位于第一象限的动点， 求证：2EFAEAF 21 （本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小 题满分 8 分） 对于数列 n a，定义 n aV为数列 n a的差分数列，其中 1 ,* nnn aaan NV如果对任 意的*nN，都有 1nn aa VV，则称数列
10、n a为差分增数列 （1）已知数列1, 2, 4, ,16, 24x为差分增数列，求实数x的取值范围； （2）已知数列 n a为差分增数列，且 12 1aa， * n a N若2021 k a ，求非零自然数k 的最大值； （3）已知项数为 2k 的数列 3 log n a（1, 2,3, 2nkL）是差分增数列，且所有项的和等于 k， 证明： 1 3 kk a a 高三数学 共 4 页 第 5 页 崇明区崇明区 2021 届第二次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准届第二次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准 一、填空题 1. 0,1； 2.二； 3.3； 4.(1, 2)； 5.0,2
11、； 6.3； 7.(0,2)； 8.60； 9. 2 20 3 d； 10. 13 210 ； 11. 82 16 12.4. 二、选择题 13.C; 14.D; 15.A; 16.C 三、解答题 17.解： （1）直三棱柱 111 ABCABC的表面积 1 ()294 2SABBCCAAAS ABC .7 分 （2）因为 11 / /BCBC，所以直线BC与BM所成的角就是异面直线 BM 与 11 BC所成的 角.2 分 在MBC中，5BMCM，2BC 由余弦定理，得： 10 cos 10 MBC.5 分 所以异面直线 BM 与 11 BC所成的角的大小是 10 arccos 10 .7 分
12、 18.解： （1）( )3sin2cos22sin(2 ) 6 f xxxx ，.3 分 所以函数最小正周期为 2 2 T ，.4 分 因为0, 2 x ，得 7 2, 666 x， 所以 maxmin 7 ( )2sin2,( )2sin1 26 f xf x .6 分 （2）因为 0 6 ()= 5 f x，所以 0 3 sin(2) 65 x ， 因为 0 , 4 2 x ，所以 0 27 2, 636 x ， 所以 0 4 cos(2) 65 x ，.4 分 所以 00 433134 3 cos2cos2 66525210 xx .8 分 高三数学 共 4 页 第 6 页 19.解：
13、 （1）当080 x 时， 22 11 ( )501025040250 33 L xxxxxx ； 当80 x时， 1000010000 ( )50511450250=1200()L xxxx xx 所以 2 1 40250,080 3 ( ) 10000 1200(),80 xxx L xxN xx x ，.6 分 （2）当080 x 时， 22 11 ( )40250(60)950 33 L xxxx 当60 x时，L x（ ）取得最大值 950 万元；.3 分 当80 x时， 1000010000 ( )1200()120021000L xxx xx 当且仅当 10000 x x ，即1
14、00 x 时，L x（ ）取得最大值 1000 万元.7 分 所以当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万 元.8 分 20.解： （1）当2b时，双曲线的渐近线方程为：2yx .1 分 设两条渐近线的夹角为，则 22 |1 4|3 cos 5 121 ( 2) .3 分 所以两条渐近线的夹角为 3 arccos 5 .4 分 （2）设( ,0)F c，其中 2 1cb，则直线BF的方程为：yxc.1 分 代入 2 2 2 :1 y C x b 中得： 2222 (1)20bxcxcb 由题意， 2 2222 10 44(1)()0 b cbcb .2
15、分 设 1122 ( ,),(,)B x yD xy，则 2222 2 12 2 44(1)() |1|28 |1| cbcb BDkxx b 又 2 1cb，所以 6 3 b 或2.5 分 （3）证明：由题意( 1,0),( ,0)AF c，故点B的纵坐标满足 2 | B yb 由题意， 2 1cb，所以 2 11cc，所以2c ， 2 3b 所以双曲线的方程是 2 2 1 3 y x .2 分 高三数学 共 4 页 第 7 页 设 0000 (,)(0,0)E xyxy， 则 0 0 tan 2 EF y EFAk x ， 0 0 tan 1 EA y EAFk x .3 分 所以 0 0
16、00 222 2 0 00 0 2 12(1)2tan tan2 1tan(1) 1() 1 y xyxEAF EAF y EAFxy x 000 2 000 2(1) 2242 yxy xxx 所以tantan2EFAEAF ，.6 分 又 2 (0,),(0,) 33 EFAEAF 所以2EFAEAF .7 分 21.解： （1）数列1,2,4, ,16,24 x为差分数列是1,2,4,16,8xx，由题意，得： 42 164 816 x xx x ，所以810 x.4 分 （2）由题意， 1 0, n aaN 因为数列 n a为差分增数列，所以对任意的*nN，都有 1nn aa VV 故
17、 21 0aaVV， 2 1a，同理， 3 21,* k aakkN， ，.2 分 所以当2k 时， 1121 1 1 2(2) kk aaaaak 所以 (2)(1) 20211+ 2 kk 所以65k .6 分 （3）用反证法证明.假设 1 3 kk a a . 由题意知0 n a （1, 2,3, 2nkL） ，且 1232 3k k a a aa.2 分 因为数列 3 log n a（1, 2,3, 2nkL）为差分增数列， 所以 3133231 loglogloglog nnnn aaaa 所以 12 1 nn nn aa aa ，因此 3224 12321 k k aaaa aaaa ，.4 分 所以对任意的1,*mkmN，都有 121 2 mkm mk m aa aa ，即 1221mk mmkm aaa a 所以 122213221 3 kkkkk a aa aa aa a .6 分 所以 1232 3k k a a aa，与 1232 3k k a a aa矛盾，.7 分 故假设错误，所以 1 3 kk a a .8 分
